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天津市濱海新區(qū)天津開發(fā)區(qū)第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下期中數(shù)學(xué)試題理模擬題卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示,且,則的最小值為()A. B.C. D.2.雙曲線:(,)的一個焦點為(),且雙曲線的兩條漸近線與圓:均相切,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.3.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.4.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有勾六步,股八步,問勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點,則此點取自內(nèi)切圓的概率是()A. B. C. D.5.3本不同的語文書,2本不同的數(shù)學(xué)書,從中任意取出2本,取出的書恰好都是數(shù)學(xué)書的概率是()A. B. C. D.6.在滿足,的實數(shù)對中,使得成立的正整數(shù)的最大值為()A.5 B.6 C.7 D.97.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,8.已知等差數(shù)列的公差不為零,且,,構(gòu)成新的等差數(shù)列,為的前項和,若存在使得,則()A.10 B.11 C.12 D.139.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.10.設(shè)為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.11.已知橢圓的右焦點為F,左頂點為A,點P橢圓上,且,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.12.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,a5=16,a3a4=﹣32,則S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣85二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍為__________.14.某高校開展安全教育活動,安排6名老師到4個班進行講解,要求1班和2班各安排一名老師,其余兩個班各安排兩名老師,其中劉老師和王老師不在一起,則不同的安排方案有________種.15.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個解,則實數(shù)的取值范圍是________16.已知數(shù)列滿足對任意,,則數(shù)列的通項公式__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)不等式的解集為M,.(1)證明:;(2)比較與的大小,并說明理由.18.(12分)某動漫影視制作公司長期堅持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品,獲得市場和廣大觀眾的一致好評,同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)).年份年份代號年利潤(單位:億元)(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測該公司年(年份代號記為)的年利潤;(Ⅱ)當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由(Ⅰ)中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時,稱該年為級利潤年,否則稱為級利潤年.將(Ⅰ)中預(yù)測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值,現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年,求恰有年為級利潤年的概率.參考公式:,.19.(12分)已知均為正實數(shù),函數(shù)的最小值為.證明:(1);(2).20.(12分)如圖,在四棱柱中,底面為菱形,.(1)證明:平面平面;(2)若,是等邊三角形,求二面角的余弦值.21.(12分)已知函數(shù),.(1)當時,求不等式的解集;(2)若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形,求的值.22.(10分)某大學(xué)開學(xué)期間,該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣騎手,該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案:方案規(guī)定每日底薪100元,外賣業(yè)務(wù)每完成一單提成2元;方案規(guī)定每日底薪150元,外賣業(yè)務(wù)的前54單沒有提成,從第55單開始,每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量,現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)隨機選取一天,估計這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的概率;(2)從以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)看,新聘騎手選擇日工資方案的概率為,選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應(yīng)聘,四人選擇日工資方案相互獨立,求至少有兩名騎手選擇方案的概率,(3)若僅從人日均收入的角度考慮,請你為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說明理由.(同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
是函數(shù)的零點,根據(jù)五點法求出圖中零點及軸左邊第一個零點可得.【詳解】由題意,,∴函數(shù)在軸右邊的第一個零點為,在軸左邊第一個零點是,∴的最小值是.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的周期性,考查函數(shù)的對稱性.函數(shù)的零點就是其圖象對稱中心的橫坐標.2、A【解析】
根據(jù)題意得到,化簡得到,得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:焦點到漸近線的距離為,故,故漸近線為.故選:.【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,雙曲線的漸近線,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.3、B【解析】
三視圖對應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體,利用割補法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示,它是一個圓柱截去上面一塊幾何體,把該幾何體補成如下圖所示的圓柱,其體積為,故原幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積,復(fù)原幾何體時注意三視圖中的點線關(guān)系與幾何體中的點、線、面的對應(yīng)關(guān)系,另外,不規(guī)則幾何體的體積可用割補法來求其體積,本題屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑,再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積,根據(jù)幾何概型的概率計算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長為,利用等面積法,可得其內(nèi)切圓的半徑為,所以向次三角形內(nèi)投擲豆子,則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選:C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題,其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì),求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.5、D【解析】
把5本書編號,然后用列舉法列出所有基本事件.計數(shù)后可求得概率.【詳解】3本不同的語文書編號為,2本不同的數(shù)學(xué)書編號為,從中任意取出2本,所有的可能為:共10個,恰好都是數(shù)學(xué)書的只有一種,∴所求概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型,解題方法是列舉法,用列舉法寫出所有的基本事件,然后計數(shù)計算概率.6、A【解析】
