數(shù)模往屆2013國賽符號計算

MATLAB的符號計算所謂符號計算是指在運算時,無須事先對變量賦值,而將所得到結果以標準的符號形式來表示。MathWorks公司以Maple的內核作為符號計算引擎（Engine），依賴Maple已有的函數(shù)庫，開發(fā)了實現(xiàn)符號計算的兩個工具箱：基本符號工具箱和擴展符號工具箱。一、符號計算基礎一、符號計算基礎（一）定義符號變量參與符號運算的對象可以是符號變量、符號表達式或符號矩陣。符號變量要先定義，后引用?？梢杂胹ym函數(shù)、syms函數(shù)將運算量定義為符號型數(shù)據(jù)。引用符號運算函數(shù)時，用戶可以指定函數(shù)執(zhí)行過程中的變量參數(shù)；若用戶沒有指定變量參數(shù)，則使用findsym函數(shù)默認的變量作為函數(shù)的變量參數(shù)。1、sym函數(shù)

sym函數(shù)的主要功能是創(chuàng)建符號變量，以便進行符號運算，也可以用于創(chuàng)建符號表達式或符號矩陣。用sym函數(shù)創(chuàng)建符號變量的一般格式為：

x=sym(‘x’)其目的是將’x’創(chuàng)建為符號變量，以x作為輸出變量名。每次調用該函數(shù),可以定義一個符號變量。一、符號計算基礎（一）定義符號變量在MATLAB命令窗口，輸入命令：

a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');%定義4個符號變量w=10;x=5;y=-8;z=11;%定義4個數(shù)值變量A=[a,b;c,d]%建立符號矩陣AB=[w,x;y,z]%建立數(shù)值矩陣Bdet(A)%計算符號矩陣A的行列式det(B)%計算數(shù)值矩陣B的行列式比較符號常數(shù)與數(shù)值在代數(shù)運算時的差別。pi1=sym('pi');k1=sym('8');k2=sym('2');k3=sym('3');%定義符號變量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%定義數(shù)值變量sin(pi1/3)%計算符號表達式值sin(pi2/3)%計算數(shù)值表達式值sqrt(k1)%計算符號表達式值sqrt(r1)%計算數(shù)值表達式值sqrt(k3+sqrt(k2))%計算符號表達式值sqrt(r3+sqrt(r2))%計算數(shù)值表達式值【例1】作符號計算：a,b,x,y均為符號運算量。在符號運算前，應先將a,b,x,y定義為符號運算量一、符號計算基礎（一）定義符號變量a=sym(‘a(chǎn)’);

%定義‘a(chǎn)’為符號運算量，輸出變量名為ay=2/bb=sym(‘b’);x=sym(‘x’);y=sym(‘y”);[x,y]=solve(a*x-b*y-1,a*x+b*y-5,x,y)%以a,b為符號常數(shù)，x,y為符號變量即可得到方程組的解：x=3/ay=2/b一、符號計算基礎（一）定義符號變量【例2】已知一復數(shù)表達式z=x+i*y,試求其共軛復數(shù),并求該表達式與其共軛復數(shù)乘積的多項式。為了使乘積表達式x^2+y^2非負，這里，把變量x和y定義為實數(shù)。x=sym(‘x’,’real’);y=sym(‘y’,’real’);一、符號計算基礎（一）定義符號變量z=x+i*y;%定義復數(shù)表達式conj(z);%求共軛復數(shù)expand(z*conj(z))%求表達式與其共軛復數(shù)乘積的多項式ans=x^2+y^2若要去掉’x’的屬性,可以使用下面語句

x=sym(‘x’,’unreal’)將’x’創(chuàng)建為純格式的符號變量。一、符號計算基礎（一）定義符號變量2、syms函數(shù)syms函數(shù)的功能與sym函數(shù)類似。syms函數(shù)可以在一個語句中同時定義多個符號變量，其一般格式為：

symsarg1arg2…argN用于將arg1,arg2,…,argN等符號創(chuàng)建為符號型數(shù)據(jù)。一、符號計算基礎（一）定義符號變量一、符號計算基礎（一）定義符號變量syms函數(shù)的一般調用格式為：symsvar1var2…varn

