專題01勾股定理（考點清單）八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點大串講（北師大版）

專題01勾股定理（考點清單）思維導(dǎo)圖考點一探索勾股定理【考試題型1】用勾股定理解直角三角形【典例1】（2023春·廣西桂林·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，于點，，，求的長．【答案】，【分析】在中，根據(jù)勾股定理即可求解的長，根據(jù)等面積法可求的長．【詳解】解：∵在中，，，，∴在中，，∵，∴，∴，∴，．【點睛】本題主要考查直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，幾何圖形中等面積法求高的計算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)11】（2023春·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，P為直線上一動點，連接，則線段的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)時，線段取最小值，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∵當(dāng)時，線段取最小值，∴當(dāng)時，，∴，即，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，兩直角邊平方和等于斜邊平方．【專訓(xùn)12】

（2023春·山東濟(jì)南·七年級?？计谥校┤鐖D，在長方形中，，，在邊上取一點E，將折疊，使點A落在上，記為點F，求的長．【答案】【分析】設(shè)，由對折可得：，，求解，可得，再利用勾股定理建立方程，從而可得答案．【詳解】解：∵長方形，，，∴，，，設(shè)，由對折可得：，，∴，∴，∴，解得：，∴．【點睛】本題考查的是長方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．【考試題型2】勾股樹問題【典例2】（2021春·廣東東莞·八年級光正實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（

）A．2，3，4 B．8，15，16 C．，6， D．5，12，13【答案】D【分析】由勾股數(shù)的定義，只要驗證兩較小正整數(shù)的平方和等于最大正整數(shù)的平方，則這三個數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A．，故選項不符合題意；B．，故選項不符合題意；C．，6，都不是正整數(shù)，肯定不是勾股數(shù)，故選項不符合題意；D．，故選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查的是勾股數(shù)，熟知勾股數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)21】（2020秋·貴州貴陽·八年級?？计谥校┤鐖D是一株美麗的勾股樹，其中原有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的邊長是2，則A、B、C、D、E、F、G這七個正方形面積之和是（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)正方形的面積公式，運(yùn)用勾股定理得出6個小正方形的面積和與最大正方形面積的數(shù)量關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得到：A與B的面積的和是E的面積；C與D的面積的和是F的面積；而E，F(xiàn)的面積的和是G的面積．即A、B、C、D、E、F的面積之和為2個G的面積．∵G的面積是，∴A、B、C、D、E、F、G的面積之和為．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，關(guān)鍵就是運(yùn)用勾股定理和正方形的面積公式推導(dǎo)出6個小正方形的面積和等于最大正方形的面積的2倍．【專訓(xùn)22】（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）下圖是“畢達(dá)哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖①，一個邊長為的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側(cè)長出兩個小正方形，且三個正方形所圍成的三角形是直角三角形；再經(jīng)過一次“生長”后變成了②；如此繼續(xù)“生長”下去，則第2023次“生長”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積和為．【答案】【分析】根據(jù)正方形的面積公式求出第一個正方形的面積，根據(jù)勾股定理求出經(jīng)過一次“生長”后在它的上側(cè)生長出兩個小正方形的面積和，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答．【詳解】解：如圖，第一個正方形的邊長為，第一個正方形的面積為，由勾股定理得，，，即經(jīng)過一次“生長”后在它的上側(cè)生長出兩個小正方形的面積和為，“生長”第1次后所有正方形的面積和為，同理，“生長”第2次后所有正方形的面積和為，則“生長”第2023次后所有正方形的面積和為，故答案為：．【點睛】本題考查的是勾股定理、圖形的變化，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．【考試題型3】勾股定理與網(wǎng)格問題【典例3】（2023秋·山西運(yùn)城·八年級統(tǒng)考期中）圖1、圖2中每個小正方形的邊長都是1，在圖1中畫出一個面積是3的直角三角形；在圖2中畫出一個面積是5的正方形．【答案】見解析【分析】在圖1中只要畫出一個直角邊長分別為2，3的直角三角形即可；在圖2中利用勾股定理找出直角邊長分別是1，2的直角三角形，則其斜邊即為正方形的邊長．【詳解】解：如圖1，的面積是3，即為所作；如圖2，正方形的面積為，即為所作．【點睛】本題考查了格點作圖和勾股定理，熟練掌握勾股定理、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)31】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，正方形網(wǎng)格中的每一個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫圖．