專題01勾股定理（考點(diǎn)清單）八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（北師大版）

專題01勾股定理（考點(diǎn)清單）思維導(dǎo)圖考點(diǎn)一探索勾股定理【考試題型1】用勾股定理解直角三角形【典例1】（2023春·廣西桂林·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．【答案】，【分析】在中，根據(jù)勾股定理即可求解的長(zhǎng)，根據(jù)等面積法可求的長(zhǎng)．【詳解】解：∵在中，，，，∴在中，，∵，∴，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，幾何圖形中等面積法求高的計(jì)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)11】（2023春·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則線段的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)時(shí)，線段取最小值，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，∵當(dāng)時(shí)，線段取最小值，∴當(dāng)時(shí)，，∴，即，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，兩直角邊平方和等于斜邊平方．【專訓(xùn)12】

（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在長(zhǎng)方形中，，，在邊上取一點(diǎn)E，將折疊，使點(diǎn)A落在上，記為點(diǎn)F，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】設(shè)，由對(duì)折可得：，，求解，可得，再利用勾股定理建立方程，從而可得答案．【詳解】解：∵長(zhǎng)方形，，，∴，，，設(shè)，由對(duì)折可得：，，∴，∴，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是長(zhǎng)方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．【考試題型2】勾股樹(shù)問(wèn)題【典例2】（2021春·廣東東莞·八年級(jí)光正實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（

）A．2，3，4 B．8，15，16 C．，6， D．5，12，13【答案】D【分析】由勾股數(shù)的定義，只要驗(yàn)證兩較小正整數(shù)的平方和等于最大正整數(shù)的平方，則這三個(gè)數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A．，故選項(xiàng)不符合題意；B．，故選項(xiàng)不符合題意；C．，6，都不是正整數(shù)，肯定不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；D．，故選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股數(shù)，熟知勾股數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)21】（2020秋·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中原有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的邊長(zhǎng)是2，則A、B、C、D、E、F、G這七個(gè)正方形面積之和是（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)正方形的面積公式，運(yùn)用勾股定理得出6個(gè)小正方形的面積和與最大正方形面積的數(shù)量關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得到：A與B的面積的和是E的面積；C與D的面積的和是F的面積；而E，F(xiàn)的面積的和是G的面積．即A、B、C、D、E、F的面積之和為2個(gè)G的面積．∵G的面積是，∴A、B、C、D、E、F、G的面積之和為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，關(guān)鍵就是運(yùn)用勾股定理和正方形的面積公式推導(dǎo)出6個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面積的2倍．【專訓(xùn)22】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）下圖是“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”的“生長(zhǎng)”過(guò)程：如圖①，一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，經(jīng)過(guò)第一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形，且三個(gè)正方形所圍成的三角形是直角三角形；再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后變成了②；如此繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，則第2023次“生長(zhǎng)”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”上所有正方形的面積和為．【答案】【分析】根據(jù)正方形的面積公式求出第一個(gè)正方形的面積，根據(jù)勾股定理求出經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)生長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形的面積和，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答．【詳解】解：如圖，第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，第一個(gè)正方形的面積為，由勾股定理得，，，即經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后在它的上側(cè)生長(zhǎng)出兩個(gè)小正方形的面積和為，“生長(zhǎng)”第1次后所有正方形的面積和為，同理，“生長(zhǎng)”第2次后所有正方形的面積和為，則“生長(zhǎng)”第2023次后所有正方形的面積和為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、圖形的變化，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．【考試題型3】勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題【典例3】（2023秋·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）圖1、圖2中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在圖1中畫(huà)出一個(gè)面積是3的直角三角形；在圖2中畫(huà)出一個(gè)面積是5的正方形．