初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)必備：不等式

初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)必備：不等式

初中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)：不等式1

用小于號(hào)或大于號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式(inequality)。

使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。

能使不等式成立的x的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱解集(solutionset)。

含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式(linearinequalityofoneunknown)。

不等式的性質(zhì)：

不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變。

不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的`方向不變。

不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向轉(zhuǎn)變。

三角形中任意兩邊之差小于第三邊。

三角形中任意兩邊之和大于第三邊。

不等式(組)

1、不等式：用不等號(hào)(“”、“≤”、“”、“≥”、“≠”)表示不等關(guān)系的式子。

2、不等式的根本性質(zhì)：

(1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向轉(zhuǎn)變。

3、不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

4、不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的全部解，組成這個(gè)不等式的解集。

提示大家：解不等式指的是求不等式解集的過程叫做解不等式。

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1.二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)是1，這樣的方程是二元一次方程.留意：一般說二元一次方程有很多個(gè)解.

2.二元一次方程組：兩個(gè)二元一次方程聯(lián)立在一起是二元一次方程組.

3.二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個(gè)方程，左右兩邊都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫二元一次方程組的解.留意：一般說二元一次方程組只有解(即公共解).

4.二元一次方程組的解法：

(1)代入消元法；

(2)加減消元法；

(3)留意：推斷如何解簡(jiǎn)潔是關(guān)鍵。

5.一次方程組的應(yīng)用：

(1)對(duì)于一個(gè)應(yīng)用題設(shè)出的未知數(shù)越多，列方程組可能簡(jiǎn)單一些，但解方程組可能比擬麻煩，反之則難列易解

(2)對(duì)于方程組，若方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等時(shí)，一般可求出未知數(shù)的值；

(3)對(duì)于方程組，若方程個(gè)數(shù)比未知數(shù)個(gè)數(shù)少一個(gè)時(shí)，一般求不出未知數(shù)的值，但總可以求出任何兩個(gè)未知數(shù)的關(guān)系。

一元一次不等式(組)

1.不等式：用不等號(hào)，把兩個(gè)代數(shù)式連接起來的式子叫不等式。

2.不等式的根本性質(zhì)：

不等式的根本性質(zhì)1：不等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變；

不等式的根本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；

不等式的根本性質(zhì)3：不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要轉(zhuǎn)變。

3.不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)不等式的解；不等式全部解的集合，叫做這個(gè)不等式的解集。

4.一元一次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的”次數(shù)是1，系數(shù)不等于零的不等式，叫做一元一次不等式；它的標(biāo)準(zhǔn)形式是ax+b0或ax+b0，(a0)。

5.一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法與解一元一次方程的解法類似，但肯定要留意不等式性質(zhì)3的應(yīng)用；留意：在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，要留意空圈和實(shí)點(diǎn)。

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考試內(nèi)容：

不等式。不等式的根本性質(zhì)。不等式的證明。不等式的解法。含肯定值的不等式。

考試要求：

（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明。

【導(dǎo)讀】

不等式的性質(zhì)是不等式的理論支撐，其根底性質(zhì)源于數(shù)的大小比擬。要留意以下幾點(diǎn)：

加強(qiáng)化歸意識(shí)，把比擬大小問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算；

通過復(fù)習(xí)強(qiáng)化不等式運(yùn)算的條件。如ab、才cd在什么條件下才能推出ac

強(qiáng)化函數(shù)的性質(zhì)在大小比擬中的重要作用，加強(qiáng)學(xué)問間的聯(lián)系；

不等式的性質(zhì)是解、證不等式的根底，對(duì)任意兩實(shí)數(shù)a、b有a-bb，a-b=0a=b，a-b=0，a肯定要在理解的根底上記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)，并留意解題中敏捷、精確地加以應(yīng)用；

對(duì)兩個(gè)(或兩個(gè)以上)不等式同加(或同乘)時(shí)肯定要留意不等式是否同向(且大于零)；

對(duì)于含參問題的大小比擬要留意分類爭(zhēng)論。

（2）把握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)潔的應(yīng)用。

【導(dǎo)讀】

1、在證明不等式的各種方法中，作差比擬法是一種最根本最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來證明不等式，其應(yīng)用特別廣泛，肯定要嫻熟把握。

2、對(duì)于公式a+b2ab，ab(a+b/2)2要理解它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)公式也表達(dá)了ab和a+b的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

3、在應(yīng)用均值定理求最值時(shí)，要把握定理成立的三個(gè)條件就是一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三項(xiàng)等等號(hào)能否取得。若忽視了某個(gè)條件，就會(huì)消失錯(cuò)誤。

