2023-2024學(xué)年湖北省武漢市華中師大一附中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖北省武漢市華中師大一附中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知直線a，b的方向向量分別為a=(1,0,?1)，b=(1A.(33,33,332.已知點(diǎn)A(2,3,5)，B(2,?1,?1)A.25 B.22 C.33.已知{a,b,c}是空間的一組單位正交基底，若向量p在基底{a,b,A.(34623,346464.如圖，在正方體ABEFDCE′F′中，M，N分別為AC，A.?13

B.13

C.?

5.若OA=(0,0,1)，A.56 B.52 C.56.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)A.1

B.22

C.2

7.兩條異面直線a，b所成的角為60°，在直線a，b上分別取點(diǎn)A，E和點(diǎn)B，F(xiàn)，使AB⊥a，且AB⊥b.已知AE=A.20或12 B.12或43 C.43或88.如圖，三棱柱ABC?A1B1C1滿足棱長都相等且AA1⊥平面ABC，D是棱CC1的中點(diǎn)，A.先增大再減小

B.減小

C.增大

D.先減小再增大二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列四個(gè)命題，其中真命題是(

)A.若p與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使得p=xa+yb

B.若存在實(shí)數(shù)x，y，使得p=xa+yb，則p與a，b共面

C.若存在實(shí)數(shù)x，y使MP=xMA+yMB，則點(diǎn)P，M10.已知e為直線l的方向向量，n1,n2分別為平面α，β的法向量(α,β不重合)，并且直線l均不在平面A.e⊥n1?l//α 11.點(diǎn)A，B，C不在同一條直線上，點(diǎn)O在平面ABC外，則下列OM的表示中，對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)在△AA.OM=OA+OB+O12.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，A.直線D1D與直線AF垂直

B.直線A1G與平面AEF平行

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為9三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.空間點(diǎn)A(x,y,z)，O(0,014.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1的對(duì)角線15.三棱錐A?BCD的四個(gè)頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(1,0,1)，16.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是邊長為2的等邊三角形，CC1=2，D，E分別是線段AC，CC1的中點(diǎn)，C1在平面AB

四、解答題（本大題共5小題，共58.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)A(0,a,1)和B(?1,218.(本小題12.0分)

用向量的方法證明：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.(三垂線定理的逆定理)19.(本小題12.0分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段CD，A1B20.(本小題12.0分)

如圖，在等腰直角三角形PAD中，∠A=90°，AD=8，AB=3，B，C分別是PA，PD上的點(diǎn)，且AD//BC，M，N分別為BP，CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將△BCP沿BC21.(本小題12.0分)

如圖，在八面體PABCDQ中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面PAD/?/平面QBC，二面角P?AB?C與二面角Q?CD?A的大小都是30°，AP=CQ=3

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：設(shè)平面α的單位法向量為m=(x,y,z),x2+y2+z2=1(1)，

∵直線a，b均平行于平面α，

∴有m2.【答案】A

【解析】解：由題意點(diǎn)A(2,3,5)，B(2,?1,?1)，

設(shè)點(diǎn)B關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)為B′，

可得B′(2,?1,1)，

3.【答案】C

【解析】解：因?yàn)橄蛄縫在基底{a,b,c}下用有序?qū)崝?shù)組表示為(3,2,1)，

所以與向量p同向的單位向量m的有序?qū)崝?shù)組表示為19+4+1(3,2,1)=(31414,21414,1414)，

設(shè)與向量p同向的單位向量m在基底{a,b+c,b?c}下有序?qū)崝?shù)組表示為{x,4.【答案】B

【解析】解：設(shè)正方體棱長為1，

以BA，BE，BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建系如圖，

則根據(jù)題意可知M(12,0,12)，N(12,12,0)，A(1,0,0)，B(0,0,0)．

解法一：取MN的中點(diǎn)G，連接BG，AG，

則G(12,14,14)．

因?yàn)椤鰽MN，△BMN為等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB為兩平面夾角或其補(bǔ)角．

又因?yàn)镚A=(12,?14,?14)5.【答案】A

【解析】解：由題意OA=(0,0,1)，OB=(2,?1,2)，OC=(1,2,3)，

得AB=(2,?1,1),AC=(1,2,2)，|AB|=4+1+1=6,|AC|=3，

故6.【答案】C

【解析】解：正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(2?t,2,t)，(0≤t≤2)，A(?2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，

BP=(7.【答案】B

【解析】解：由已知得EF=EA+AB+BF，

兩邊平方可得EF2=EA2+AB2+BF2+2EA?AB+2EA?BF+2AB?BF……①，

因?yàn)锳B⊥a，AB⊥b，AE與BF所成的角為60°，所以EA,8.【答案】D

【解析】解：以A為原點(diǎn)，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正三棱柱ABC?A1B1C1中所在棱長都是2，

則B(3,1,0)，D(0,2,1)，E(0,0,x)，

BD=(?3,1,1)，BE=(?3,?1,x)，

設(shè)平面BDE的法向量n=(a,b,c9.【答案】BC【解析】解：對(duì)于A，若a=b=0，p≠0，則不存在實(shí)數(shù)x，y，使得p=xa+yb，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，由空間向量共面定理可知，若存在實(shí)數(shù)x，y，使得p=xa+yb，則p與a，b共面，B正確；