函數(shù)定義符號變量var1,var2,…,varn等。用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符分界符(')，變量間用空格而不要用逗號分隔。一、符號計算基礎（一）定義符號變量用兩種方法建立符號表達式。在MATLAB窗口，輸入命令：U=sym('3*x^2+5*y+2*x*y+6')%定義符號表達式Usymsxy;%建立符號變量x、yV=3*x^2+5*y+2*x*y+6%定義符號表達式V2*U-V+6%求符號表達式的值計算3階范得蒙矩陣行列式的值。設A是一個由符號變量a,b,c確定的范得蒙矩陣。命令如下：symsabc;U=[a,b,c];A=[[1,1,1];U;U.^2]%建立范得蒙符號矩陣det(A)%計算A的行列式值（二）符號變量的確定在數(shù)學表達式中，一般習慣于使用排在字母表中前面的字母作為變量的系數(shù)，而用排在后面的字母表示變量。例如：

f=ax2+bx+c表達式中的a,b,c通常被認為是常數(shù)，用作變量的系數(shù)；而將x看作自變量。符號表達式中變量的確定MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常數(shù)。findsym可以幫助用戶查找一個符號表達式中的的符號變量。該函數(shù)的調用格式為：findsym(S,n)函數(shù)返回符號表達式S中的n個符號變量，若沒有指定n，則返回S中的全部符號變量。在求函數(shù)的極限、導數(shù)和積分時，如果用戶沒有明確指定自變量，MATLAB將按缺省原則確定主變量并對其進行相應微積分運算?？捎胒indsym(S,1)查找系統(tǒng)的缺省變量，事實上，MATLAB按離字符'x'最近原則確定缺省變量。例如，數(shù)學表達式

f=xng=sin(at+b)根據(jù)數(shù)學式中表示自變量的習慣，默認a,b,c為符號常數(shù)，x為符號變量。若在MATLAB中表示上述表達式，首先用syms函數(shù)定義a，b，n，t，x為符號對象。在進行導數(shù)運算時，由于沒有指定符號變量，則系統(tǒng)采用數(shù)學習慣來確定表達式中的自變量，默認a,b,c為符號常數(shù)，x，t為符號變量。即：對函數(shù)f求導為：df/dx

對函數(shù)g求導為：dg/dt一、符號計算基礎（二）默認符號變量用findsym函數(shù)查詢默認的變量。該函數(shù)的引用格式為：

findsym（f,n）說明：f為用戶定義的符號函數(shù)，

n為正整數(shù)，表示查詢變量的個數(shù)。

n=i,表示查詢i個系統(tǒng)默認變量。n值省略時表示查詢符號函數(shù)中全部系統(tǒng)默認變量。一、符號計算基礎【例3】查詢符號函數(shù)

f=xng=sin(at+b)中的系統(tǒng)默認變量。symsabntx%定義符號變量f=x^n;%給定符號函數(shù)g=sin(a*t+b);findsym(f,1)%在f函數(shù)中查詢1個系統(tǒng)默認變量ans=x表示f函數(shù)中查詢的1個系統(tǒng)默認變量為x。一、符號計算基礎（二）默認符號變量（三）符號表達式符號表達式由符號變量、函數(shù)、算術運算符等組成。符號表達式的書寫格式與數(shù)值表達式相同。例如,數(shù)學表達式

其符號表達式為：1+sqr(5*x))/2注意，在定義表達式前應先將表達式中的字符x定義為符號變量。一、符號計算基礎基本的符號運算1.符號表達式運算(1)符號表達式的四則運算例符號表達式的四則運算示例。symsxyz;f=2*x+x^2*x-5*x+x^3%符號表達式的結果為最簡形式f=2*x/(5*x)%符號表達式的結果為最簡形式f=(x+y)*(x-y)%符號表達式的結果不是x^2-y^2，而是