（3）把握分析法、綜合法、比擬法證明的簡(jiǎn)潔不等式。

【導(dǎo)讀】

1、在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分別的，假如使用綜合法證明不等式難以入手時(shí)，常用分析法探究證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程。有時(shí)問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以到達(dá)證明目的。

2、由于高考試題不會(huì)消失單一的不等式的證明題，經(jīng)常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，所以在學(xué)習(xí)中，不等式的證明除常用的三種方法外，還有其他方法，比方比擬大小。證明不等式的常用方法有：差、商比擬法、函數(shù)性質(zhì)法、分析綜合法和放縮法。要能了解常見的放縮途徑，如：利用增或舍、分式性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性、有界性、根本不等式及肯定值不等式性質(zhì)和數(shù)學(xué)歸納法等。有時(shí)要先對(duì)不等式作等價(jià)變形再進(jìn)展證明，有時(shí)幾種證明方法綜合使用。

3、比擬法有兩種形式：一是作差，而是作商。用作差法證明不等式是證明不等式中最根本、最常用的方法。它的依據(jù)是不等式的根本性質(zhì)。步驟是：作差(商)變形推斷。變形的目的是為了推斷，若是作差，就推斷與0的大小關(guān)系，為了便于推斷，往往把形式變?yōu)榉e或完全平方式。若是作商，兩邊為正，就推斷與1的大小關(guān)系。

（4）把握簡(jiǎn)潔不等式的解法。

【導(dǎo)讀】

1、解不等式的過程，實(shí)質(zhì)上是不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化過程。因此在學(xué)習(xí)中理解保持同解變形是解不等式應(yīng)當(dāng)遵循的根本原則。

2、各類不等式最終一般都要化為一元一次不等式(組)或一元二次不等式來解，這表達(dá)了轉(zhuǎn)化與化歸的.數(shù)學(xué)思想。

3、解不等式幾乎是每年高考的必考題，重點(diǎn)仍是含參數(shù)有關(guān)的不等式，對(duì)字母參數(shù)的規(guī)律劃分問題要詳細(xì)問題詳細(xì)分析，必需留意分類不重、不漏、完全、精確。

（5）理解不等式∣a∣-∣b∣∣a+b∣∣a∣+∣b∣

【導(dǎo)讀】

1、解含有肯定值的不等式的指導(dǎo)思想是去掉肯定值。常用的方法是：

(1)由定義分段爭(zhēng)論；

(2)利用肯定值不等式的性質(zhì)；

(3)平方。

2、肯定值是歷年高考的重點(diǎn)，而肯定值不等式更是?？汲Ｐ?。在考試中要從肯定值的定義和幾何意義來分析，肯定值的特點(diǎn)是帶有肯定值符號(hào)，如何去掉肯定值符號(hào)，肯定要學(xué)會(huì)方法，切不行以題論題。

3、不等式在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中都有廣泛的應(yīng)用，同時(shí)還是連續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的根底。縱觀歷年試題，涉及不等式的考題大致可分為以下幾大類：

a、不等式證明。

b、解不等式。

c、取值范圍的問題。

d、應(yīng)用題。

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1、不等式的解集

（1）一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的全部的解，組成這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的解集。

（2）不等式解集的表示方法：

①用不等式表示

②用數(shù)軸表示：大于向右畫，小于向左畫，有等號(hào)的畫實(shí)心圓點(diǎn)，無等號(hào)的畫空心圓圈。

③求不等式解集的過程，就是解不等式。

2求不等式組的解集的方法

（1）把各個(gè)不等式的解集表示在數(shù)軸上，觀看公共局部。

（2）不等式組的解集不外乎以下4種狀況：

若ab，p=

當(dāng)xb時(shí)；（同大取大）

當(dāng)xa時(shí)；（同小取?。﹑=

當(dāng)axb時(shí)；（大小小大中間找）p=

當(dāng)xb時(shí)無解，（大大小小無處找）

3怎么在數(shù)軸上表示不等式的解集

1、確定不等式解集的.起點(diǎn)

在表示解集時(shí)，“≥”和“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“”和“”要用空心圓點(diǎn)表示。

2、確定不等式解集的方向

若是“”和“≥”向右畫，“”和“≤”向左畫。

3、確定不等式解集的方向

若是“”和“”兩條線相向時(shí)應(yīng)當(dāng)連成閉合范圍，否則是開放范圍。

滿意全部不等式的范圍就是在數(shù)軸上表示的不等式解集。

4、舉例說明

（1）如不等式的解集為x3，在數(shù)軸“3”上畫一個(gè)空心圓點(diǎn)，從這個(gè)空心圓點(diǎn)開頭往上畫一段垂直線，并向右邊畫一條與數(shù)軸平行的直線，就表示x3。