【答案】見(jiàn)解析【分析】在圖1中只要畫(huà)出一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為2，3的直角三角形即可；在圖2中利用勾股定理找出直角邊長(zhǎng)分別是1，2的直角三角形，則其斜邊即為正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：如圖1，的面積是3，即為所作；如圖2，正方形的面積為，即為所作．【點(diǎn)睛】本題考查了格點(diǎn)作圖和勾股定理，熟練掌握勾股定理、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)31】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，正方形網(wǎng)格中的每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)圖．(1)在圖a中畫(huà)一個(gè)面積為24，周長(zhǎng)為24的直角；(2)在圖b中畫(huà)出一個(gè)斜邊為的等腰直角，并直接寫(xiě)出三角形的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理，取,則,滿足要求；（2）令等腰直角中斜邊為，則，，由勾股定理求得，在網(wǎng)格圖中，結(jié)合勾股定理確定三角形頂點(diǎn)，根據(jù)周長(zhǎng)定義計(jì)算求解．【詳解】（1）解：如圖，取,則,周長(zhǎng)，面積.滿足題意；（2）解：令等腰直角中斜邊為，則，，∴．如圖，取D，E為長(zhǎng)寬為4，2的長(zhǎng)方形相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)，相應(yīng)確定點(diǎn)F，周長(zhǎng)：【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格圖中勾股定理的應(yīng)用，結(jié)合網(wǎng)格圖熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)32】（2023春·山西呂梁·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．(1)在圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)面積為10的正方形；(2)在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形，使三角形三邊長(zhǎng)分別為2，，，這個(gè)三角形的面積為_(kāi)_____．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2，圖見(jiàn)解析【分析】（1）利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格得出符合題意的圖形；（2）利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格得出符合題意的圖形．【詳解】（1）解：如圖：面積為10的正方形的邊長(zhǎng)為，，如圖所示的四邊形即為所求；（2）解：如圖所示：，，如圖所示的三角形即為所求；這個(gè)三角形的面積，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是能夠利用勾股定理求出網(wǎng)格中線段的長(zhǎng)度．【考試題型4】勾股定理與折疊問(wèn)題【典例4】（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】利用勾股定理求得，由折疊的性質(zhì)可得，，求得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)得，，，∴，設(shè)，則，在中，，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)41】（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，將折疊，使點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可求的長(zhǎng)，即可求的長(zhǎng)．【詳解】解：是中點(diǎn)，，，將折疊，使點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，，，在中，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)的定義以及方程思想，綜合性較強(qiáng)．【專訓(xùn)42】（2023秋·山東棗莊·八年級(jí)滕州育才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，中，，，，將沿折疊，使落在斜邊上且與重合，則．【答案】3【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再由圖形翻折變換的性質(zhì)得出，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理求出的值即可．【詳解】解：中，，，，．由翻折而成，，，．設(shè)，則，，在中，，即，解得．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【考試題型5】利用勾股定理證明線段和差關(guān)系【典例5】（2023秋·山東棗莊·八年級(jí)滕州育才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，已知，D是斜邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接(1)求證：；(2)若，，求的周長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)14【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，在利用勾股定理建立線段的平方關(guān)系，再等量代換即可求證；（2）在中，由勾股定理得的長(zhǎng)度，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵D是斜邊的中點(diǎn)，，∴是線段的垂直平分線，∴.在中，由勾股定理得，∴，即.（2）解：∵D是斜邊的中點(diǎn)，，∴.在中，由勾股定理得，∴.又∵，∴，∴的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．【專訓(xùn)51】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點(diǎn)在的斜邊上．(1)判斷與間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)直接寫(xiě)出線段、、間滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，即，即可得出；（2）證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，求得，進(jìn)而勾股定理即可得證．