(x+y)*(x-y)(2)因式分解與展開factor(S)對S分解因式，S是符號表達式或符號矩陣。expand(S)對S進行展開，S是符號表達式或符號矩陣。collect(S)對S合并同類項，S是符號表達式或符號矩陣。collect(S,v)對S按變量v合并同類項，S是符號表達式或符號矩陣。例6對符號矩陣A的每個元素分解因式。命令如下：symsabxy;A=[2*a^2*b^3*x^2-4*a*b^4*x^3+10*a*b^6*x^4,3*x*y-5*x^2;4,a^3-b^3];factor(A)%對A的每個元素分解因式例6.8計算表達式S的值。命令如下：symsxy;s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2);expand(s)%對s展開collect(s,x)%對s按變量x合并同類項(無同類項)factor(ans)%對ans分解因式(3)表達式化簡MATLAB提供的對符號表達式化簡的函數(shù)有：simplify(S)應用函數(shù)規(guī)則對S進行化簡。simple(S)調用MATLAB的其他函數(shù)對表達式進行綜合化簡，并顯示化簡過程。例6.9化簡命令如下：symsxy;s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2;simple(s)%MATLAB自動調用多種函數(shù)對s進行化簡，并顯示每步結果2.符號矩陣運算transpose(S)返回S矩陣的轉置矩陣。determ(S)返回S矩陣的行列式值。colspace(S)返回S矩陣列空間的基。[Q,D]=eigensys(S)Q返回S矩陣的特征向量，D返回S矩陣的特征值。（四）生成符號函數(shù)將表達式中的自變量定義為符號變量后，賦值給符號函數(shù)名，即可生成符號函數(shù)。例如有一數(shù)學表達式：一、符號計算基礎其用符號表達式生成符號函數(shù)fxy的過程為：

symsabcxy%定義符號運算量

fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2%生成符號函數(shù)生成符號函數(shù)fxy后，即可用于微積分等符號計算。一、符號計算基礎（四）生成符號函數(shù)【例4】定義一個符號函數(shù)fxy=(a*x2+b*y2)/c2

，分別求該函數(shù)對x、y的導數(shù)和對x的積分。symsabcxy

%定義符號變量fxy=(a*x^2+b*y^2)/c^2；

%生成符號函數(shù)

diff(fxy，x)

%符號函數(shù)fxy對x求導數(shù)ans=2*a*x/c^2diff(fxy，y)

%符號函數(shù)fxy對y求導數(shù)ans=2*b*y/c^2

%符號函數(shù)fxy對x求積分int(fxy，x)

ans=1/c^2*(1/3*a*x^3+b*y^2*x)一、符號計算基礎（四）生成符號函數(shù)二、微積分（一）微積分函數(shù)1.求極限函數(shù)limit用于求符號函數(shù)f的極限。系統(tǒng)可以根據(jù)用戶要求，計算變量從不同方向趨近于指定值的極限值。該函數(shù)的格式及功能：二、微積分limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f（x）的極限值。即計算當變量x趨近于常數(shù)a時，f（x）函數(shù)的極限值。

limit(f,a)：求符號函數(shù)f（x）的極限值。由于沒有指定符號函數(shù)f（x）的自變量，則使用該格式時，符號函數(shù)f（x）的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認自變量，既變量x趨近于a。limit(f)：求符號函數(shù)f（x）的極限值。符號函數(shù)f（x）的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認變量；沒有指定變量的目標值時，系統(tǒng)默認變量趨近于0，即a=0的情況。limit(f,x,a,'right')：求符號函數(shù)f的極限值。'right'表示變量x從右邊趨近于a。limit(f,x,a,'left')：求符號函數(shù)f的極限值。'left'表示變量x從左邊趨近于a。二、微積分【例5】求極限symsx；%定義符號變量f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3；%確定符號表達式w=limit(f)%求函數(shù)的極限w=-1/2二、微積分2.微分函數(shù)diff函數(shù)用于對符號表達式s求微分。該函數(shù)的一般引用格式為：

diff(s,’v’,n)二、微積分說明：

應用diff（s）沒有指定微分變量和微分階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求一階微分。應用diff（s，‘v’）或diff（s，sym（‘v’））格式，表示以v為自變量，對符號表達式s求一階微分。應用diff（s，n）格式，表示對符號表達式s求n階微分，n為正整數(shù)。應用diff（s，‘v’，n）diff（s，n，‘v’）格式，表示以v為自變量，對符號表達式s求n階微分。【例6】求導數(shù)：x=sym('x');%定義符號變量t=sym('t');diff(sin(x^2))%求導運算ans=2*cos(x^2)*x二、微積分3．積分函數(shù)積分函數(shù)int（s，v，a，b)可以對被積函數(shù)或符號表達式s求積分。其引用格式為：