由題可知:,且可得,構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),通過導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性,結(jié)合圖像得出,即得出,從而得出的最大值.【詳解】因為,則,即整理得,令,設(shè),則,令,則,令,則,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則,因為,,由題可知:時,則,所以,所以,當無限接近時,滿足條件,所以,所以要使得故當時,可有,故,即,所以:最大值為5.故選:A.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值,以及運用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法,同時考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.7、B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.8、D【解析】
利用等差數(shù)列的通項公式可得,再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由,,構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得:又所以時,.故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項.【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個選項可知,只有正確.故選:A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.10、D【解析】
用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計算.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式,解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.11、C【解析】
不妨設(shè)在第一象限,故,根據(jù)得到,解得答案.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故選:.【點睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計算能力.12、D【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通過解該方程求得它們的值,求首項和公比,根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,則,則,故選:D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和,根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
畫圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,利用偶函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性可解.【詳解】作出函數(shù)的圖如下所示,觀察可知,函數(shù)為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故,故實數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論:(1)如果函數(shù)是偶函數(shù),那么.(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.14、156【解析】
先考慮每班安排的老師人數(shù),然后計算出對應(yīng)的方案數(shù),再考慮劉老師和王老師在同一班級的方案數(shù),兩者作差即可得到不同安排的方案數(shù).【詳解】安排6名老師到4個班則每班老師人數(shù)為1,1,2,2,共有種,劉老師和王老師分配到一個班,共有種,所以種.故答案為:.【點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,難度一般.對于分組的問題,首先確定每組的數(shù)量,對于其中特殊元素,可通過“正難則反”的思想進行分析.15、【解析】
先換元,令,將原方程轉(zhuǎn)化為,利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)的圖像交點,觀察圖像,即可求出.【詳解】因為關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個解,令,所以方程在上只有一解,即有,直線與在的圖像有一個交點,由圖可知,實數(shù)的取值范圍是,但是當時,還有一個根,所以此時共有3個根.綜上實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查學(xué)生運用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力,方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點問題,是常見的轉(zhuǎn)化方式.16、【解析】
利用累加法求得數(shù)列的通項公式,由此求得的通項公式.【詳解】由題,所以故答案為:【點睛】本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】試題分析:(1)首先求得集合M,然后結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論;(2)利用平方做差的方法可證得|1-4ab|>2|a-b|.試題解析:(Ⅰ)證明:記f(x)=|x-1|-|x+2|,則f(x)=,所以解得-<x<,故M=(-,).所以,||≤|a|+|b|<×+×=.(Ⅱ)由(Ⅰ)得0≤a2<,0≤b2<.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以,|1-4ab|>2|a-b|.18、(Ⅰ),該公司年年利潤的預(yù)測值為億元;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)求出和的值,將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式,求得和的值,進而可求得關(guān)于的線性回歸方程,然后將代入回歸直線方程,可得出該公司年年利潤的估計值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數(shù),然后利用組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),計算可得,,,又,,,關(guān)于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得(億元),該公司年的年利潤的預(yù)測值為億元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利潤的估計值分別為、、、、、、、(單位:億元),其中實際利潤大于相應(yīng)估計值的有年.故這年中被評為級利潤年的有年,評為級利潤年的有年.記“從年至年這年的年利潤中隨機抽取年,恰有年為級利潤年”的概率為,.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程,同時也考查了古典概型概率的計算,涉及組合計數(shù)原理的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.19、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)運用絕對值不等式的性質(zhì),注意等號成立的條件,即可求得最小值,再運用柯西不等式,即可得到最小值.(2)利用基本不等式即可得到結(jié)論,注意等號成立的條件.【詳解】(1)由題意,則函數(shù),又函數(shù)的最小值為,即,由柯西不等式得,當且僅當時取“=”.故.(2)由題意,利用基本不等式可得,,,(以上三式當且僅當時同時取“=”)由(1)知,,所以,將以上三式相加得即.【點睛】本題主要考查絕對值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識,考查運算能力,屬于中檔題.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可知,只需證明平面即可.由為菱形可得,連接和與的交點,由等腰三角形性質(zhì)可得,即能證得平面;(2)由題意知,平面,可建立空間直角坐標系,以為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,再分別求出平面的法向量,平面的法向量,即可根據(jù)向量法求出二面角的余弦值.【詳解】(1)如圖,設(shè)與相交于點,連接,又為菱形,故,為的中點.又,故.又平面,平面,且,故平面,又平面,所以平面平面.(2)由是等邊三角形,可得,故平面,所以,,兩兩垂直.如圖以為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系.不妨設(shè),則,,則,,,,,,設(shè)為平面的法向量,則即可取,設(shè)為平面的法向量,則即可取,所以.所以二面角的余弦值為0.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的應(yīng)用,以及利用向量法求二面角,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)【解析】
(1)當時,,由可得,(所以,解得,所以不等
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