【詳解】（1）理由如下，∵和都是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴；（2），如圖所示，連接，由（1）可得∵∴∴，，∵∴∵在四邊形中，∴是直角三角形，∴又是等腰直角三角形，∴，即,又∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)52】（2022春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．（1）若，，，則；（2）若，，則；（3）若，，，，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】【分析】（1）根據(jù)題意和勾股定理即可求出．（2）利用勾股定理，進(jìn)行等量代換，可以得到的值．（3）由（2）得求解過(guò)程可以得到，進(jìn)行替換即可．【詳解】（1），，，．故答案為．（2）由（1）得：，，，，，，，．故答案為．（3）由（2）得：，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用問(wèn)題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二一定是直角三角形嗎【考試題型1】勾股定理的證明方法【典例1】（2023春·廣西南寧·八年級(jí)校聯(lián)考期中）現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長(zhǎng)分別是a、b、c．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長(zhǎng)為c的正方形）．(1)觀察：從整體看，整個(gè)圖形的面積等于各部分面積的和．所以圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為，結(jié)論①；圖2中的大正方形的面積又可以用含字母a、b的代數(shù)式表示為：，結(jié)論②；圖3中的大正方形的面積又可以用含字母a、b、c的代數(shù)式表示為：，結(jié)論③；(2)思考：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個(gè)等式；結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個(gè)等式；(3)應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個(gè)半圓的面積分別記作，且，求的值．(4)延伸：若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個(gè)半圓（如圖5），直角邊，，斜邊，求圖中陰影部分面積和．【答案】(1)；(2)；(3)(4)【分析】（1）圖2的大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上兩個(gè)正方形的面積，圖3的大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上中間空白正方形的面積；（2）根據(jù)兩種方法表示的大正方形的面積相等整理即可得解；（3）根據(jù)結(jié)論②求出，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解；（4）根據(jù)結(jié)論③求出陰影部分的面積等于直角三角形的面積，然后列式計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：圖2：；圖3：；（2）解：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個(gè)等式：；結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個(gè)等式：，即，；（3）解：，，，，，，，解得；（4）解：由“應(yīng)用”的解答過(guò)程可知：∴陰影部分面積和，，，陰影部分面積和．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，完全平方公式的幾何背景，讀懂題目材料的信息并用兩種方法準(zhǔn)確表示出同一個(gè)圖形的面積是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)11】（2023春·山西·八年級(jí)校聯(lián)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．勾股定理的證明2000多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，不但因?yàn)檫@個(gè)定理重要，還因?yàn)檫@個(gè)定理貼近人們的生活實(shí)際，以致于古往今來(lái)，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)，都愿意探討研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn)．其中，美國(guó)第20任總統(tǒng)詹姆斯·加菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話，他將兩個(gè)完全相同的直角三角形拼成一個(gè)梯形，巧妙地用面積法給出了勾股定理的證明過(guò)程：如圖：

利用整體法，梯形的面積為利用分割法，梯形的面積為……(1)按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分．(2)如圖，在中，，，于，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)兩種方法得出的梯形的面積相等，即可得出等式（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，在中，勾股定理求得，根據(jù)已知得出，則，進(jìn)而勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵利用整體法，梯形的面積為利用分割法，梯形的面積為∴，∴，即；（2）解：，，，，，，在中，．，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明與應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)12】（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形．趙爽利用幾何圖形的截、割拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，在驗(yàn)明勾股定理，為中國(guó)古代以形證數(shù)形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范．(1)如圖1所示，是小華制作的一個(gè)“趙爽弦圖”紙板，其直角三角形的短直角邊的長(zhǎng)為1．若中間小正方形黑色的面積占總面積的，求直角三角形的長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)；(2)小華將剛剛制作的“趙爽弦圖”紙板中的四個(gè)直角三角形中長(zhǎng)直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，求這個(gè)風(fēng)車的周長(zhǎng)．【答案】(1)2(2)【分析】（1）將大正方形面積設(shè)出來(lái)，利用面積占比表示出小正方形面積，從而得到三角形面積，即可得到，從而得出，再利用小正方形面積求解即可；（2）利用求出，再利用勾股定理求出，依次相加即可求解．