數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)課件

新課標人教版課件系列《高中數(shù)學》選修2-2數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)1.1.《變化率與導數(shù)》數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)教學目標

了解導數(shù)概念的實際背景，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵;了解函數(shù)的平均變化率;

教學重點：函數(shù)的平均變化率;導數(shù)概念的實際背景，導數(shù)的思想及其內(nèi)涵;數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)一、變化率問題研究某個變量相對于另一個變量變化導數(shù)研究的問題的快慢程度．變化率問題數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)微積分主要與四類問題的處理相關:一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等;二、求曲線的切線;三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;四、求長度、面積、體積和重心等。導數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)變化率問題問題1氣球膨脹率

我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關系是如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)我們來分

析一下:當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為顯然0.62>0.16問題1氣球膨脹率我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)思考?當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)問題2高臺跳水

在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數(shù)關系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)?請計算hto數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)請計算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)平均變化率定義:若設Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)

則平均變化率為這里Δx看作是對于x1的一個“增量”可用x1+Δx代替x2同樣Δf=Δy==f(x2)-f(x1)上述問題中的變化率可用式子表示稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)

思考?觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直線AB的斜率數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)做兩個題吧!1、已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+Δx,-2+Δy),則Δy/Δx=()A3B3Δx-(Δx)2C3-(Δx)2D3-ΔxD2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。

2x0+Δx

數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)練習：2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運動,求在4s附近的平均變化率.A數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)小結(jié)：1.函數(shù)的平均變化率2.求函數(shù)的平均變化率的步驟:(1)求函數(shù)的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);(2)計算平均變化率數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)練習：過曲線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當Δx=0.1時割線的斜率.

數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)二、導數(shù)的概念

數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)問題2高臺跳水

在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數(shù)關系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)?hto數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)瞬時速度.在高臺跳水運動中,平均速度不能準確反映他在這段時間里運動狀態(tài).又如何求瞬時速度呢?我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)如何求（比如，t=2時的）瞬時速度？

通過列表看出平均速度的變化趨勢

：

當Δt趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢?數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)瞬時速度我們用

表示“當t=2,Δt趨近于0時,平均速度趨于確定值-13.1”.那么,運動員在某一時刻t0的瞬時速度?

局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)導數(shù)的定義:從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)問題:求函數(shù)y=3x2在x=1處的導數(shù).分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+3(Δx)2

再求

再求數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)應用：例1物體作自由落體運動,運動方程為：其中位移單位是m,時間單位是s,g=10m/s2.求：

(1)物體在時間區(qū)間[2,2.1]上的平均速度；

(2)物體在時間區(qū)間[2,2.01]上的平均速度；

(3)物體在t=2(s)時的瞬時速度.分析:數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)解:(1)將Δt=0.1代入上式，得:(2)將Δt=0.01代入上式，得:數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)應用：例2將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第x(h)時，原油的溫度（單位：0C）為f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).計算第2（h)和第6（h）時，原由溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。關鍵是求出：它說明在第2（h)附近，原油溫度大約以30C/h的速度下降；在第6（h)附近，原油溫度大約以50C/H的速度上升。數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)應用：例3．質(zhì)量為１０kg的物體，按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律做直線運動，（１）求運動開始后４s時物體的瞬時速度；（２）求運動開始后４s時物體的動能。數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)小結(jié)：1求物體運動的瞬時速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)(2)求平均速度（3）求極限1由導數(shù)的定義可得求導數(shù)的一般步驟：（1）求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均變化率（3）求極限數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)練習：(1)求函數(shù)y=在x=1處的導數(shù).(2)求函數(shù)y=的導數(shù).數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)三、導數(shù)的幾何意義數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)回顧①平均變化率函數(shù)y=f(x)的定義域為D,x1.x2∈D,f(x)從x1到x2平均變化率為:②割線的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)回顧以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)，記作f′

(x0)或y′|x→x0即數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)

由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的基本方法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負.

自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應的形式.回顧數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)應用：例1將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第x(h)時，原油的溫度（單位：0C）為f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).計算第2（h)和第6（h）時，原由溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。關鍵是求出：它說明在第2（h)附近，原油溫度大約以30C/h的速度下降；在第6（h)附近，原油溫度大約以50C/H的速度上升。數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)PQoxyy=f(x)割線切線T導數(shù)的幾何意義:

我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ如果有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)

設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)在x=x0處的導數(shù).要注意,曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關;

要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,

可以有多個,甚至可以無窮多個.PQoxyy=f(x)割線切線T數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:①求出P點的坐標;②利用切線斜率的定義求出切線的斜率;③利用點斜式求切線方程.數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)練習:如圖已知曲線,求:(1)點P處的切線的斜率;(2)點P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點P處的切線的斜率等于4.

(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)．函數(shù)導函數(shù)由函數(shù)f(x)在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到,當時,f’(x0)是一個確定的數(shù).那么,當x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導函數(shù).即:數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)如何求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)?數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)看一個例子:數(shù)學：1.1《變化率與導數(shù)》(新人教A版-選修2-2)下面把前面知識小結(jié):a.導數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù)學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物理意義認識這一概念的實質(zhì)，學會用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。

b.要切實掌握求導數(shù)的三個步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變