考研數(shù)學(xué)一歷年真題答案2002 2011

則函數(shù)的圖形為【答案】【解析】此題為定積分的應(yīng)用知識考核，由的圖形可見，其圖像與軸及軸、所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù)，從而可得出幾個方面的特征：①時，，且單調(diào)遞減。②時，單調(diào)遞增。③時，為常函數(shù)。④時，為線性函數(shù)，單調(diào)遞增。⑤由于F(x)為連續(xù)函數(shù)結(jié)合這些特點，可見正確選項為。（4）設(shè)有兩個數(shù)列，若，則當(dāng)收斂時，收斂. 當(dāng)發(fā)散時，發(fā)散. 當(dāng)收斂時，收斂. 當(dāng)發(fā)散時，發(fā)散.【答案】C【解析】方法一：舉反例A取 B取 D取故答案為（C）方法二：因為則由定義可知使得時，有又因為收斂，可得則由定義可知使得時，有從而，當(dāng)時，有，則由正項級數(shù)的比較判別法可知收斂。（5）設(shè)是3維向量空間的一組基，則由基到基的過渡矩陣為. . . .【答案】A【解析】因為，則稱為基到的過渡矩陣。則由基到的過渡矩陣滿足所以此題選。（6）設(shè)均為2階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為. . . .【答案】B【解析】根據(jù)，若分塊矩陣的行列式，即分塊矩陣可逆故答案為B。（7）設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則. . . .【答案】【解析】因為，所以，所以而，所以。（8）設(shè)隨機變量與相互獨立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，的概率分布為，記為隨機變量的分布函數(shù)，則函數(shù)的間斷點個數(shù)為0. 1. 2. 3.【答案】B【解析】獨立（1）若，則（2）當(dāng)，則為間斷點，故選（B）二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，則?！敬鸢浮俊窘馕觥?，（10）若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為，則非齊次方程滿足條件的解為。【答案】【解析】由常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為可知，為其線性無關(guān)解。代入齊次方程，有從而可見。微分方程為設(shè)特解代入，特解把，代入，得所求（11）已知曲線，則。【答案】【解析】由題意可知，，則，所以（12）設(shè)，則?！敬鸢浮俊窘馕觥糠椒ㄒ唬悍椒ǘ河奢啌Q對稱性可知所以，（13）若3維列向量滿足，其中為的轉(zhuǎn)置，則矩陣的非零特征值為。【答案】2【解析】,的非零特征值為2.(14)設(shè)為來自二項分布總體的簡單隨機樣本，和分別為樣本均值和樣本方差。若為的無偏估計量，則【答案】【解析】為的無偏估計三、解答題：15－23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求二元函數(shù)的極值?！窘馕觥抗蕜t而二元函數(shù)存在極小值（16）（本題滿分9分）設(shè)為曲線與所圍成區(qū)域的面積，記，求與的值。【解析】由題意，與在點和處相交，所以，從而由取得（17）（本題滿分11分）橢球面是橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面是過點且與橢圓相切的直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成。（Ⅰ）求及的方程（Ⅱ）求與之間的立體體積?！窘馕觥浚↖）的方程為，過點與的切線為，所以的方程為。（II）記，由，記，則（18）（本題滿分11分）（Ⅰ）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，則存在，使得（Ⅱ）證明：若函數(shù)在處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則存在，且?！窘馕觥浚á瘢┳鬏o助函數(shù)，易驗證滿足：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且。根據(jù)羅爾定理，可得在內(nèi)至少有一點，使，即（Ⅱ）任取，則函數(shù)滿足；在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，從而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……又由于，對上式（*式）兩邊取時的極限可得：故存在，且。