河南省鄭州經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學2023-2024學年九年級上學期第一次學習比賽數(shù)學試卷

2023-2024學年河南省鄭州四中九年級（上）第一次學習比賽數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的是(

)A.x-1=0 B.x3+x=32.下列條件中，能判定平行四邊形是菱形的是(

)A.對角線互相垂直 B.對角線相等 C.對角線互相平分 D.有一個角是直角3.要檢驗一個四邊形畫框是否為矩形，可行的測量方法是(

)A.測量四邊形畫框的兩個角是否為90°

B.測量四邊形畫框的對角線是否相等且互相平分

C.測量四邊形畫框的一組對邊是否平行且相等

D.測量四邊形畫框的四邊是否相等4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+kx-2=0有一個根是A.1 B.-1 C.2 D.5.如圖，四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，且互相平分．添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是(

)

A.AC⊥BD

B.AB=AD

C.6.若方程x2+2x+m+1=0A.-1 B.0 C.1 D.7.根據(jù)下表：x---…456x135-…-513確定方程x2-bxA.-2<x<-1或4<x<5 B.-2<x<-1或5<x<68.要組織一次足球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．計劃安排28場比賽，應邀請多少個隊參賽(

)A.6 B.7 C.8 D.99.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ADB=90°，AB=10，分別以B，D為圓心，大于12BD的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，F(xiàn)，作直線EF，與AB交于點M，與CD交于點N，連接DM，BN，則四邊形A.40 B.30 C.20 D.1010.如圖1，在矩形ABCD(AB>AD)中，動點P從點B出發(fā)，沿B→C做勻速運動，到達點C后停止運動，動點Q從點D出發(fā)，沿D→C以同樣的速度做勻速運動，到達點C后也停止運動，已知點P，Q同時開始運動，連接AP，AQ，設DQ=x，AP-AQ=yA.35-32 B.二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.方程9x2=4x的根為12.如果三角形兩邊的長分別是一元二次方程x2-9x+14=0的兩根，則第三邊的長能否是10，答______(填“能”或“不能13.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則

14.如圖，將菱形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，使點D落在射線CA上的點E處，折痕CP交AD于點P.若∠ABC=30°，AP=2，則PE的長等于______

15.如圖，正方形ABCD的邊長是18，點E是AB邊上的一個動點，點F是CD邊上一點，CF=8，連接EF，把正方形ABCD沿EF折疊，使點A，D分別落在點A'，D'處，當點D'落在直線BC上時，線段AE的長為______

三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.(本小題8.0分)

解下列一元二次方程：

(1)x2-4=2(2-x)17.(本小題9.0分)

如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE=AD，連接EB，EC，DB，添加條件______，能使四邊形DBCE成為矩形，并說明理由．18.(本小題9.0分)

如圖，某農(nóng)戶準備建一個長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，若墻長為18m，墻對面有一個2m寬的門，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長為33m，圍成長方形的養(yǎng)雞場除門之外四周不能有空隙．要使圍成養(yǎng)雞場的面積為15019.(本小題9.0分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有兩個實數(shù)根x1和x2．

(1)求實數(shù)m20.(本小題9.0分)

公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定.某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔3月份到5月份的銷量，該品牌頭盔3月份銷售256個，5月份銷售400個，且從3月份到5月份銷售量的月增長率均為r(r>0)．

(1)求月增長率r；

(2)經(jīng)在市場中調(diào)查，若此種頭盔的進價為30元/個時，定價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/21.(本小題10.0分)

如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，點M，N分別為AB，CD上一點，且AM=CN，連接MN，DM，BN．

(1)當AM=3時，求證：四邊形DMBN是菱形；

(2)填空：

①當AM=______時，四邊形DAMN是矩形；

②當AM=______22.(本小題10.0分)

閱讀材料，解決問題．

相傳古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學問題.他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，比如，他們研究過1、3、6、10…，由于這些數(shù)可以用圖中所示的三角點陣表示，他們就將每個三角點陣中所有的點數(shù)和稱為三角數(shù)．

則第n個三角數(shù)可以用1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n=n(n+1)2(n≥1且為整數(shù))來表示．

(1)若三角數(shù)是55，則n=______；

(2)把第n個三角點陣中各行的點數(shù)依次換為2，4，6，…，2n，…，請用含23.(本小題11.0分)

綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．

(1)操作判斷

操作一：對折正方形紙片，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；

操作二：在BE上選一點H，沿CH折疊，使點B落在EF上的點G處，得到折痕CH，把紙片展平；根據(jù)以上操作，直接寫出圖1中∠CHB的度數(shù)：______．

