電動(dòng)力學(xué)講學(xué)課件5

第五章

電磁波的輻射本章難點(diǎn)：1、矢勢(shì)的展開和偶極輻射公式的導(dǎo)出；2、電磁場(chǎng)動(dòng)量密度張量的引入和意義。1、電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)的引入、規(guī)范不變性；2、達(dá)朗伯方程及推遲勢(shì)的物理意義；3、矢勢(shì)的展開和偶極輻射；4、電磁場(chǎng)的動(dòng)量守恒。本章重點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束引言

不穩(wěn)定的電荷、電流激發(fā)的電磁場(chǎng)隨時(shí)間變化。有一部分電磁場(chǎng)以波的形式脫離場(chǎng)源向外運(yùn)動(dòng)，這被稱為電磁波的輻射。本章主要研究給定高頻交變電流產(chǎn)生的電磁輻射，并簡(jiǎn)要討論電磁場(chǎng)的動(dòng)量。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一.電磁輻射

與靜電場(chǎng)引入電勢(shì)、靜磁場(chǎng)引入標(biāo)勢(shì)相似，為了便于求解普適的場(chǎng)方程，在變化情況下仍然可以引入勢(shì)的概念。但是，由于電場(chǎng)的旋度不為零，這里引入的矢勢(shì)、標(biāo)勢(shì)與靜電場(chǎng)情況有很大的不同。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二.引入矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)求解電磁輻射問題

變化電荷、電流分布激發(fā)電磁場(chǎng)，電磁場(chǎng)又反過來影響電荷、電流分布。空間電磁場(chǎng)的分布就是在這一對(duì)矛盾相互制約下形成的。變化的電荷電流分布一般具有邊界，因此在求解時(shí)要考慮它們的邊界條件和邊值關(guān)系。但是，一般情況下這種的邊界很復(fù)雜，使得電荷、電流分布無法確定，因此使得求解問題無法進(jìn)行。在本章我們僅討論電荷、電流分布為已知的輻射問題。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三．輻射問題的本質(zhì)也是邊值問題§5.1電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)

本節(jié)使用最普遍的電磁場(chǎng)方程引入矢勢(shì)然后討論電磁輻射問題（僅討論均勻介質(zhì)）。

由于，與靜電場(chǎng)相同，可以引入矢量勢(shì)函數(shù)（矢勢(shì)），使得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一．用勢(shì)描述電磁場(chǎng)（1）矢勢(shì)的引入注意：①與靜電場(chǎng)不同，引入的矢勢(shì)與時(shí)間相關(guān)；②意義與靜電場(chǎng)情況相同，即：在變化電磁場(chǎng)情況，，不能象靜電場(chǎng)那樣直接引入標(biāo)量勢(shì)函數(shù)。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（2）標(biāo)勢(shì)的引入引入標(biāo)量勢(shì)函數(shù)二．規(guī)范變換和規(guī)范不變性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束同靜電場(chǎng)相同，這里引入的失勢(shì)和標(biāo)勢(shì)也不唯一，但是矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)在變化電磁場(chǎng)情況相互間有一定的關(guān)系。1．矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)的不唯一性l

規(guī)范：給定一組稱為一種規(guī)范；2．規(guī)范變換l

兩種規(guī)范間變換關(guān)系：l

規(guī)范變換：不同規(guī)范之間滿足的變換關(guān)系稱為規(guī)范變換。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明：由于和，和不能改變電場(chǎng)和磁場(chǎng)強(qiáng)度，所以l

規(guī)范不變性：在規(guī)范變換下物理規(guī)律滿足的動(dòng)力學(xué)方程保持不變的性質(zhì)（在微觀世界是一條物理學(xué)基本原理）。l

規(guī)范場(chǎng)：具有規(guī)范不變性的場(chǎng)稱為規(guī)范場(chǎng)。要使勢(shì)函數(shù)減少任意性，必須給出，它的值被稱為規(guī)范的條件。值選擇是任意的，但若選擇的好，可使電磁場(chǎng)的解簡(jiǎn)單，基本方程對(duì)稱或物理意義明顯。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束l

庫侖規(guī)范規(guī)范條件：3．兩種規(guī)范在庫侖規(guī)范下，為橫場(chǎng)，縱場(chǎng)。因此，電場(chǎng)的橫場(chǎng)部分完全由決定，而縱場(chǎng)部分完全由決定。在這種情況下，由電荷、電流的瞬時(shí)分布求解，與靜電場(chǎng)的電勢(shì)類似，因此稱為庫侖場(chǎng)。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束庫侖規(guī)范下滿足的方程：l