(1)在圖a中畫一個面積為24，周長為24的直角；(2)在圖b中畫出一個斜邊為的等腰直角，并直接寫出三角形的周長．【答案】(1)見解析(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理，取,則,滿足要求；（2）令等腰直角中斜邊為，則，，由勾股定理求得，在網(wǎng)格圖中，結(jié)合勾股定理確定三角形頂點，根據(jù)周長定義計算求解．【詳解】（1）解：如圖，取,則,周長，面積.滿足題意；（2）解：令等腰直角中斜邊為，則，，∴．如圖，取D，E為長寬為4，2的長方形相對的兩個頂點，相應(yīng)確定點F，周長：【點睛】本題考查網(wǎng)格圖中勾股定理的應(yīng)用，結(jié)合網(wǎng)格圖熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)32】（2023春·山西呂梁·八年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個頂點叫做格點．(1)在圖1中以格點為頂點畫一個面積為10的正方形；(2)在圖2中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為2，，，這個三角形的面積為______．【答案】(1)見解析(2)2，圖見解析【分析】（1）利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格得出符合題意的圖形；（2）利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格得出符合題意的圖形．【詳解】（1）解：如圖：面積為10的正方形的邊長為，，如圖所示的四邊形即為所求；（2）解：如圖所示：，，如圖所示的三角形即為所求；這個三角形的面積，故答案為：2．【點睛】本題考查勾股定理與網(wǎng)格問題，解題的關(guān)鍵是能夠利用勾股定理求出網(wǎng)格中線段的長度．【考試題型4】勾股定理與折疊問題【典例4】（2023春·湖北咸寧·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點B落在直角邊的延長線上的點E處，折痕為，則的長為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】利用勾股定理求得，由折疊的性質(zhì)可得，，求得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)得，，，∴，設(shè)，則，在中，，解得，故選：C．【點睛】本題考查勾股定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)41】（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，將折疊，使點與的中點重合，折痕交于點，交于點，則線段的長為．【答案】/【分析】由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可求的長，即可求的長．【詳解】解：是中點，，，將折疊，使點與的中點重合，，，在中，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點的定義以及方程思想，綜合性較強(qiáng)．【專訓(xùn)42】（2023秋·山東棗莊·八年級滕州育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，中，，，，將沿折疊，使落在斜邊上且與重合，則．【答案】3【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長，再由圖形翻折變換的性質(zhì)得出，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理求出的值即可．【詳解】解：中，，，，．由翻折而成，，，．設(shè)，則，，在中，，即，解得．故答案為：3．【點睛】本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【考試題型5】利用勾股定理證明線段和差關(guān)系【典例5】（2023秋·山東棗莊·八年級滕州育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，已知，D是斜邊的中點，交于點E，連接(1)求證：；(2)若，，求的周長.【答案】(1)見解析(2)14【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，在利用勾股定理建立線段的平方關(guān)系，再等量代換即可求證；（2）在中，由勾股定理得的長度，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵D是斜邊的中點，，∴是線段的垂直平分線，∴.在中，由勾股定理得，∴，即.（2）解：∵D是斜邊的中點，，∴.在中，由勾股定理得，∴.又∵，∴，∴的周長為.【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．【專訓(xùn)51】（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點在的斜邊上．(1)判斷與間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)直接寫出線段、、間滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，即，即可得出；（2）證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，求得，進(jìn)而勾股定理即可得證．【詳解】（1）理由如下，∵和都是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴；（2），如圖所示，連接，由（1）可得∵∴∴，，∵∴∵在四邊形中，∴是直角三角形，∴又是等腰直角三角形，∴，即,又∵，∴【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)52】（2022春·河北石家莊·八年級石家莊外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．（1）若，，，則；（2）若，，則；（3）若，，，，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意和勾股定理即可求出．（2）利用勾股定理，進(jìn)行等量代換，可以得到的值．