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)大正方形面積為，，小正方形的面積占總面積的，小正方形面積為，，四個(gè)直角三角形全等，，，在中，，即，解得：（舍或，；（2）解：如圖，四個(gè)直角三角形中長(zhǎng)直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，，，在中，，這個(gè)風(fēng)車的周長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)求出，再依次求出，．【考試題型2】趙爽弦圖【典例2】（2023春·河南駐馬店·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）“四千年來(lái)，數(shù)學(xué)的道理還是相通的”．運(yùn)用祖沖之的出入相補(bǔ)原理也可證明勾股定理．若圖中空白部分的面積是11，整個(gè)圖形（連同空白部分）的面積是25，則大正方形的邊長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圖中直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊為，根據(jù)題意“空白部分的面積是11，整個(gè)圖形（連同空白部分）的面積是25”可得，將兩式相加并求解即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，設(shè)圖中直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊為，∵圖中空白部分的面積是11，整個(gè)圖形（連同空白部分）的面積是25，∴可有，解得，解得或（不合題意，舍去），∴大正方形的邊長(zhǎng)是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、方程組的應(yīng)用等知識(shí)，正確表示出直角三角形的面積是解題關(guān)鍵．【專訓(xùn)21】（2023春·青海西寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形兩直角邊為a，b．斜邊為c，若，則小正方形的邊長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】A【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：，∵每一個(gè)直角三角形的面積為：，∴大正方形的面積為：，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．【專訓(xùn)22】（2023春·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）我們從生活實(shí)際發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一個(gè)直角三角形兩長(zhǎng)確定時(shí)，斜邊長(zhǎng)也就確定了，古代數(shù)學(xué)就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在直角三角形中，若兩直角邊長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為，則，這就是著名的“勾股定理”（西方把它稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”）．(1)如圖，4個(gè)完全一樣的直角三角形（其兩直角邊長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為）與1個(gè)小正方形，不重疊無(wú)峰隙拼接成的正方形，請(qǐng)用這個(gè)圖驗(yàn)證“勾股定理”．(2)若直角三角形中兩直角邊的和，斜邊長(zhǎng)為3，求直角三角形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)大正方形面積小正方形面積四個(gè)直角三角形面積，即可得到答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論以及完全平方公式變形計(jì)算即可．【詳解】（1）解：依圖示可得∴（2）解：，，得【點(diǎn)睛】本題主要了完全平方公式，利用大正方形面積小正方形面積四個(gè)直角三角形面積是解題的關(guān)鍵．【考試題型3】勾股定理與無(wú)理數(shù)【典例3】（2023春·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖點(diǎn)為數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是和1．過(guò)點(diǎn)B作，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系解答即可．【詳解】解：由題意得，，在中，，∴，∴點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么．【專訓(xùn)31】（2023春·安徽合肥·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)度線段為邊作一個(gè)正方形，以表示數(shù)2的點(diǎn)為圓心、正方形對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用勾股定理得出的長(zhǎng)，再利用得出點(diǎn)位置，即可得出答案．【詳解】解：由題意可得：，，故，則點(diǎn)表示的數(shù)是：．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用勾股定理求解．【專訓(xùn)32】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）勾股定理在《九章算術(shù)》中的表述是：“勾股術(shù)曰：勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，即弦”．即（a為勾，b為股，c為弦），若“勾”為1，“股”為3，則與“弦”最接近的整數(shù)是．【答案】3【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算出“弦”長(zhǎng)，再估算出其取值范圍即可．【詳解】解：由題意得“弦”是，∵，，，∴10更接近于9，∴接近于3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三勾股定理的應(yīng)用【考試題型1】梯子滑落問(wèn)題【典例1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，一架長(zhǎng)為米的梯子斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯子的底端距離墻角處米，如果梯子頂端沿墻下滑米，梯子的底端沿水平方向滑動(dòng)米．【答案】【分析】?jī)纱芜\(yùn)用勾股定理可求得．【詳解】解：在中，米，米，米，米．在中，米，米，米，所以米．即梯子底端滑動(dòng)了米．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了學(xué)生對(duì)勾股定理的理解及運(yùn)用能力，解答此題時(shí)要注意梯子在滑動(dòng)前后的長(zhǎng)度不變．