第五章圖形變換

第五章圖形變換

主要介紹窗口到視區(qū)的變換二維幾何變換三維幾何變換投影變換10/25/20231北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二維圖形的顯示流程圖（1/4）坐標(biāo)系：建立了圖形與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)聯(lián)系世界坐標(biāo)系(worldcoordinate)用戶坐標(biāo)系(usercoordinate)局部坐標(biāo)系(localcoordinate)10/25/20232北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院圖形的幾何變換通過對(duì)圖形的幾何變換可以改變圖形的位置和大小；由簡(jiǎn)單圖形得到復(fù)雜圖形；實(shí)現(xiàn)三維圖形的二維顯示等等。圖形幾何變換有兩種模式：坐標(biāo)模式變換和圖形模式變換。如不特別指出，本章的變換都指后一種。10/25/20233北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院5.1二維坐標(biāo)系統(tǒng)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中使用的坐標(biāo)系通常是人們所熟悉的直角坐標(biāo)系。在不同的空間，計(jì)算機(jī)使用不同的坐標(biāo)系。10/25/20234北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院 坐標(biāo)系統(tǒng)

為描述對(duì)象、構(gòu)造場(chǎng)景或完成圖形變換，需要不同的坐標(biāo)系！1.世界坐標(biāo)系 －定義對(duì)象與外界環(huán)境的關(guān)系2.設(shè)備坐標(biāo)系 －定義圖形顯示的位置、大小3.規(guī)范化坐標(biāo) －為保證互換性（與設(shè)備無關(guān)）而定義的輔助坐標(biāo)世界坐標(biāo)WorldCoordinate繪圖儀其它輸出設(shè)備設(shè)備坐標(biāo)DeviceCoordinateScreenCoordinate111規(guī)范化坐標(biāo)NormalizedCoordinate10/25/20235北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院5.1.1世界坐標(biāo)系（WC）世界坐標(biāo)系（WorldCoordinateSystem）是用戶用來定義圖形或物體的坐標(biāo)系，故也稱用戶坐標(biāo)系。10/25/20236北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院5.1.2設(shè)備坐標(biāo)系（DC）圖形的輸出設(shè)備所具有的坐標(biāo)系稱為設(shè)備坐標(biāo)系（DeviceCoordinateSystem）設(shè)備坐標(biāo)系是一個(gè)二維坐標(biāo)系，它的度量單位是象素或步長(zhǎng)（繪圖儀）。它的定義域是整數(shù)域且有界的。例如當(dāng)顯示器的分辨率為1024×768時(shí)，定義域?yàn)閇0，1023]×[0，767]。10/25/20237北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院5.1.3規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系(NDC)不同的圖形輸出設(shè)備具有不同的設(shè)備坐標(biāo)系,如原點(diǎn)位置和定義域。這就使應(yīng)用程序與具體的輸出設(shè)備有關(guān)，給圖形處理和應(yīng)用程序的移植帶來不便。為此，引入一個(gè)與設(shè)備無關(guān)的規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系（NormalizedDeviceCoordinateSystem）。NDC的x，y坐標(biāo)的取值范圍均為[0，1]。10/25/20238北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換10/25/20239北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院5.2窗口—視圖區(qū)的變換窗口是用戶在世界坐標(biāo)系指定的一個(gè)矩形區(qū)域，其各邊分別與坐標(biāo)軸平行?？梢杂善渥笙陆屈c(diǎn)和右上角點(diǎn)的坐標(biāo)來定義。窗口中包含用戶要顯示的圖形。視區(qū)是用戶在設(shè)備坐標(biāo)系中定義的一個(gè)矩形區(qū)域。用來顯示窗口中的圖形。窗口和視區(qū)是在不同的坐標(biāo)系中定義的，因此在把窗口中的圖形輸出到視區(qū)之前，必須要進(jìn)行坐標(biāo)變換，即窗視變換。10/25/202310北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院窗口和視區(qū)10/25/202311北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院窗口和視區(qū)10/25/202312北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院窗視變換的過程10/25/202313北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院窗視變換的公式10/25/202314北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院說明式中分別反映了視區(qū)與窗口之間在x和y方向的縮放比例，a和b則分別反映了點(diǎn)（xv，yv）在x和y方向的偏移量。顯然，當(dāng)時(shí)，窗口和視區(qū)的大小相等，在各自坐標(biāo)系的位置相同。若則世界坐標(biāo)系中的圖形在輸出設(shè)備上顯示時(shí)將在x和y方向拉伸或壓縮。10/25/202315北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院如將視區(qū)設(shè)置在規(guī)格化坐標(biāo)系中時(shí)，可設(shè)視區(qū)的左下角點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，即，而，則：10/25/202316北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院從NDC變換到DC式中Vx，Vy分別為視區(qū)x，y方向的大小，（Vx1，Vy1）為視區(qū)的左下角點(diǎn)。輸出圖形時(shí)，再將規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)變換到設(shè)備坐標(biāo)系的具體視區(qū)，設(shè)窗口中的變換到NDC中為，則：10/25/202317北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院二維圖形的顯示流程圖10/25/202318北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院5.3變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(1/4)矢量運(yùn)算：和、點(diǎn)積、長(zhǎng)度、叉積矢量矢量和