（3）由（2）得求解過程可以得到，進(jìn)行替換即可．【詳解】（1），，，．故答案為．（2）由（1）得：，，，，，，，．故答案為．（3）由（2）得：，．故答案為．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用問題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關(guān)鍵．考點二一定是直角三角形嗎【考試題型1】勾股定理的證明方法【典例1】（2023春·廣西南寧·八年級校聯(lián)考期中）現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長分別是a、b、c．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長分別為a和b的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長為c的正方形）．(1)觀察：從整體看，整個圖形的面積等于各部分面積的和．所以圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為，結(jié)論①；圖2中的大正方形的面積又可以用含字母a、b的代數(shù)式表示為：，結(jié)論②；圖3中的大正方形的面積又可以用含字母a、b、c的代數(shù)式表示為：，結(jié)論③；(2)思考：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個等式；結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個等式；(3)應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個半圓的面積分別記作，且，求的值．(4)延伸：若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個半圓（如圖5），直角邊，，斜邊，求圖中陰影部分面積和．【答案】(1)；(2)；(3)(4)【分析】（1）圖2的大正方形的面積等于四個直角三角形的面積加上兩個正方形的面積，圖3的大正方形的面積等于四個直角三角形的面積加上中間空白正方形的面積；（2）根據(jù)兩種方法表示的大正方形的面積相等整理即可得解；（3）根據(jù)結(jié)論②求出，然后進(jìn)行計算即可得解；（4）根據(jù)結(jié)論③求出陰影部分的面積等于直角三角形的面積，然后列式計算即可得解．【詳解】（1）解：圖2：；圖3：；（2）解：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個等式：；結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個等式：，即，；（3）解：，，，，，，，解得；（4）解：由“應(yīng)用”的解答過程可知：∴陰影部分面積和，，，陰影部分面積和．【點睛】本題考查了勾股定理，完全平方公式的幾何背景，讀懂題目材料的信息并用兩種方法準(zhǔn)確表示出同一個圖形的面積是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)11】（2023春·山西·八年級校聯(lián)考期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．勾股定理的證明2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，不但因為這個定理重要，還因為這個定理貼近人們的生活實際，以致于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)，都愿意探討研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn)．其中，美國第20任總統(tǒng)詹姆斯·加菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話，他將兩個完全相同的直角三角形拼成一個梯形，巧妙地用面積法給出了勾股定理的證明過程：如圖：

利用整體法，梯形的面積為利用分割法，梯形的面積為……(1)按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分．(2)如圖，在中，，，于，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)兩種方法得出的梯形的面積相等，即可得出等式（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，在中，勾股定理求得，根據(jù)已知得出，則，進(jìn)而勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵利用整體法，梯形的面積為利用分割法，梯形的面積為∴，∴，即；（2）解：，，，，，，在中，．，，，，．【點睛】本題考查了勾股定理的證明與應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)12】（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形．趙爽利用幾何圖形的截、割拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，在驗明勾股定理，為中國古代以形證數(shù)形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風(fēng)格樹立了一個典范．(1)如圖1所示，是小華制作的一個“趙爽弦圖”紙板，其直角三角形的短直角邊的長為1．若中間小正方形黑色的面積占總面積的，求直角三角形的長直角邊的長；(2)小華將剛剛制作的“趙爽弦圖”紙板中的四個直角三角形中長直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，求這個風(fēng)車的周長．【答案】(1)2(2)【分析】（1）將大正方形面積設(shè)出來，利用面積占比表示出小正方形面積，從而得到三角形面積，即可得到，從而得出，再利用小正方形面積求解即可；（2）利用求出，再利用勾股定理求出，依次相加即可求解．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)大正方形面積為，，小正方形的面積占總面積的，小正方形面積為，，四個直角三角形全等，，，在中，，即，解得：（舍或，；（2）解：如圖，四個直角三角形中長直角邊分別向外延長一倍，，，在中，，這個風(fēng)車的周長為：．