洛侖茲規(guī)范規(guī)范條件：后面將看到洛侖茲規(guī)范下，所滿足的方程具有高度的對(duì)稱性，這種對(duì)稱性將滿足相對(duì)論的協(xié)變性，有很重要的理論意義。洛侖茲規(guī)范下滿足的方程：證明：證明：證明：將，代入麥克斯韋方程：并利用：得到達(dá)朗貝爾方程（詳細(xì)證明過程由學(xué)生自己補(bǔ)齊）。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三．達(dá)朗貝爾方程1．真空中的達(dá)朗貝爾方程可見滿足泊松方程，與靜電情況類似，即空間某處的在時(shí)刻的值由電荷在時(shí)刻的分布給出，不能直觀的反映電磁相互作用傳播是非超距的特性。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2．庫侖規(guī)范下的達(dá)朗貝爾方程3．洛侖茲規(guī)范下的達(dá)朗貝爾方程洛侖茲規(guī)范下的達(dá)朗貝爾方程是兩個(gè)波動(dòng)方程，因此由它們求出的及均為波動(dòng)形式，反映了電磁場(chǎng)的波動(dòng)性。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束l

反映了電磁場(chǎng)的波動(dòng)性l

兩個(gè)方程具有高度的對(duì)稱性且相互獨(dú)立求出一個(gè)解，另一個(gè)解就迎任而解。在下一節(jié)我們將看到，洛侖茲條件下達(dá)朗貝爾方程的解直接反映出電磁相互作用需要時(shí)間?；谶@些考慮，在研究輻射問題時(shí)，一般都是采用洛侖茲條件下的達(dá)朗貝爾方程。作業(yè)：1、4、5第五章第二節(jié)推遲勢(shì)§5.2推遲勢(shì)

標(biāo)勢(shì)方程中為已知。若較復(fù)雜，直接得到一般解比較困難。本節(jié)先從一個(gè)點(diǎn)電荷出發(fā)，然后由迭加原理得到解。

本節(jié)討論空間存在電荷和電流分布情況下達(dá)朗貝爾方程的解。一.標(biāo)勢(shì)和矢勢(shì)的達(dá)朗伯方程的解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

設(shè)點(diǎn)電荷處于原點(diǎn)，，考慮對(duì)稱性取球坐標(biāo)且與無關(guān)。標(biāo)勢(shì)的達(dá)朗貝爾方程化為：當(dāng)時(shí)，機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.點(diǎn)電荷在空間激發(fā)的標(biāo)勢(shì)＊令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束代表向外傳播的球面波代表向內(nèi)收斂的球面波

這個(gè)類似于一維波動(dòng)方程的解可以表示為：與點(diǎn)電荷電勢(shì)類比有：由于討論輻射問題若點(diǎn)電荷不在原點(diǎn)而在空間點(diǎn)：可以證明上述解的形式滿足＊式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.連續(xù)電荷分布在空間產(chǎn)生的電勢(shì)3.矢勢(shì)的解

由于滿足的方程形式上與滿足的方程一樣，類比得到的解：二.證明、滿足洛侖茲條件證：令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束0電荷守恒定律1．推遲勢(shì)

勢(shì)函數(shù)在空間點(diǎn)，時(shí)刻的值依賴于時(shí)刻的電荷、電流分布，即空間勢(shì)的建立與場(chǎng)源相比推遲了。具有這樣特性的勢(shì)稱為推遲勢(shì)。空間點(diǎn)，時(shí)刻的電磁場(chǎng)由時(shí)刻的電荷、電流分布決定。也就是說電荷、電流產(chǎn)生的物理作用在經(jīng)歷了時(shí)間后才到達(dá)觀察點(diǎn)，即場(chǎng)的建立需要時(shí)間，而相互作用的傳播速度在真空中為C。

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三．推遲勢(shì)及其物理意義2．電磁相互作用需要時(shí)間第五章第三節(jié)電偶極輻射§5.3

電偶極輻射l

本節(jié)僅討論電荷分布以一定頻率做周期運(yùn)動(dòng)，且電荷體系線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電荷到觀測(cè)點(diǎn)的距離的情況。l