（19）（本題滿分10分）計算曲面積分，其中是曲面的外側(cè)。【解析】，其中①②③①+②+③=由于被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在點（0，0，0）處不連續(xù)，作封閉曲面（外側(cè)）有（20）（本題滿分11分）設(shè)，（Ⅰ）求滿足的所有向量，（Ⅱ）對（Ⅰ）中的任一向量，證明：線性無關(guān)?！窘馕觥浚á瘢┙夥匠坦视幸粋€自由變量，令，由解得，求特解，令，得故，其中為任意常數(shù)解方程故有兩個自由變量，令，由得令，由得求特解故，其中為任意常數(shù)（Ⅱ）證明：由于故線性無關(guān).（21）（本題滿分11分）設(shè)二次型（Ⅰ）求二次型的矩陣的所有特征值；（Ⅱ）若二次型的規(guī)范形為，求的值?！窘馕觥浚á瘢á颍┤粢?guī)范形為，說明有兩個特征值為正，一個為0。則若，則，，不符題意若，即，則，，符合若，即，則，，不符題意綜上所述，故（22）（本題滿分11分）袋中有1個紅色球，2個黑色球與3個白球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個數(shù)。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求二維隨機變量的概率分布?！窘馕觥浚á瘢┰跊]有取白球的情況下取了一次紅球，利用壓縮樣本空間則相當(dāng)于只有1個紅球，2個黑球放回摸兩次，其中摸了一個紅球（Ⅱ）X，Y取值范圍為0，1，2，故XY01201/41/61/3611/31/9021/900（23）（本題滿分11分） 設(shè)總體的概率密度為，其中參數(shù)未知，，,…是來自總體的簡單隨機樣本 (Ⅰ)求參數(shù)的矩估計量；（Ⅱ）求參數(shù)的最大似然估計量【解析】（1）由而為總體的矩估計量（2）構(gòu)造似然函數(shù)取對數(shù)令故其最大似然估計量為2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題答案解析一、選擇題1、【答案】【考點分析】本題考查拐點的判斷。直接利用判斷拐點的必要條件和第二充分條件即可?！窘馕觥坑煽芍謩e是的一、二、三、四重根，故由導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系可知，，，，故（3，0）是一拐點。2、【答案】【考點分析】本題考查冪級數(shù)的收斂域。主要涉及到收斂半徑的計算和常數(shù)項級數(shù)收斂性的一些結(jié)論，綜合性較強?！窘馕觥繜o界，說明冪級數(shù)的收斂半徑；單調(diào)減少，，說明級數(shù)收斂，可知冪級數(shù)的收斂半徑。因此，冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間為。又由于時冪級數(shù)收斂，時冪級數(shù)發(fā)散。可知收斂域為。3、【答案】【考點分析】本題考查二元函數(shù)取極值的條件，直接套用二元函數(shù)取極值的充分條件即可?！窘馕觥坑芍?，所以，，要使得函數(shù)在點(0,0)處取得極小值，僅需，所以有4、【答案】【考點分析】本題考查定積分的性質(zhì)，直接將比較定積分的大小轉(zhuǎn)化為比較對應(yīng)的被積函數(shù)的大小即可。【解析】時，，因此，故選（B）5、【答案】【考點分析】本題考查初等矩陣與初等變換的關(guān)系。直接應(yīng)用相關(guān)定理的結(jié)論即可。【解析】由初等矩陣與初等變換的關(guān)系知，，所以，故選（D）6、【答案】【考點分析】本題考查齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，需要綜合應(yīng)用秩，伴隨矩陣等方面的知識，有一定的靈活性。【解析】由的基礎(chǔ)解系只有一個知，所以，又由知，都是的解，且的極大線生無關(guān)組就是其基礎(chǔ)解系，又，所以線性相關(guān)，故或為極大無關(guān)組，故應(yīng)選（D）7、【答案】【考點分析】本題考查連續(xù)型隨機變量概率密度的性質(zhì)?！窘馕觥繖z驗概率密度的性質(zhì)：；?？芍獮楦怕拭芏龋蔬x（）。8、【答案】【考點分析】本題考查隨機變量數(shù)字特征的運算性質(zhì)。計算時需要先對隨機變量進行處理，有一定的靈活性?！窘馕觥坑捎诳芍蕬?yīng)選（B）二、填空題9、【答案】【考點分析】本題考查曲線弧長的計算，直接代公式即可?！窘馕觥?0、【答案】【考點分析】本題考查一階線性微分方程的求解。先按一階線性微分方程的求解步驟求出其通解，再根據(jù)定解條件，確定通解中的任意常數(shù)。