10/25/202319北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(2/4)矢量的數(shù)乘

矢量的點(diǎn)積性質(zhì)10/25/202320北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(3/4)矢量的長(zhǎng)度單位矢量矢量的夾角矢量的叉積10/25/202321北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(4/4)矩陣階矩陣Am×nn階方陣An×n零矩陣的運(yùn)算Am×n+0m×n=

Am×n行向量與列向量單位矩陣(Am×n·In=Am×n,In·Am×n=Am×n)矩陣的加法A+B矩陣的數(shù)乘KA矩陣的乘法A·B矩陣的轉(zhuǎn)置A=(AT)T矩陣的逆A·A-1=A-1·A=I矩陣運(yùn)算的基本性質(zhì)10/25/202322北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院5.3二維圖形的幾何變換5.3.1圖形的變換方法為了便于實(shí)現(xiàn)圖形的連續(xù)變換,一般采用矩陣變換的方法。二維空間點(diǎn)寫成行矢量[x，y]。可用具有一定關(guān)系的點(diǎn)的集合來表示一個(gè)平面圖形。寫成矩陣形式10/25/202323北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院矩陣變換實(shí)現(xiàn)對(duì)圖形的變換如用表示經(jīng)過某種變換后的新點(diǎn)其中T稱為變換矩陣。10/25/202324北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院5.3.2二維圖形的基本變換變換矩陣中a,b,c,d

取不同的值可以實(shí)現(xiàn)不同的變換。10/25/202325北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院1.比例變換時(shí)，等比例變換變換后的圖形等比例放大或縮小。時(shí)，非等比例變換，變換后的圖形產(chǎn)生畸變。以上討論的比例變換是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的。10/25/202326北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院等比例變換以坐標(biāo)原點(diǎn)為放縮參照點(diǎn)不僅改變了物體的大小和形狀，也改變了它離原點(diǎn)的距離10/25/202327北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院非等比例變換10/25/202328北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2.對(duì)稱變換對(duì)稱變換也稱反射變換。它的基本變換包括對(duì)坐標(biāo)軸，原點(diǎn)和45o線的變換。10/25/202329北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院對(duì)稱變換的變換矩陣10/25/202330北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院對(duì)x軸的對(duì)稱變換10/25/202331北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院對(duì)y軸對(duì)稱變換10/25/202332北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院對(duì)原點(diǎn)的對(duì)稱變換10/25/202333北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院對(duì)正45°線對(duì)稱變換10/25/202334北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院對(duì)負(fù)45°線對(duì)稱變換10/25/202335北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院3.錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換也稱為錯(cuò)移或錯(cuò)位變換。其變換矩陣常用的錯(cuò)切變換為單純沿x或y方向錯(cuò)切。10/25/202336北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院（1）沿x軸方向關(guān)于y錯(cuò)切當(dāng)時(shí)，則即