int（s，v，a，b)說明：應用int（s）格式，表示沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對被積函數(shù)或符號表達式s求一階積分。應用int（s，v）格式，表示以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達式s求一階不定積分。應用積分函數(shù)時，如果給定a、b兩項，表示是進行定積分運算。a、b分別表示定積分的下限和上限。不指定積分的下限和上限表示求不定積分。二、微積分【例7】求下述積分。求積分：symsxint(1/(1+x^2))ans=atan(x)二、微積分數(shù)值積分。先建立一個函數(shù)文件fx.m：functionfx=fx(x)fx=6+0.3*x;再在MATLAB命令窗口，輸入命令：m=quad('fx',0,10,1e-6)函數(shù)的泰勒級數(shù)MATLAB中提供了將函數(shù)展開為冪級數(shù)的函數(shù)taylor，其調用格式為：taylor(f,v,n,a)例6.23求函數(shù)在指定點的泰勒展開式。命令如下：x=sym('x');f1=(1+x+x^2)/(1-x+x^2);f2=sqrt(1-2*x+x^3)-(1-3*x+x^2)^(1/3);taylor(f1,x,5)%求(1)。展開到x的4次冪時應選擇n=5taylor(f2,6)%求(2)。例6.24將多項式表示成x+1的冪的多項式。命令如下：x=sym('x');p=1+3*x+5*x^2-2*x^3;f=taylor(p,x,-1,4)例6.25應用泰勒公式近似計算。命令如下：x=sym('x');f=(1-x)^(1/12);%定義函數(shù)，4000^(1/12)=2f(96/2^12)g=taylor(f,4)%求f的泰勒展開式g，有4000^(1/12)≈2g(96/2^12)b=96/2^12;a=1-b/12-11/288*b^2-253/10368*b^3%計算g(b)2*a%求4000^(1/12)的結果4000^(1/12)%用MATLAB的乘方運算直接計算4.級數(shù)(級數(shù)求和)級數(shù)求和運算是數(shù)學中常見的一種運算。例如：

f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn函數(shù)symsum可以用于此類對符號函數(shù)f的求和運算。該函數(shù)的引用時，應確定級數(shù)的通項式s，變量的變化范圍a和b。該函數(shù)的引用格式為：

symsum(s,a,b)二、微積分【例8】求級數(shù)的和:鍵入：1/12+1/22+1/32+1/42+……symsksymsum(1/k^2,1,Inf)%k值為1到無窮大ans=1/6*pi^2其結果為：1/12+1/22+1/32+1/42+……=π2/6二、微積分三、簡化方程表達式1.因式分解factor函數(shù)的功能為：把多項式S分解為多個因式，各多項式的系數(shù)均為有理數(shù)。格式為：

factor(s)三、簡化方程表達式【例9】將表達式(x^9-1)分解為多個因式。symsxfactor(x^9-1)ans=(x-1)*(x^2+x+1)*(x^6+x^3+1)2.嵌套將符號多項式s用嵌套形式表示，即用多層括號的形式表示。Horner函數(shù)可以實現(xiàn)此功能。該函數(shù)的格式為：

horner(s)三、簡化方程表達式【例10】將表達式x^3-6*x^2+11*x-6用嵌套形式表示。symsxhorner(x^3-6*x^2+11*x-6)ans=-6+(11+(-6+x)*x)*x四、解方程解方程函數(shù)的格式為：solve(expr1,expr2,...,exprN,var1,var2,...varN)或solve(expr1,expr2,...,exprN)其功能為：求解代數(shù)方程組expr1,expr2,...,exprN的根，未知數(shù)為var1,var2,...varN。說明：若不指明符號表達式expr1,expr2,...,exprN的值，系統(tǒng)默認為0。例如給出一個表達式x^2-3*x-8,則系統(tǒng)將按x^2-3*x-8=0進行運算；四、解方程【例11】解代數(shù)方程：a*x2-b*x-6=0symsabxsolve(a*x^2-b*x-6)ans=[1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2))][1/2/a*(b-(b^2+24*a)^(1/2))]即該方程有兩個根:x1=1/2/a*(b+(b^2+24*a)^(1/2))；

x2=1/2/a*(b-(b^2+24*a)^(1/2))

四、解方程四、解方程例6.28解方程。命令如下：x=solve('1/(x+2)+4*x/(x^2-4)=1+2/(x-2)','x')%解方程(1)f=sym('x-(x^3-4*x-7)^(1/3)=1');x=solve(f)%解方程(2)x=solve('2*sin(3*x-pi/4)=1')