【專訓(xùn)11】（2023秋·山東棗莊·八年級(jí)滕州育才中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，一根長(zhǎng)的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯子的底端距墻底端．如果梯子的頂端下滑，那么梯子的底端將向右滑動(dòng)多少米？【答案】米．【分析】先在中，利用勾股定理出的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差可得的長(zhǎng)，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：如圖，由題意得：，在中，，∴，在中，，∴，答：梯子的底端將向右滑動(dòng)米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．【專訓(xùn)12】（2022秋·廣東佛山·八年級(jí)佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)25米長(zhǎng)的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)的距離為24米，如果梯子的頂端A沿墻下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，對(duì)嗎？為什么？【答案】不對(duì)，梯子底端B向外移動(dòng)了米，理由見(jiàn)解析．【分析】在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)度，在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)度，即可求解．【詳解】解：不對(duì)，梯子底端B向外移動(dòng)了米，理由如下：在中，（米），（米），由勾股定理可得：（米），由題意可得：（米），（米），∴（米），在中，由勾股定理可得：（米），（米），答：梯子底端B向外移動(dòng)了米．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在直角三角形中，兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方．【考試題型2】旗桿高度問(wèn)題【典例2】（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在電線桿上的點(diǎn)處，向地面拉有一條長(zhǎng)的鋼纜，地面固定點(diǎn)到電線桿底部的距離，于，電線桿上的固定點(diǎn)到電線桿頂端的距離為，求電線桿的高度．【答案】電線桿的高度為【分析】勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，在中，由勾股定理得，，，電線桿的高度為．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．【專訓(xùn)21】（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳市福田區(qū)蓮花中學(xué)校考期末）有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推送（水平距離時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索的長(zhǎng)度．【答案】【分析】設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為，根據(jù)題意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．【詳解】解：在中，，設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為，則，故，解得：，答：繩索的長(zhǎng)度是．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出、的長(zhǎng)，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．【專訓(xùn)22】（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)小組要測(cè)量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1所示），聰明的小迪發(fā)現(xiàn)：先測(cè)出繩子多出的部分（該處繩子是直的）的長(zhǎng)度，再將繩子拉直（如圖2所示），測(cè)出繩子末端D到旗桿底部B的距離的長(zhǎng)度，利用所學(xué)知識(shí)就能求出旗桿的長(zhǎng)．已知米，米．(1)求旗桿的長(zhǎng)；(2)小迪在D處，用手拉住繩子的末端，伸直手臂（拉繩處E與腳底F的連線與地面垂直），后退至將繩子剛好拉直為止（如圖3所示），測(cè)得小迪手臂伸直后的高度為2米，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，，，求小迪后退了幾米？【答案】(1)旗桿的長(zhǎng)為9米(2)小迪需要后退米【分析】（1）在中，由勾股定理計(jì)算即可；（2）在中，求出，根據(jù)便可求出后退的距離．【詳解】（1）解：由題意可得，，在中，，即，解得，即旗桿AB的長(zhǎng)為9米；（2）解：由題意可得，，，在中，，即，解得，∴，即小迪需要后退米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，要熟練掌握．【考試題型3】大樹(shù)折斷問(wèn)題【典例3】（2023秋·河北廊坊·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，一場(chǎng)暴雨這后，垂直于地面的一棵樹(shù)在距地面處折斷，樹(shù)尖B恰好碰到地面，經(jīng)測(cè)量，則樹(shù)高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出，即可得到樹(shù)高．【詳解】解：如圖，連接，在中，,，∴，∴樹(shù)高為．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)31】（2023春·湖南郴州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一棵大樹(shù)在離地面5米高的B處斷裂，樹(shù)頂落在距離樹(shù)底部12米的A處（米），則大樹(shù)斷裂之前的高度為．【答案】18米/18m【分析】根據(jù)大樹(shù)折斷部分、下部、地面恰好構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：由題意得，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：米．所以大樹(shù)的高度是米．故選：米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)32】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一根竹子高10尺，折斷后竹子的頂端落在離竹子底端3尺處，折斷處離地面的高度是多少尺？【答案】折斷處離地面的高度是尺．