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)求出，再依次求出，．【考試題型2】趙爽弦圖【典例2】（2023春·河南駐馬店·八年級?？茧A段練習(xí)）“四千年來，數(shù)學(xué)的道理還是相通的”．運(yùn)用祖沖之的出入相補(bǔ)原理也可證明勾股定理．若圖中空白部分的面積是11，整個圖形（連同空白部分）的面積是25，則大正方形的邊長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圖中直角三角形的兩條直角邊長分別為，斜邊為，根據(jù)題意“空白部分的面積是11，整個圖形（連同空白部分）的面積是25”可得，將兩式相加并求解即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，設(shè)圖中直角三角形的兩條直角邊長分別為，斜邊為，∵圖中空白部分的面積是11，整個圖形（連同空白部分）的面積是25，∴可有，解得，解得或（不合題意，舍去），∴大正方形的邊長是．故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理、方程組的應(yīng)用等知識，正確表示出直角三角形的面積是解題關(guān)鍵．【專訓(xùn)21】（2023春·青海西寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形兩直角邊為a，b．斜邊為c，若，則小正方形的邊長為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】A【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長．【詳解】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：，∵每一個直角三角形的面積為：，∴大正方形的面積為：，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．【專訓(xùn)22】（2023春·福建三明·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）我們從生活實際發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一個直角三角形兩長確定時，斜邊長也就確定了，古代數(shù)學(xué)就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在直角三角形中，若兩直角邊長為，斜邊長為，則，這就是著名的“勾股定理”（西方把它稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”）．(1)如圖，4個完全一樣的直角三角形（其兩直角邊長為，斜邊長為）與1個小正方形，不重疊無峰隙拼接成的正方形，請用這個圖驗證“勾股定理”．(2)若直角三角形中兩直角邊的和，斜邊長為3，求直角三角形的面積．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)大正方形面積小正方形面積四個直角三角形面積，即可得到答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論以及完全平方公式變形計算即可．【詳解】（1）解：依圖示可得∴（2）解：，，得【點睛】本題主要了完全平方公式，利用大正方形面積小正方形面積四個直角三角形面積是解題的關(guān)鍵．【考試題型3】勾股定理與無理數(shù)【典例3】（2023春·河南許昌·八年級統(tǒng)考期中）如圖點為數(shù)軸的原點，點和點分別對應(yīng)的實數(shù)是和1．過點B作，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點；以點A為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于點E，則點E對應(yīng)的實數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而得到的長，根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系解答即可．【詳解】解：由題意得，，在中，，∴，∴點E對應(yīng)的實數(shù)是，故選：A．【點睛】本題考查的是勾股定理、實數(shù)與數(shù)軸，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．【專訓(xùn)31】（2023春·安徽合肥·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，以數(shù)軸的單位長度線段為邊作一個正方形，以表示數(shù)2的點為圓心、正方形對角線的長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點A，則點A表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用勾股定理得出的長，再利用得出點位置，即可得出答案．【詳解】解：由題意可得：，，故，則點表示的數(shù)是：．故選：B．【點睛】此題主要考查了勾股定理以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用勾股定理求解．【專訓(xùn)32】（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）勾股定理在《九章算術(shù)》中的表述是：“勾股術(shù)曰：勾股各自乘，并而開方除之，即弦”．即（a為勾，b為股，c為弦），若“勾”為1，“股”為3，則與“弦”最接近的整數(shù)是．【答案】3【分析】先根據(jù)勾股定理計算出“弦”長，再估算出其取值范圍即可．【詳解】解：由題意得“弦”是，∵，，，∴10更接近于9，∴接近于3．故答案為：3．【點睛】本題主要考查勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵．考點三勾股定理的應(yīng)用【考試題型1】梯子滑落問題【典例1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，一架長為米的梯子斜立在一豎直的墻上，這時梯子的底端距離墻角處米，如果梯子頂端沿墻下滑米，梯子的底端沿水平方向滑動米．【答案】【分析】兩次運(yùn)用勾股定理可求得．【詳解】解：在中，米，米，米，米．在中，米，米，米，所以米．即梯子底端滑動了米．故答案為：．【點睛】此題考查了學(xué)生對勾股定理的理解及運(yùn)用能力，解答此題時要注意梯子在滑動前后的長度不變．