(2)拓展應用

小華在以上操作的基礎上，繼續(xù)探究，延長HG交AD于點M，連接CM交EF于點N(如圖2).判斷△MGN的形狀，并說明理由．

(3)遷移探究

如圖3，已知正方形ABCD的邊長為6cm，當點H是邊AB的三等分點時，把△BCH沿CH翻折得△GCH，延長HG交AD于點M，請直接寫出AM的長．答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、不是一元二次方程，故此選項錯誤；

B、不是一元二次方程，故此選項錯誤；

C、是一元二次方程，故此選項正確；

D、a=0時，不是一元二次方程，故此選項錯誤；

故選：C．

根據(jù)一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2進行分析即可．

此題主要考查了一元二次方程定義，判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”2.【答案】A

【解析】解：A、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，說法正確，符合題意；

B、對角線互相相等的平行四邊形是矩形，說法錯誤，不符合題意；

C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，說法錯誤，不符合題意；

D、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，說法錯誤，不符合題意；

故選：A．

由菱形的判定和矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．

此題考查菱形的判定，關(guān)鍵是由菱形的判定和矩形的判定解答．3.【答案】B

【解析】解：A、測量四邊形畫框的兩個角是否為90°，不能判定為矩形，故選項A不符合題意；

B、測量四邊形畫框的對角線是否相等且互相平分，能判定為矩形，故選項B符合題意；

C、測量四邊形畫框的一組對邊是否平行且相等，能判定為平行四邊形，不能判定是否為矩形，故選項C不符合題意；

D、測量四邊形畫框的四邊是否相等，能判定為菱形，故選項D不符合題意；

故選：B．

由平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定，矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．

本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；熟記“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”是解題的關(guān)鍵．4.【答案】A

【解析】解：設方程的另一個根是m，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得-2m=-2，

解得m=1，

故選：A．

根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系先求出5.【答案】C

【解析】[分析]

根據(jù)菱形的定義及其判定對各選項逐一判斷即可得．

本題主要考查平行四邊形的判定和菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的定義和各判定．

[詳解]

解：∵四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，且互相平分，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD/?/BC，

當AB=AD或AC⊥BD時，均可判定四邊形ABCD是菱形；

當AC=BD時，不能判定四邊形ABCD是菱形；

當∠ABD=∠CBD時，

由AD//BC得：∠CBD=∠6.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意得Δ=22-4(m+1)>0，

解得m<0．

故選：A．

根據(jù)根的判別式的意義得到Δ=22-4(m+1)>07.【答案】A

【解析】解：由表格得：x=-2時，x2-bx-5=5，x=-1時，x2-bx-5=-1；

x=4時，x2-bx-5=-1，x8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了一元二次方程的應用．此題和實際生活結(jié)合比較緊密，準確找到關(guān)鍵描述語，從而根據(jù)等量關(guān)系準確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵．此題還要判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．設邀請x個球隊參加比賽，那么第一個球隊和其他球隊打(x-1)場球，第二個球隊和其他球隊打(x-2)場，以此類推可以知道共打(1+2+3+…+x-1)場球，然后根據(jù)計劃安排28場比賽即可列出方程求解．

【解答】

解：設邀請x個球隊參加比賽，

依題意得1+2+3+…+x-1=15，

即x(x-1)2=28，9.【答案】C

【解析】解：設EF交BD于點O，

則OD=OB，

由作圖得：EF垂直平分BD，

∵∠ADB=90°，

∴AD/?/EF，

∴M平分AB，

∴DM=12AB=MB=5，

同理：DN=BN=5，

∴四邊形DMBN10.【答案】B

【解析】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知AB-AD=2．

∵點P，Q的速度相同，

∴當x=2時，點P與點C重合，此時BC=DQ=2，AP-AQ=m．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD=BC=2，AB=CD，

∴AB=CD=AD+2=22．

當x=2時，在Rt△ABP中，AP=11.【答案】x1=0，【解析】解：9x2=4x，

9x2-4x=0，

x(9x-4)=0，

x=0或9x-4=0，

所以x1=0，x2=412.【答案】不能

【解析】解：x2-9x+14=0，

(x-7)(x-2)=0，

x-7=0或x-2=0，

解得：x1=7，x2=213.【答案】22.5

【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，

∴OA=OB═OC，

∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，

∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，

∵∠EAC=2∠CAD，

∴∠EAO=∠AOE，

14.【答案】2【解析】解：過點A作AF⊥PE于點F，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠D=∠ABC=30°，AD=CD，

∴∠DAC=180°-∠D2=75°，

由折疊可知：∠E=∠D=30°，

∴∠APE=∠DAC-∠AEP=45°，

在Rt△APF中，PF=AP?cos∠APE，

∴PF=AF=2×cos45°=15.【答案】4或16

【解析】解：分兩種情況：

①當D'落在線段BC上時，連接ED、ED'、DD'，如圖1所示：

由折疊可得，D，D'關(guān)于EF對稱，即EF垂直平分DD'，

∴DE=D'E，

∵正方形ABCD的邊長是18，

∴AB=BC=CD=AD=18，

∵CF=8，

∴DF=D'F=CD-CF=10，

∴CD'=D'F2-CF2=6，

∴BD'=BC-CD'=12，

設AE=x，則BE=18-x，

在Rt△AED和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2=AD2+AE2=182+x2，D'E2=BE2+BD'2=(18-x)2+122，