（2）如不等式的解集為x≥3，在數(shù)軸“3”上畫一個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)，后續(xù)步驟依此類推。

2、數(shù)學(xué)映射、函數(shù)、反函數(shù)學(xué)問點(diǎn)

1、對(duì)應(yīng)、映射、函數(shù)三個(gè)概念既有共性又有區(qū)分，映射是一種特別的對(duì)應(yīng)，而函數(shù)又是一種特別的映射。

2、對(duì)于函數(shù)的概念，應(yīng)留意如下幾點(diǎn)：

（1）把握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會(huì)推斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)。

（2）把握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實(shí)際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特殊是會(huì)求分段函數(shù)的解析式。

（3）假如y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)（x）為內(nèi)函數(shù)，f（u）為外函數(shù)。

3、求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)的一般步驟：

（1）確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域；

（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；

（3）將x，y對(duì)換，得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f—1（x），并注明定義域。

留意①：對(duì)于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起。

②熟識(shí)的應(yīng)用，求f—1（x0）的值，合理利用這個(gè)結(jié)論，可以避開求反函數(shù)的過程，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。

3、數(shù)學(xué)思維方法

假設(shè)思想方法

假設(shè)是先對(duì)題目中的已知條件或問題作出某種假設(shè)，然后根據(jù)題中的已知條件進(jìn)展推算，依據(jù)數(shù)量消失的沖突，加以適當(dāng)調(diào)整，最終找到正確答案的一種思想方法。假設(shè)思想是一種有意義的想象思維，把握之后可以使要解決的問題更形象、詳細(xì)，從而豐富解題思路。

比擬思想方法

比擬思想是數(shù)學(xué)中常見的思想方法之一，也是促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)展的手段。在教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，教師擅長(zhǎng)引導(dǎo)學(xué)生比擬題中已知和未知數(shù)量變化前后的狀況，可以幫忙學(xué)生較快地找到解題途徑。

符號(hào)化思想方法

用符號(hào)化的語(yǔ)言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號(hào)）來描述數(shù)學(xué)內(nèi)容，這就是符號(hào)思想。如數(shù)學(xué)中各種數(shù)量關(guān)系，量的變化及量與量之間進(jìn)展推導(dǎo)和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號(hào)的濃縮形式表達(dá)大量的信息。如定律、公式、等。

極限思想方法

事物是從量變到質(zhì)變的，極限方法的實(shí)質(zhì)正是通過量變的無限過程到達(dá)質(zhì)變。在講“圓的面積和周長(zhǎng)”時(shí)，“化圓為方”“化曲為直”的極限分割思路，在觀看有限分割的根底上想象它們的極限狀態(tài)，這樣不僅使學(xué)生把握公式還能從曲與直的沖突轉(zhuǎn)化中萌發(fā)了無限靠近的極限思想。

初中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)：不等式5

1.用符號(hào)〉，=，〈號(hào)連接的式子叫不等式。

2.性質(zhì)：

①假如xy，那么yy；(對(duì)稱性)

②假如xy，yz；那么xz；(傳遞性)

③假如xy，而z為任意實(shí)數(shù)或整式，那么x+zy+z；(加法原則，或叫同向不等式可加性)

④假如xy，z0，那么xzyz；假如xy，z0，那么xz

⑤假如xy，mn，那么x+my+n；(充分不必要條件)

⑥假如xy0，mn0，那么xmyn；

⑦假如xy0，那么x的n次冪y的n次冪(n為正數(shù))，x的n次冪?；蛘哒f，不等式的根本性質(zhì)有：

①對(duì)稱性；

②傳遞性；

③加法單調(diào)性，即同向不等式可加性；

④乘法單調(diào)性；

⑤同向正值不等式可乘性；

⑥正值不等式可乘方；

⑦正值不等式可開方；

⑧倒數(shù)法則。

3.分類：

①一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的.不等式叫一元一次不等式。

②一元一次不等式組：

a.關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

b.一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共局部，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。

4.不等式考點(diǎn)：

①解一元一次不等式(組)

②依據(jù)詳細(xì)問題中的數(shù)量關(guān)系列不等式(組)并解決簡(jiǎn)潔實(shí)際問題

③用數(shù)軸表示一元一次不等式(組)的解集

注：不等式兩邊相加或相減同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變。(移項(xiàng)要變號(hào))

不等式兩邊相乘或相除同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向