【專訓(xùn)11】（2023秋·山東棗莊·八年級滕州育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，一根長的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時梯子的底端距墻底端．如果梯子的頂端下滑，那么梯子的底端將向右滑動多少米？【答案】米．【分析】先在中，利用勾股定理出的長，再根據(jù)線段的和差可得的長，然后在中，利用勾股定理求出的長，最后根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：如圖，由題意得：，在中，，∴，在中，，∴，答：梯子的底端將向右滑動米．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．【專訓(xùn)12】（2022秋·廣東佛山·八年級佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個25米長的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時的距離為24米，如果梯子的頂端A沿墻下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，對嗎？為什么？【答案】不對，梯子底端B向外移動了米，理由見解析．【分析】在中，利用勾股定理求得的長度，在中，利用勾股定理求得的長度，即可求解．【詳解】解：不對，梯子底端B向外移動了米，理由如下：在中，（米），（米），由勾股定理可得：（米），由題意可得：（米），（米），∴（米），在中，由勾股定理可得：（米），（米），答：梯子底端B向外移動了米．【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在直角三角形中，兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方．【考試題型2】旗桿高度問題【典例2】（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在電線桿上的點處，向地面拉有一條長的鋼纜，地面固定點到電線桿底部的距離，于，電線桿上的固定點到電線桿頂端的距離為，求電線桿的高度．【答案】電線桿的高度為【分析】勾股定理求出的長，再利用進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，在中，由勾股定理得，，，電線桿的高度為．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．【專訓(xùn)21】（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市福田區(qū)蓮花中學(xué)?？计谀┯幸患芮锴?，當(dāng)它靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推送（水平距離時，秋千的踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索的長度．【答案】【分析】設(shè)秋千的繩索長為，根據(jù)題意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．【詳解】解：在中，，設(shè)秋千的繩索長為，則，故，解得：，答：繩索的長度是．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出、的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．【專訓(xùn)22】（2023春·河北邢臺·八年級?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)小組要測量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1所示），聰明的小迪發(fā)現(xiàn)：先測出繩子多出的部分（該處繩子是直的）的長度，再將繩子拉直（如圖2所示），測出繩子末端D到旗桿底部B的距離的長度，利用所學(xué)知識就能求出旗桿的長．已知米，米．(1)求旗桿的長；(2)小迪在D處，用手拉住繩子的末端，伸直手臂（拉繩處E與腳底F的連線與地面垂直），后退至將繩子剛好拉直為止（如圖3所示），測得小迪手臂伸直后的高度為2米，過點E作于點G，，，求小迪后退了幾米？【答案】(1)旗桿的長為9米(2)小迪需要后退米【分析】（1）在中，由勾股定理計算即可；（2）在中，求出，根據(jù)便可求出后退的距離．【詳解】（1）解：由題意可得，，在中，，即，解得，即旗桿AB的長為9米；（2）解：由題意可得，，，在中，，即，解得，∴，即小迪需要后退米．【點睛】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，要熟練掌握．【考試題型3】大樹折斷問題【典例3】（2023秋·河北廊坊·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，一場暴雨這后，垂直于地面的一棵樹在距地面處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經(jīng)測量，則樹高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出，即可得到樹高．【詳解】解：如圖，連接，在中，,，∴，∴樹高為．故選：C【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)31】（2023春·湖南郴州·八年級?？计谥校┤鐖D，一棵大樹在離地面5米高的B處斷裂，樹頂落在距離樹底部12米的A處（米），則大樹斷裂之前的高度為．【答案】18米/18m【分析】根據(jù)大樹折斷部分、下部、地面恰好構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：由題意得，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：米．所以大樹的高度是米．故選：米．【點睛】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)32】（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，一根竹子高10尺，折斷后竹子的頂端落在離竹子底端3尺處，折斷處離地面的高度是多少尺？【答案】折斷處離地面的高度是尺．