2021年陜西省高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)含答案解析

2021年高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)

1.已知函數(shù)/(X)=ln(.ax')+-2x,a>0.

(1)求函數(shù)/(x)的增區(qū)間；

(2)設(shè)xi,%2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且xi<x2,求證：XI+X2>2.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論”的范圍，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可;

(2)求出。=?！懒頶(x)=?！纗〉］且xWl,要證川+m>2,只要證明g(xi)

<g(2-xi),令尸(x)=g(x)-gC2-x),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明

即可.

【解答】解：(1)由題意得f(%)=,+辦-2=-了學(xué)1(x>0),

令/(x)>0,則a?-2x+l>0,

①當(dāng)△=(-2)2-4“W0,即時(shí)，蘇-左+1>0在(0,+8)上恒成立,

即/(x)的遞增區(qū)間是(0,+8),

②當(dāng)△=(-2)2-4a>0,即0<a<l時(shí)，0<xV上噂三或尤>土邛三,

1—>/l-a1+Vl-a

即/(%)在(o,-------),+8)遞增,

aa

綜上：時(shí)，/(X)的遞增區(qū)間是(0,+8),

1—V1—CL1+，1.—Q

OV〃V1時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間是(0,-------),(-------,+8)；

aa

(2),:f(x)=°77葉1(x>0),f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)xi,%2,

：.x\,總是方程ar?-2r+l=0的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，

從而△=(-2)2-4a>0,a>0,解得：0<a<l,

由cix^~2x+l=0,解得：ci——^2—，

1

VO<?<1,J龍〉會(huì)且xWl,

令g(x)=2：21,且xNl，則g'(X)=2(；31)，

1

故當(dāng)3<X<1時(shí)，短(X)>0,故g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)天>1時(shí)，g’(x)<0,g(x)單調(diào)遞增，

故a=21=2”2>1(-<xi<]<x2),

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要證Xl+X2>2,只要證X2>2-%1,只要證明g(X2)Vg(2-XI),

■:g(XI)=g(X2),???只要證明g(xi)Vg(2-xi),

令F(x)=g(x)—g(2-x)=—n--------------今一，

/(2-%)

則尸(x)=2(1T)+2[1-(2-初=4(l—x)2[(2r)2+(2—x)x+，]

'爐(2-x)3爐(2_乃3

11

V-<x<l,：.F'(x)>0,即F(x)在(一,1)遞增，

22

故尸(x)<F(1)=0,即g(xi)<g(2-xi),

故X2>2-X1,X\+X2>1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想,

是難題.

2.己知函數(shù)/(x)=/〃(x+1)+a(x-1)2(?>0).

(1)討論函數(shù)/(無)的單調(diào)性；

(2)證明：對(duì)任意“eN",都有1+1+康■+—卜2：21V

【分析】(1)求出了(X)的定義域，求出/(x),然后分1-2“、0和1-2〃<0,分別判

斷了(x)的正負(fù)，即可得到函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)利用⑴中的結(jié)論可知，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，令4(仁1,2,3,

?〃)，則一—V2In―■~,利用迭加法，得到1H—7—?+…+,n2~(仇2+仇+

k2k23九2

+…+m嚕)=2歷(n+1),再構(gòu)造函數(shù)〃(?)=2tlnt-t2+\(/>1),利用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，從而證明對(duì)任意的"6N*,In(?+1)<^=>即可證

明所要證明的不等式成立.

【解答】(1)解：函數(shù)/(x)=ln(x+1)+〃(X-1)2(a>0),定義域?yàn)?-1,+°°),

n/x1./1、2ax2+l-2a

f(x)=-nr+20。(x-1)=---------------,

Jx+1x+l

①當(dāng)1-2。20,即0<a<、時(shí),f(x)20對(duì)法(-1,+°°)恒成立,

所以一(X)在(-1,+8)上單調(diào)遞增;

②若1-2?<0,即。>1時(shí)，方程2OX-2+1-2a=0的兩個(gè)根為久=±

1-克時(shí),/(x)>0,當(dāng)一qvji-/時(shí)，/⑴<0'當(dāng)q

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上單調(diào)遞減,

綜上所述，當(dāng)OVaW/時(shí)，/(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，f(X)在(-1,—J1—號(hào))和(J1-+°°)上單調(diào)遞增，在(-J1-/,

J1—需)上單調(diào)遞減；

(2)證明：當(dāng)時(shí)，f(x)=ln(x+1)4-^(%—l)2,

由(1)可知，/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，即對(duì)任意的工6(0,+8),都有/(x)

>/(0)=i1,

故2/〃(x+1)+(x-1)2>1,整理可得2x-7<2/〃(X+1),

i2fc—1l+fc

令％=7(4=1,2,3,,,?,?〃)，則——<2ln---,

Kk2k

迭加可得，1+~2H—2+…+,—2—<2(仇2+仇2+仇可+…+ITI―，-)=2/〃(〃+1),

下面證明：對(duì)任意的〃EN*,In(〃+1)<-^==,

令函數(shù)〃⑺=2tlnt-t2+l(r>l),

則”⑺=2(/m-r+1),fi”⑺=2(1-1),

當(dāng)/>1時(shí)，<0,則函數(shù)”Q)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以"(t)<H(1)=0,

故函數(shù)〃<)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以〃(力</z(1)=0,故對(duì)于/>1,則有Zz/mvr2-1,

令t=7n+1(九€N*),

則有2sm-/nVuTiv(sm)2-1=n,

所以/〃(n+1)<-j==,

故對(duì)任意〃