【解析】原方程的通解為由，得，故所求解為11、【答案】【考點分析】本題考查偏導(dǎo)數(shù)的計算?！窘馕觥?。故。12、【答案】【考點分析】本題考查第二類曲線積分的計算。首先將曲線寫成參數(shù)方程的形式，再代入相應(yīng)的計算公式計算即可。【解析】曲線的參數(shù)方程為，其中從到。因此13、【答案】【考點分析】本題考查二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型的相關(guān)知識。題目中的條件相當(dāng)于告訴了二次型的特征值，通過特征值的相關(guān)性質(zhì)可以解出?！窘馕觥勘绢}等價于將二次型經(jīng)正交變換后化為了。由正交變換的特點可知，該二次型的特征值為。該二次型的矩陣為，可知，因此。14、【答案】【考點分析】：本題考查二維正態(tài)分布的性質(zhì)?！窘馕觥浚河捎冢啥S正態(tài)分布的性質(zhì)可知隨機變量獨立。因此。由于服從，可知，則。三、解答題15、【答案】【考點分析】：本題考查極限的計算，屬于形式的極限。計算時先按未定式的計算方法將極限式變形，再綜合利用等價無窮小替換、洛必達(dá)法則等方法進行計算?！窘馕觥浚?6、【答案】【考點分析】：本題綜合考查偏導(dǎo)數(shù)的計算和二元函數(shù)取極值的條件，主要考查考生的計算能力，計算量較大?！窘馕觥浚河捎谠谔幦〉脴O值，可知。故17、【答案】時，方程只有一個實根時，方程有兩個實根【考點分析】：本題考查方程組根的討論，主要用到函數(shù)單調(diào)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。解題時，首先通過求導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再在每個單調(diào)區(qū)間上檢驗是否滿足零點存在定理的條件?！窘馕觥浚毫?，則，，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，故此時的圖像與軸與只有一個交點，也即方程只有一個實根時，在和上都有，所以在和是嚴(yán)格的單調(diào)遞減，又，故的圖像在和與軸均無交點時，時，，在上單調(diào)增加，又知，在上只有一個實根，又或都有，在或都單調(diào)減，又，，所以在與軸無交點，在上與軸有一個交點綜上所述：時，方程只有一個實根時，方程有兩個實根18、【考點分析】：本題考查不等式的證明和數(shù)列收斂性的證明，難度較大。（1）要證明該不等式，可以將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式，再利用單調(diào)性進行證明；（2）證明收斂性時要用到單調(diào)有界收斂定理，注意應(yīng)用（1）的結(jié)論。【解析】：（1）令，則原不等式可化為。先證明：令。由于，可知在上單調(diào)遞增。又由于，因此當(dāng)時，。也即。再證明：令。由于，可知在上單調(diào)遞增。由于，因此當(dāng)時，。也即。因此，我們證明了。再令由于，即可得到所需證明的不等式。（2），由不等式可知：數(shù)列單調(diào)遞減。又由不等式可知：。因此數(shù)列是有界的。故由單調(diào)有界收斂定理可知：數(shù)列收斂。19、【答案】：【考點分析】：本題考查二重積分的計算。計算中主要利用分部積分法將需要計算的積分式化為已知的積分式，出題形式較為新穎，有一定的難度?！窘馕觥浚簩⒍胤e分轉(zhuǎn)化為累次積分可得首先考慮，注意這是是把變量看做常數(shù)的，故有由易知。故。對該積分交換積分次序可得：再考慮積分，注意這里是把變量看做常數(shù)的，故有因此20、【答案】：①；②【考點分析】：本題考查向量的線性表出，需要用到秩以及線性方程組的相關(guān)概念，解題時注意把線性表出與線性方程組的解結(jié)合起來?！窘馕觥浚孩儆捎诓荒苡杀硎究芍獾芒诒绢}等價于求三階矩陣使得可知計算可得因此21、【答案】：（1）的特征值分別為1，-1，0，對應(yīng)的特征向量分別為，，（2）【考點分析】：實對稱矩陣的特征值與特征向量，解題時注意應(yīng)用實對稱矩陣的特殊性質(zhì)?！窘馕觥浚海?）可知：1，-1均為的特征值，與分別為它們的特征向量，可知0也是的特征值而0的特征向量與，正交設(shè)為0的特征向量有得的特征值分別為1，-1，0對應(yīng)的特征向量分別為，，（2）其中，故22、【答案】：（1）XY01-101/301/30101/3（2）-101P1/31/31/3（3）【考點分析】：本題考查二維離散型分布的分布律及相關(guān)數(shù)字特征的計算。其中，最主要的是第一問聯(lián)合分布的計算?！窘馕觥浚海?）由于，因此。故，因此再由可知同樣，由可知這樣，我們就可以寫出的聯(lián)合分布如下：（2）可能的