彈性力學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)問(wèn)題

第六屆力學(xué)課程報(bào)告論壇論文第六屆力學(xué)課程報(bào)告論壇論文彈性力學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)問(wèn)題李躍宇（淮海工學(xué)院機(jī)械學(xué)院連云港222005）摘要：彈性力學(xué)與材料力學(xué)是不同的兩個(gè)力學(xué)學(xué)科，教師上課時(shí)把彈性力學(xué)的重要性、與材料力學(xué)的區(qū)別、在力學(xué)中與有限元的關(guān)系、彈性力學(xué)的幾個(gè)層次講清楚，學(xué)生才能聽得進(jìn)去。彈性力學(xué)的重要性在于比材料力學(xué)有更廣的實(shí)用范圍并為以后有限元的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。彈性力學(xué)放棄了平面假設(shè)，方程比較復(fù)雜。彈性力學(xué)平面問(wèn)題有三個(gè)層次：應(yīng)力、應(yīng)變和位移所滿足的一般方程；按應(yīng)力求解的力法要滿足平衡方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件；力法中用逆解法或半逆解法求解的應(yīng)力函數(shù)要滿足相容條件、用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力要滿足應(yīng)力邊界條件。關(guān)鍵詞：彈性力學(xué)；材料力學(xué)；有限元法；力法彈性力學(xué)的重要性彈性力學(xué)實(shí)用范圍比材料力學(xué)更廣。材料力學(xué)只能解決桿系問(wèn)題，而且必須是長(zhǎng)桿問(wèn)題。彈性力學(xué)能解決許多材料力學(xué)不能解決的問(wèn)題，比如孔口問(wèn)題、深梁?jiǎn)栴}。有的材料力學(xué)書里列出孔口問(wèn)題的解，但實(shí)際上是從彈性力學(xué)中移植過(guò)來(lái)的。淺梁?jiǎn)栴}，材料力學(xué)可以有較精確的解；但是深梁?jiǎn)栴}，材料力學(xué)只能得到近似解。梁越深，材料力學(xué)解的誤差就越大。彈性力學(xué)是斷裂力學(xué)的基礎(chǔ)，裂縫問(wèn)題就是孔口問(wèn)題的一個(gè)特例。對(duì)高強(qiáng)度的鋼材、焊接結(jié)構(gòu)、大型鍛件，就需要進(jìn)行斷裂力學(xué)的分析，沒有彈性力學(xué)的基礎(chǔ)，就不可能很好地應(yīng)用斷裂力學(xué)。彈性力學(xué)也是有限元的基礎(chǔ)。許多重要結(jié)構(gòu)（飛機(jī)、船舶、汽車等）的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)都少不了有限元的分析。有限元的分析可以有效地指導(dǎo)設(shè)計(jì)工作，大大節(jié)約了工作量和試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)。彈性力學(xué)盡管有比材料力學(xué)應(yīng)用更廣的理論框架，但是用彈性力學(xué)分析的解析解不是很多，這就要用到有限元來(lái)分析。如果不學(xué)彈性力學(xué)，有限元根本無(wú)法正確地理解和應(yīng)用。有限元軟件的學(xué)習(xí)是用考題來(lái)取得進(jìn)步的，考題就要用彈性力學(xué)解析解與有限元法的結(jié)果進(jìn)行比較。彈性力學(xué)與材料力學(xué)的區(qū)別彈性力學(xué)和材料力學(xué)所用到的平衡方程都是理論力學(xué)中得到的，材料力學(xué)是用內(nèi)力表示的，但是彈性力學(xué)平衡方程是用應(yīng)力表示的。材料力學(xué)采用平面假設(shè)，可以容易得到應(yīng)力分布和內(nèi)力之間的簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，以內(nèi)力作為未知量，先解出內(nèi)力再解出應(yīng)力。但是對(duì)于短梁?jiǎn)栴}，平面假設(shè)是不能用的，材料力學(xué)就失效了，只能用彈性力學(xué)來(lái)解題。彈性力學(xué)從根本上放棄了平面假設(shè)，基本方程實(shí)用更廣也比較復(fù)雜，變量有應(yīng)力、應(yīng)變和位移三種。彈性力學(xué)平面問(wèn)題三個(gè)層次層次1：應(yīng)力、應(yīng)變、位移所應(yīng)該滿足的方程平衡方程：；（1）幾何方程：，（2）；（3）物理方程（只列出平面應(yīng)力問(wèn)題，平面應(yīng)變問(wèn)題需要變換一下泊松比和彈性模量）：，（4）；（5）位移邊界條件條件：，；（6）應(yīng)力邊界條件：。（7）（1）-（7）是彈性力學(xué)平面問(wèn)題最一般的方程。如果應(yīng)力、應(yīng)變、位移滿足（1）-（7），那么一定是真實(shí)的解。層次2：力法中應(yīng)力應(yīng)該滿足的方程這里只討論常體力，需要滿足方程是：平衡方程滿足（1）；相容方程滿足：；（8）對(duì)只含應(yīng)力邊界的問(wèn)題，邊界條件滿足（7）。如果應(yīng)力滿足（1）、（8）、（7），該應(yīng)力一定是真實(shí)的解。層次3：力法中用逆解法和半逆解法求解，應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力應(yīng)該滿足的方程應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程：；（9）應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系為：，(10)；(11)對(duì)只含應(yīng)力邊界的問(wèn)題，應(yīng)力需要滿足應(yīng)力邊界條件（7）。如果引入的應(yīng)力函數(shù)滿足（9），用（10）-（11）求出的應(yīng)力滿足（7），那么該應(yīng)力一定是真實(shí)的解。搞清楚這三個(gè)層次，那么彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本解法就搞清楚了。力法、位移法與有限元法3.2、3.3討論的都是力法，力法是以應(yīng)力為未知量，先解出應(yīng)力再求出應(yīng)變和位移，力法可以得到一些精確解。另外一種方法是位移法，就是先解出位移再解出應(yīng)變和應(yīng)力。因?yàn)槠矫鎲?wèn)題中位移法的兩個(gè)平衡方程不能解耦，所以求解不了多少精確解。有限元法是用彈性力學(xué)變分原理得到了數(shù)值方法，大多是按位移求解的，搞清楚位移法的思路對(duì)以后學(xué)習(xí)有限元法是有幫助的。結(jié)論（1）材料力學(xué)只能解決桿系問(wèn)題，用到了平面假設(shè)，由內(nèi)力得到應(yīng)力；彈性力學(xué)放棄了平面假設(shè)，用應(yīng)力表示平衡方程，基本方程實(shí)用更廣也更加復(fù)雜，變量有應(yīng)力、應(yīng)變和位移三種。（2）彈性力學(xué)平面問(wèn)題有三個(gè)層次：應(yīng)力、應(yīng)變和位移所滿足的一般方程；按應(yīng)力求解的力法要滿足平衡方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件；力法中用逆解法或半逆解法求解應(yīng)力函數(shù)要滿足相容條件、用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力要滿足應(yīng)力邊界條件。（3）彈性力學(xué)是有限元的基礎(chǔ)，學(xué)好彈性力學(xué)才能學(xué)好有限元。參考文獻(xiàn)[1]王潤(rùn)富，陳國(guó)榮.建議提高彈性力學(xué)在工科專業(yè)課程設(shè)置中的地位.力學(xué)課程報(bào)告論壇論文集2006，2006：337-338[2]徐芝綸.彈性力學(xué)第二版（上冊(cè)）.北京：人民教育出版社，1982[3]