10/25/202337北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院沿x軸方向關(guān)于y的錯(cuò)切10/25/202338北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院（2）沿y軸方向關(guān)于x的錯(cuò)切當(dāng)時(shí)，則有即10/25/202339北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院沿y軸方向關(guān)于x錯(cuò)切10/25/202340北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院4.旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)的基本變換是繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ

角，其變換矩陣于是逆時(shí)針θ為正，順時(shí)針θ為負(fù)。10/25/202341北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院旋轉(zhuǎn)變換10/25/202342北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院5.平移變換與齊次坐標(biāo)矩陣可以實(shí)現(xiàn)以上四種變換，但卻無法實(shí)現(xiàn)平移變換10/25/202343北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院為解決這個(gè)問題，將變換矩陣改成而把點(diǎn)的位置矢量擴(kuò)展成這樣就可以包括平移在內(nèi)的各種變換了10/25/202344北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院平移變換矩陣從而有10/25/202345北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院齊次坐標(biāo)： 為便于統(tǒng)一表示各種幾何變換，將圖形用齊次坐標(biāo)表示，以方便地從一個(gè)坐標(biāo)系變化到另一個(gè)坐標(biāo)系，并表示特殊點(diǎn)(如無窮遠(yuǎn)點(diǎn))齊次坐標(biāo)：以n+1維向量表示一個(gè)n維向量在n維空間中點(diǎn)的位置向量用非齊次坐標(biāo)表示時(shí)，具有n個(gè)坐標(biāo)分量(p1,p2,……,pn)，且是唯一的。若用齊次坐標(biāo)表示則為(hp1,hp2,……,hpn,h)，且不唯一。例如：若二維點(diǎn)(x,y)的齊次坐標(biāo)表示為[hx,hy,h]，則[h1x,h1y,h1]，也是同一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。同樣：三維點(diǎn)的齊次坐標(biāo)可表示為：[hx,hy,hz,h]5.3.3齊次坐標(biāo)概念10/25/202346北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院齊次坐標(biāo)的概念這種用空間點(diǎn)（x，y，1）表示（x，y）或者一般地用n+1維矢量表示n維矢量的方法稱為齊次坐標(biāo)表示法。如令則（x，y）對(duì)應(yīng)著（X，Y，H），稱（X，Y，H）為（x，y）的齊次坐標(biāo)，點(diǎn)的齊次坐標(biāo)不是唯一的。當(dāng)H=0時(shí)，（X，Y，0）表示一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。10/25/202347北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院齊次坐標(biāo)的幾何意義10/25/202348北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院齊次坐標(biāo)與二維變換的矩陣表示（1/4）為什么需要齊次坐標(biāo)？多個(gè)變換作用于多個(gè)目標(biāo)變換合成變換合成的問題引入齊次坐標(biāo)

變換的表示法統(tǒng)一10/25/202349北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院齊次坐標(biāo)與二維變換的矩陣表示（2/4）齊次坐標(biāo)定義(x,y)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為(x,y)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)為三維空間的一條直線10/25/202350北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院齊次坐標(biāo)與二維變換的矩陣表示（3/4）標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)(x,y,1)二維變換的矩陣表示平移變換旋轉(zhuǎn)變換10/25/202351北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院齊次坐標(biāo)與二維變換的矩陣表示（4/4）放縮變換變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點(diǎn)便于變換合成便于硬件實(shí)現(xiàn)10/25/202352北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院5.3.4二維圖形基本變換小結(jié)以上介紹的五種基本變換，再加上另外的透視變換和全比例變換都可以包含在矩陣中。根據(jù)不同的功能可分為四個(gè)子塊。10/25/202353北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院各子塊的功能10/25/202354北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院正常化處理在進(jìn)行透視和全比例變換后，一般情況下H

1，這時(shí)需進(jìn)行正常化處理。如透視當(dāng)時(shí)，需進(jìn)行正常化處理10/2