電磁波是從變化的電荷、電流系統(tǒng)輻射出來的。宏觀上，主要是利用載有高頻交變電流的天線產(chǎn)生輻射，微觀上，一個(gè)做變速運(yùn)動(dòng)的帶電粒子即可產(chǎn)生輻射。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束將此式代入推遲勢(shì)的公式后得到（）令，則：一.計(jì)算輻射場(chǎng)的一般公式上式表示一種時(shí)諧波，這是計(jì)算輻射場(chǎng)矢勢(shì)的一般公式。與穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)相比這里附加了一個(gè)因子，稱為推遲相因子。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)電荷電流分布：隨時(shí)間正弦或余弦變化同樣可以得到：根據(jù)洛侖茲條件可以得到矢勢(shì)與標(biāo)勢(shì)的關(guān)系：因此只要求出矢勢(shì)即可得到標(biāo)勢(shì)此情況下電磁場(chǎng)也是時(shí)諧電磁場(chǎng)：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（在的區(qū)域成立）1．在小電荷、電流區(qū)域的級(jí)數(shù)展開設(shè)場(chǎng)點(diǎn)到小區(qū)域電荷、電流中某點(diǎn)的距離（小區(qū)域的線度），則有（為坐標(biāo)原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離）。將在點(diǎn)展開：二．矢勢(shì)的展開其中為方向單位矢量。因?yàn)?，所以僅取前兩項(xiàng)而舍去高次項(xiàng)得到。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2．求解的公式因?yàn)?，所以分母中的可以舍去。但是要注意，相因子中的不能輕易舍去。原因：相對(duì)不一定是小量。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束利用得到：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)時(shí)條件下輻射場(chǎng)的近似公式近似公式可以僅取積分中的第一項(xiàng)，有：偶極輻射公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束在滿足，的前提下，按與3．與的關(guān)系的關(guān)系還可分為三種情況：（1）（近區(qū)）傳播時(shí)間這一區(qū)域內(nèi)變化電磁場(chǎng)與靜場(chǎng)性質(zhì)類似。（3）（遠(yuǎn)區(qū)，即輻射區(qū)）電磁波在脫離了場(chǎng)源后的傳播區(qū)域，也是本課程主要討論的內(nèi)容。（2）（感應(yīng)區(qū)）過度區(qū)，電磁場(chǎng)的行為很復(fù)雜，一般不詳細(xì)研究這一區(qū)域。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1．用表示偶極輻射矢勢(shì)三．偶極輻射2．偶極輻射的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度用到考慮遠(yuǎn)區(qū)條件，，即，所以有：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束在條件下偶極輻射的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束選球坐標(biāo)，讓沿軸，則：利用討論：（1）電場(chǎng)沿經(jīng)線振蕩，磁場(chǎng)沿緯線振蕩，傳播方向、電場(chǎng)方向、磁場(chǎng)方向相互正交構(gòu)成右手螺旋關(guān)系；（2）電場(chǎng)、磁場(chǎng)正比于，因此它是空間傳播的球面波，且為橫電磁波（TEM波），在時(shí)可以近似為平面波；（3）注意如果（）不能被滿足，可以證明電場(chǎng)不再與傳播方向垂直，即電力線不再閉合，但是磁力線仍閉合。這時(shí)傳播的是橫磁波（TM波）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束四．輻射能流、角分布和輻射功率

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)：必做：1，3，4，5

選做：10，11

平均功率：與電磁波的頻率4次方成正比。平均能流密度矢量：角分布第五章第七節(jié)電磁場(chǎng)的動(dòng)量§5.7電磁場(chǎng)的動(dòng)量

電磁場(chǎng)與帶電物質(zhì)之間存在相互作用，帶電物質(zhì)在受到電磁場(chǎng)作用時(shí)動(dòng)量會(huì)發(fā)生變化。由于動(dòng)量守恒，電磁場(chǎng)必然也具有動(dòng)量。1.帶電物體受到的電磁力洛侖茲力密度一．電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度和動(dòng)量流密度矢量

帶電物體受到力機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束用代表帶電物體的動(dòng)量，根據(jù)牛頓第二定律有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.電磁場(chǎng)的動(dòng)量守恒定律

若對(duì)有限區(qū)域V，考慮電磁場(chǎng)通過界面發(fā)生動(dòng)量轉(zhuǎn)移，則單位時(shí)間流入界面的動(dòng)量等于區(qū)域內(nèi)總動(dòng)量的變化率。即單位時(shí)間流入V內(nèi)的動(dòng)量全空間動(dòng)量守恒要求電磁場(chǎng)動(dòng)量3.

用場(chǎng)量表示洛侖茲力公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束考慮均勻介質(zhì)同理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4.

動(dòng)量密度與動(dòng)量流密度張量令：動(dòng)量密度單位時(shí)間流出V的動(dòng)量流電磁場(chǎng)的動(dòng)量流密度張量即單位時(shí)間通過V的界面上單