安徽省皖江名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

姓名 座位號(hào)（在此卷上答題無(wú)效）數(shù) 學(xué)本試卷共4頁(yè)，22題。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘?？忌⒁馐马?xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則的最小值是A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)（）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，且，則A． B． C．1 D．24．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在角終邊上，則A． B． C． D．5．手工課上某同學(xué)用六個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形卡片拼接成一個(gè)幾何圖形，如圖所示，其中AB，CD，EF，MN為對(duì)角線，該幾何圖形恰好能折疊組裝成一個(gè)正方體卡片紙盒，則在正方體卡片紙盒中A． B． C． D．6．2013年7月18日，第31屆全國(guó)青少年愛(ài)國(guó)主義讀書教育活動(dòng)啟動(dòng)，某校為了迎接此次活動(dòng)，對(duì)本校高一高二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前期閱讀時(shí)間抽查，得到日閱讀時(shí)間（單位：分鐘）的統(tǒng)計(jì)表如下：年級(jí)抽查人數(shù)平均時(shí)間方差高一40504高二60406則估計(jì)兩個(gè)年級(jí)學(xué)生日閱讀時(shí)間的方差為A．52 B．29.2 C．10 D．6.47．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則A． B． C． D．8．已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，點(diǎn)Q在邊BC上，且滿足（），，則的最小值是A．32 B．64 C．100 D．120二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．CPI是居民消費(fèi)價(jià)格即消費(fèi)價(jià)格指數(shù)，是反映居民家庭一般所購(gòu)買的消費(fèi)品和服務(wù)項(xiàng)目?jī)r(jià)格水平變動(dòng)的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)．下圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2022年5月至2023年5月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅統(tǒng)計(jì)圖，其中同比是與上年同期對(duì)比（如今年5月與上年5月），側(cè)重?cái)?shù)據(jù)長(zhǎng)期趨勢(shì)，環(huán)比是與上月對(duì)比（如今年5月與4月），側(cè)重?cái)?shù)據(jù)短期變化，則下列說(shuō)過(guò)正確的是A．2022年5月至2023年5月同比漲幅極差為2.7%B．2023年1月至5月同比漲幅的75%分位數(shù)為1.0%C．從環(huán)比看，CPI由2023年2月至4月開(kāi)始持續(xù)上漲D．隨機(jī)從2023年1月至5月的同比數(shù)據(jù)選擇兩個(gè)研究，則選取4月和5月的概率為10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中B，C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，則A．B．C．的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得一個(gè)奇函數(shù)的圖象D．的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得一個(gè)偶函數(shù)的圖象11．直四棱錐SABCD中，底面ABCD，，，AC，BD的交點(diǎn)為P，點(diǎn)Q在SD上且，三棱錐SABC和三棱錐QACD的體積分別為，，則A． B．平面SAB C． D．12．已知，，則A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)，則．14．已知正四棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2和8，側(cè)面梯形的高為5，則該四棱臺(tái)的體積為．15．隨著國(guó)家“雙碳”（碳達(dá)峰與碳中和的簡(jiǎn)稱）目標(biāo)的提出，我國(guó)風(fēng)電發(fā)展駛?cè)肟燔嚨?，陸地、海上的風(fēng)機(jī)（如下左圖，頂端外形是大風(fēng)車，又稱風(fēng)力發(fā)電大風(fēng)車）紛紛“拔地而起”，成為保護(hù)環(huán)境、輸送綠色能源的“風(fēng)中使者”．如圖，一學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某風(fēng)力發(fā)電大風(fēng)車AB的高度，在點(diǎn)A正東方點(diǎn)C處測(cè)得風(fēng)車頂端點(diǎn)B的仰角為30°，在點(diǎn)A南偏西30°方向的點(diǎn)D處測(cè)得點(diǎn)B的仰角為60°，且C，D相距米，其中平面ADC，則AB的高度為米．16．若的定義域?yàn)?，?duì)于，都有，且滿足，，則稱為康托爾函數(shù)．當(dāng)時(shí)，康托爾函數(shù)；．四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）設(shè)平面向量，滿足，，．（1）求；（2）求向量在向量上的投影向量（用坐標(biāo)表示）．18．（12分）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角C；（2）若，，求的面積．