對(duì)于C，若存在實(shí)數(shù)x，y使MP=xMA+yMB，則MP，MA，MB共面，∴P，M，A，B四點(diǎn)共面，C正確；

對(duì)于D，若MA=10.【答案】AB【解析】解：A，∵e⊥n1，且直線l不在平面α內(nèi)，

∴l(xiāng)//α，反之也成立，∴A正確，D錯(cuò)誤，

B，∵n1⊥n2，∴α⊥β，反之也成立，∴B正確，

C，∵n1/11.【答案】CD【解析】解：由題意知點(diǎn)A，B，C不在同一條直線上，點(diǎn)O在平面ABC外，

則點(diǎn)M與A，B，C共面的充要條件為存在實(shí)數(shù)對(duì)(x,y,z)，

使OM=xOA+xOB+xOC，且x+y+z=1，

對(duì)于A，OM=OA+OB+OC，右邊系數(shù)和為3，故M，A，B，C不共面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，OM=OA+OB?OC，則OM?OA=OB?OC，

即AM=CB，則M，A，B，C共面，但M點(diǎn)在△ABC外，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，OM=13OA+13OB+13OC，則OM?OA=?2312.【答案】BC【解析】解：取DD1

中點(diǎn)M，則AM為AF在平面AA1D1D上的射影，

∵AM與DD1

不垂直，∴AF與DD1不垂直，故A錯(cuò)；

取B1C1中點(diǎn)N，連接A1N，GN，可得平面A1GN/?/平面AEF，故B正確；

把截面AEF補(bǔ)形為四邊形AEFD1，由等腰梯形計(jì)算其面積S=98，故C正確；

假設(shè)C與G到平面AEF的距離相等，即平面AEF將CG平分，則平面AEF必過CG的中點(diǎn)，

連接CG交EF于H，而H不是CG中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故D錯(cuò)．13.【答案】2

【解析】解：由題意空間點(diǎn)A(x,y,z)，O(0,0,0)，|AO|=1，

即點(diǎn)A是以O(shè)為球心，半徑為1的球面上的點(diǎn)，

又B(3,2,2)，則|OB|=(3)2+(14.【答案】(1【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用∠APC不是平角，可得∠APC為鈍角等價(jià)于cos∠【解答】

解：由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz，

則有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1);

∴D115.【答案】(1【解析】解：設(shè)三棱錐的外接球球心的坐標(biāo)為G(x,y,z)，

不妨設(shè)A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，D(0,0,0)，

則|GA16.【答案】(1【解析】解：如圖連接C1D，因?yàn)镃1在平面ABC內(nèi)的射影為D，

所以C1D垂直于平面ABC內(nèi)DB，AD這兩條線段，

又因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的等邊三角形，D是線段AC中點(diǎn)，

所以DB⊥AD，

因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則根據(jù)題意可知D(0,0,0),B(3,0,0),C1(0,0,3),A1(0,2,3),E(0,?12,32)，

設(shè)F(x,y,z)，C1F=λC1B1(17.【答案】(1)解：因?yàn)辄c(diǎn)A(0,a,1)，B(?1,2,2)，

所以O(shè)A=(0,a,1),AO=(0,?a,?1)，OB=(?1,2,【解析】(1)根據(jù)△OAB為銳角三角形，由OA?OB>0AB?AO18.【答案】已知PO，PA分別是平面α的垂線、斜線，OA是PA在平面α上的射影，l?α，且l⊥PA．

求證：l⊥AO．

證明：如圖，取直線l的方向向量a，同時(shí)取向量PO，PA，

因?yàn)閘⊥PA，所以a?PA=【解析】用數(shù)學(xué)符號(hào)表述出定理內(nèi)容，利用向量法即可證明．

本題主要考查利用向量法證明線線垂直，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．19.【答案】解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(2,1,2)，

所以AE=(?2,1,0),C1F=(2,?1,0)，顯然AE=?C1F，易知兩者不共線，

所以有AE/?/C1F，因此A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面，

由勾股定理可得：AE=AF=FC1=C1【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可知四邊形是菱形，運(yùn)用勾股定理、菱形面積公式即可解得直線與直線間的距離．

(220.【答案】(1)證明：如圖，在四棱錐P?ABCD中，取AB的中點(diǎn)E，連接EM，EN，

因?yàn)镸，N分別為BP，CD的中點(diǎn)，AD//BC，

則ME//PA，EN/?/AD，

因?yàn)镻A?平面PAD，ME?平面PAD，

則ME/?/平面PAD，

同理可得，EN/?/平面PAD，

又ME∩EN=E，ME，EN?平面MNE，

故平面MNE/?/平面PAD，

因?yàn)镸N?平面MNE，

故MN/?/平面PAD；

(2)解：因?yàn)樵诘妊苯侨切蜳AD中，∠A=90°，AD//BC，

所以BC⊥PA，

則在四棱錐P?ABCD中，BC⊥PB，BC⊥AB，

因?yàn)锳D//BC，

則AD⊥PB，AD⊥AB，

又PB∩AB=B，PB，AB?平面【解析】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面平行的判定定理和面面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的求解，在求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題．

(1)利用線面平行的判定定理證明ME/?/平面PAD，EN/?/平面P21.【答案】解：(1)證明：因?yàn)锳BCD為正方形，所以AB⊥AD，又PD⊥AB，AD∩PD=D，AD，PD?平面PAD，