【分析】設(shè)折斷處離地面的高度是尺，根據(jù)勾股定理即可列出方程進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)桿子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：．故折斷處離地面的高度是尺．【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理的應(yīng)用．【考試題型4】水中筷子問(wèn)題【典例4】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面半徑為，內(nèi)壁高為．若這支鉛筆的長(zhǎng)為，則這只鉛筆在筆筒外面部分的長(zhǎng)度不可能是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)鉛筆不垂直于底面放置時(shí)，利用勾股定理可求得鉛筆露出筆筒部分的最小長(zhǎng)度；考慮當(dāng)鉛筆垂直于筆筒底面放置時(shí)，鉛筆在筆筒外面部分的長(zhǎng)度是露出的最大長(zhǎng)度；從而可確定答案．【詳解】當(dāng)鉛筆不垂直于底面放置時(shí)，由勾股定理得：，則鉛筆在筆筒外部分的最小長(zhǎng)度為：；當(dāng)鉛筆垂直于筆筒底面放置時(shí)，鉛筆在筆筒外面部分的長(zhǎng)度為，即鉛筆在筆筒外面最長(zhǎng)不超過(guò)，所以鉛筆露出筆筒部分的長(zhǎng)度不短于，不超過(guò)．只有A選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分別考慮兩種極端情況，問(wèn)題即解決．【專訓(xùn)41】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）將一根長(zhǎng)的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中．如圖，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為．則h的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短；當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)；分別求出幾的最大值和最小值即可．【詳解】解：如圖1，當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，∴；如圖2，當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短，在中，，∴，此時(shí)，∴h的取值范圍是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，明確題意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)42】（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有一個(gè)水池，水面是一邊長(zhǎng)為6尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，求這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度．【答案】這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為5尺．【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深為尺，則蘆葦長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度（尺），答：這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為5尺．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．從實(shí)際問(wèn)題抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．【考試題型5】旗選址相等問(wèn)題【典例5】（2023秋·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，鐵路上A、D兩點(diǎn)相距25千米，B，C為兩村莊，于A，于D，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站，使得B、C兩村到站的距離相等，則站應(yīng)建在距點(diǎn)A千米．【答案】10【分析】根據(jù)使得B，C兩村到P站的距離相等，需要證明，再根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：設(shè)千米，則千米，∵B、C兩村到P站的距離相等，∴．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，又∵，，∴，∴，故答案為10．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理解答是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)51】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，筆直公路上、兩點(diǎn)相距千米，、為兩居民區(qū)，于，于，已知千米，千米，現(xiàn)要在公路段上建一超市，使、兩居民區(qū)到的距離相等，則超市應(yīng)建在離處多遠(yuǎn)處．【答案】千米【分析】設(shè)千米，則千米，利用勾股定理求出兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)，再利用兩個(gè)三角形的斜邊相等求出的長(zhǎng)即可．【詳解】設(shè)千米，則千米，因?yàn)?，所以，解得：千米，?jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，故超市應(yīng)建在離處千米處．【點(diǎn)睛】考查根據(jù)勾股定理確定相應(yīng)長(zhǎng)度，利用兩直角三角形斜邊相等是解答本題的關(guān)鍵．【專訓(xùn)52】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）“三農(nóng)”問(wèn)題是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的根本問(wèn)題，實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設(shè)美麗中國(guó)的關(guān)鍵舉措．如圖，公路上兩點(diǎn)相距50km，為兩村莊，于，于，已知，，現(xiàn)在要在公路上建一個(gè)土特產(chǎn)品市場(chǎng)，使得兩村莊到市場(chǎng)的距離相等，則市場(chǎng)應(yīng)建在距多少千米處?并判斷此時(shí)的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】市場(chǎng)應(yīng)建在距的20千米處；是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析．【分析】可以設(shè)，則，在直角中根據(jù)勾股定理可以求得，在直角中根據(jù)勾股定理可以求得，根據(jù)可以求得x的值，即可求得的值．【詳解】解：設(shè)，則，在直角中，，在直角中，，，解得：，即；市場(chǎng)應(yīng)建在距的20千米處；，