【分析】設(shè)折斷處離地面的高度是尺，根據(jù)勾股定理即可列出方程進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)桿子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：．故折斷處離地面的高度是尺．【點睛】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理的應(yīng)用．【考試題型4】水中筷子問題【典例4】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面半徑為，內(nèi)壁高為．若這支鉛筆的長為，則這只鉛筆在筆筒外面部分的長度不可能是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)鉛筆不垂直于底面放置時，利用勾股定理可求得鉛筆露出筆筒部分的最小長度；考慮當(dāng)鉛筆垂直于筆筒底面放置時，鉛筆在筆筒外面部分的長度是露出的最大長度；從而可確定答案．【詳解】當(dāng)鉛筆不垂直于底面放置時，由勾股定理得：，則鉛筆在筆筒外部分的最小長度為：；當(dāng)鉛筆垂直于筆筒底面放置時，鉛筆在筆筒外面部分的長度為，即鉛筆在筆筒外面最長不超過，所以鉛筆露出筆筒部分的長度不短于，不超過．只有A選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分別考慮兩種極端情況，問題即解決．【專訓(xùn)41】（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）將一根長的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中．如圖，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為．則h的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短；當(dāng)筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長；分別求出幾的最大值和最小值即可．【詳解】解：如圖1，當(dāng)筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長，∴；如圖2，當(dāng)筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在中，，∴，此時，∴h的取值范圍是，故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，明確題意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)42】（2023春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一個水池，水面是一邊長為6尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，求這根蘆葦?shù)拈L度．【答案】這根蘆葦?shù)拈L度為5尺．【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深為尺，則蘆葦長為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L度（尺），答：這根蘆葦?shù)拈L度為5尺．【點睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．從實際問題抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．【考試題型5】旗選址相等問題【典例5】（2023秋·遼寧朝陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，鐵路上A、D兩點相距25千米，B，C為兩村莊，于A，于D，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上建一個土特產(chǎn)品收購站，使得B、C兩村到站的距離相等，則站應(yīng)建在距點A千米．【答案】10【分析】根據(jù)使得B，C兩村到P站的距離相等，需要證明，再根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：設(shè)千米，則千米，∵B、C兩村到P站的距離相等，∴．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，又∵，，∴，∴，故答案為10．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理解答是解決問題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)51】（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，筆直公路上、兩點相距千米，、為兩居民區(qū)，于，于，已知千米，千米，現(xiàn)要在公路段上建一超市，使、兩居民區(qū)到的距離相等，則超市應(yīng)建在離處多遠(yuǎn)處．【答案】千米【分析】設(shè)千米，則千米，利用勾股定理求出兩個直角三角形的斜邊長，再利用兩個三角形的斜邊相等求出的長即可．【詳解】設(shè)千米，則千米，因為，所以，解得：千米，經(jīng)檢驗是原方程的解，故超市應(yīng)建在離處千米處．【點睛】考查根據(jù)勾股定理確定相應(yīng)長度，利用兩直角三角形斜邊相等是解答本題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)52】（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）“三農(nóng)”問題是關(guān)系國計民生的根本問題，實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設(shè)美麗中國的關(guān)鍵舉措．如圖，公路上兩點相距50km，為兩村莊，于，于，已知，，現(xiàn)在要在公路上建一個土特產(chǎn)品市場，使得兩村莊到市場的距離相等，則市場應(yīng)建在距多少千米處?并判斷此時的形狀，請說明理由．【答案】市場應(yīng)建在距的20千米處；是等腰直角三角形，理由見解析．【分析】可以設(shè)，則，在直角中根據(jù)勾股定理可以求得，在直角中根據(jù)勾股定理可以求得，根據(jù)可以求得x的值，即可求得的值．【詳解】解：設(shè)，則，在直角中，，在直角中，，，解得：，即；市場應(yīng)建在距的20千米處；，