理學連續(xù)函數(shù)

一、函數(shù)的連續(xù)性自變量函數(shù)值為自變量的改變量為函數(shù)值的改變量可見,函數(shù)在點(1)

在點即(2)極限(3)連續(xù)必須具備三個下列條件:存在;有定義,存在;定義5.1(連續(xù)性)設函數(shù)在內有定義,如果左連續(xù)右連續(xù)左連續(xù)和右連續(xù)統(tǒng)稱為單側連續(xù)

記作：例1討論下列函數(shù)在指定點處的連續(xù)性解(1)解(2)右連續(xù)不左連續(xù)例2證例3證二、初等函數(shù)的連續(xù)性定理5.1定理5.3

嚴格單調的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調的連續(xù)反函數(shù).(證明，略）定理5.2三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內是連續(xù)的.★★★基本初等函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的.一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(即定義域內的區(qū)間）連續(xù),在其定義域內不一定連續(xù);例如,這些孤立點的鄰域內沒有定義.在0點的鄰域內沒有定義.注意例如初等函數(shù)求極限可用代入法.在在三、函數(shù)的間斷點及其分類(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù)

:設在點的某去心鄰域內有定義,則下列情形這樣的點之一函數(shù)

f(x)在點雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點

.在無定義

;間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點

.為跳躍間斷點.為無窮間斷點

.為振蕩間斷點.例4可去間斷點例5例6為其無窮間斷點.例7這種情況稱為震蕩間斷點.在無定義，是間斷點。例8

討論的連續(xù)性。是的跳躍間斷點。是的無窮間斷點。連續(xù)區(qū)間為解四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質記號定理4.4(有界性定理)定理4.5(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內有間斷點,定理不一定成立.定義2:定理4.6(零點定理)

幾何解釋:定理4.7(介值定理)

幾何解釋:MBCAmab證由零點定理,推論4.1

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例1證由零點定理,例2證由零點定理,例3證內容小結左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在

第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型在點連續(xù)的等價形式3.一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質.思考題2.討論函數(shù)間斷點的類型.思考題解答由于但反之不成立.例但