19．（12分）2023年7月11日第64屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽結(jié)果公布，中國(guó)隊(duì)6名參賽選手全員金牌，再奪第一．某班級(jí)為了選拔數(shù)學(xué)競(jìng)賽選手，舉行初次選拔考試，共有排好順序的兩道解答題．規(guī)定全部答對(duì)者，通過(guò)選拔考試．設(shè)甲答對(duì)第一道和第二道題的概率分別為，，乙答對(duì)第一道和第二道題的概率分別為，，甲，乙相互獨(dú)立解題，答對(duì)與否互不影響．（1）求甲，乙都通過(guò)考試的概率;（2）記事件“甲、乙共答對(duì)兩道題”，求．20．（12分）如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，P為DO的中點(diǎn)，是底面的內(nèi)接正三角形．（1）若底面圓的半徑為2，直線PB與底面的夾角為45°，求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積;（2）若，證明：平面平面PAB．21．（12分）如圖所示，中，AQ為邊BC的中線，，，，，其中，，，．（1）當(dāng)時(shí)，用向量，表示；（2）證明：為定值．22．（12分）已知．（1）若，且，，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，求的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)參考答案題號(hào)123456789101112答案DCCBABACABACDADACD1．【解析】由，，得．2．【解析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故選C．3．【解析】由題意可得，因?yàn)?，所以，解得，故選C．4．【解析】由題意可得，所以原式，故選B．5．A【解析】由題意可得正方體卡片紙盒如圖所示，則易知，，CM與CD，MN的夾角均為60°，故選A．6．【解析】由題意估計(jì)高一高二日閱讀時(shí)間的平均數(shù)為，方差為，故選B．7．【解析】由，得，即，即．，，綜上可知，故選A．8．【解析】因?yàn)椋謩e是向量，的單位向量，所以由（），易知AQ是中角A平分線，于是結(jié)合，可得，，化簡(jiǎn)得，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故選C．9．【解析】A選項(xiàng)中的極差為，故A正確；B選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)由小到大排列為0.1%，0.2%，0.7%，1.0%，2.1%，由，不是整數(shù)，所以75%分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)1.0%，故B正確；C選項(xiàng)中2月至4月均為負(fù)數(shù)，說(shuō)明下降，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)等價(jià)于從5個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選取2個(gè)，樣本空間包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為10，其中隨機(jī)事件“選到4月和5月”包含的樣本點(diǎn)數(shù)為1，古典概型概率計(jì)算公式可得所求概率為，故D錯(cuò)誤．綜上，選AB．10．【解析】由題意知，所以的圖像的一條對(duì)稱軸方程為，，所以．由于函數(shù)圖像過(guò)，由，，且，得，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，是奇函數(shù)，故C正確；的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，是偶函數(shù)，故D正確．故選ACD．11．【解析】連接PQ，，，所以，又因?yàn)?，所以，故A正確；過(guò)Q作交SA于點(diǎn)M，由，可得，所以四邊形BCQM是梯形，CQ與BM的延長(zhǎng)線必定相交，故CQ與平面SAB必定相交，故B錯(cuò)誤；設(shè)直四棱錐SABCD的高為H，底面梯形ABCD的高為h，則易得三棱錐SABC和三棱錐QACD的高分別為H，，所以，所以C錯(cuò)誤，D正確．綜上，選AD．12．【解析】因?yàn)?，所以A正確；由正切函數(shù)在上恒為正且單調(diào)遞增得，所以B錯(cuò)誤；注意到，所以，同理，于是，故C正確；由基本不等式可得，故D正確．綜上，選ACD．13．【答案】【解析】，所以．14．【答案】112【解析】由題意可知正四棱臺(tái)的高為，所以該四棱臺(tái)的體積為．15．【答案】40【解析】由題意知，，，，設(shè)，則，，在，由余弦定理可得，解得，所以（米）．16．【答案】，【解析】在中，分別令，得，在中，令，，得，．又令，得，所以，結(jié)合對(duì)于，都有，可得當(dāng)時(shí)，康托爾函數(shù)，反復(fù)利用，可得，注意到，所以，故第二空填．（注：第一空2分，第二空3分）17．【解析】（1）因?yàn)?，所以，又，，所以，因?yàn)?，所以．?）設(shè)，的夾角，由（1）中可得，故．因?yàn)椋?，所以向量在向量上的投影向量?8．【解析】（1）由，得，所以，結(jié)合余弦定理可知，而，所以．（2）由正弦定理可得，解得，又由余弦定理可得，即，解得，或，而，所以，所以的面積19．【解析】設(shè)事件“甲答對(duì)了i道題”，事件“乙答對(duì)了i道題”，，1，2，由題意，，，，，，（1）由題意得，甲，乙都通過(guò)考試的概率：．（2）由題意得，，所以．20．【解析】（1）連接OB，由題意知平面ABC，故，則直線PB與底面的夾角為．因?yàn)榈酌鎴A的半徑為2，所以，底面圓的周長(zhǎng)為，而P為DO的中點(diǎn)，所以，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為．（2）證明：連接OA，OC，∵P在DO上，，∴，∵是圓內(nèi)接正三角形，∴，所以，，∴，即，，，∴平面PAB，平面PAC，∴平面