∴182+x2=(18-x)2+122，

解得：x=4，

即AE=4；

②當D'落在線段BC延長線上時，連接ED16.【答案】解：(1)x2-4=2(2-x)，

(x+2)(x-2)-2(2-x)=0，

(x+2)(x-2)+2(x-2)=0，

(x-2)(x+4)=0【解析】(1)利用解一元二次方程-因式分解法進行計算，即可解答；

(2)利用解一元二次方程-公式法進行計算，即可解答．

本題考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．17.【答案】AB=BE或∠ADB【解析】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD/?/BC，AD=BC，

又∵AD=DE，

∴DE/?/BC，且DE=BC，

∴四邊形BCED為平行四邊形，

添加AB=BE，DE=AD，

∴BD⊥AE，

∴?DBCE為矩形；

添加∠ADB=90°，

∴∠EDB=90°，

∴?DBCE為矩形；

添加CE⊥18.【答案】解：設養(yǎng)雞場的寬為x?m，根據(jù)題意得：

x(33-2x+2)=150，

解得：x1=10，x2=7.5，

當x1=10時，33-2x+2=15<18，【解析】先設養(yǎng)雞場的寬為x?m，得出長方形的長，再根據(jù)面積公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合題意．19.【答案】解：(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有兩個實數(shù)根x1和x2，

∴Δ=b2-4ac=(2m-1)2-4×1×m2=-4m+1≥0，

解得m≤14；

(2)不存在m的值，使得x1x2+x1+x2=0成立．理由如下：【解析】(1)根據(jù)已知可知，方程有兩個實數(shù)根，那么△≥0，解不等式即可；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=1-2m，x120.【答案】解：(1)由題意得：256(1+r)2=400，

解得r=0.25=25%或r=-2.25<0(不符合題意，舍去)，

答：月增長率r為25%．

(2)設該品牌頭盔的實際售價應定為y(y≥40)元/個，則月銷售量為600-10(y-40)=(1000-10y)(個)，

由題意得：(y-30)(1000-10y)=10000，【解析】(1)根據(jù)5月份銷售量=3月份銷售量×(1+r)2建立方程，解方程即可得；

(2)設該品牌頭盔的實際售價應定為y(y≥40)元/個，從而可得月銷售量，再根據(jù)利潤=(實際售價21.【答案】4

112或5【解析】(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，AB=8，AD=4，

∴AB=CD=8，AB/?/CD，∠A=90°，

∵AM=CN=3，

∴AB-AM=CD-CN，

∴BM=DN=8-3=5，

∵BM/?/DN，

∴四邊形DMBN為平行四邊形，

∵DM=AD2+AM2=42+32=5，

∴BM=DM，

∴四邊形DMBN為菱形．

(2)解：①如圖2，∵DN//AM，

∴當DN=AM時，四邊形DAMN是平行四邊形，

∵∠A=90°，

∴當DN=AM時，四邊形DAMN矩形，

由(1)得BM=DN，

∴8-AM=DN，

∴8-AM=AM，

∴AM=4，

∴當AM=4時，四邊形DAMN矩形，

故答案為：4．

②如圖3，以MN為對角線的正方形是正方形MFNG，連接FG，

∵FG=MH，F(xiàn)G⊥MH，

∴S正方形MFNG=12FG?MN=12MN2=252，

∴MN=5，

作NE⊥AB于點E，則∠AEN=∠A=∠ADN=90°，

∴四邊形ADNE是矩形，

∴22.【答案】10

【解析】解：(1)由題意得，n(n+1)2=55，即n2+n-110=0，

∴(n+11)(n-10)=0，

解得n=10(負值舍去)，

故答案為：10；

(2)由題意得：前n行所有點數(shù)的和為2+4+6+…+2(n-2)+2(n-1)+2n

=2[1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n]

=2×n(n+1)2

=n(n+1)；

(3)不能，理由如下：

假設能為12023.【答案】75°

【解析】解：(1)∵四邊形ABCD為正方形，

∴BC=CD，∠B=∠BCF=90°，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，DF=CF=12CD，∠CFG=∠DFE=90°，BC=CG，∠B=∠CGH=90°，∠HCG=∠HCB=12∠GCB，

∴CF=12CG，EF/?/BC，

∴∠FGC=∠GCB=30°，

∴∠HCB=15°，∠CHB=90°-∠HCB=75°

故答案為：75°；

(2)解法一：△MGN為等邊