三角函數(shù)應(yīng)用講義

銳角三角函數(shù)精析精練一、知識(shí)梳理三角函數(shù)的概念：在Rt△ABC中，∠C=，SinA=，cosA=，tanA=例1：已知在中，∠C為直角，AC=4cm，BC=3cm，sin∠A=．例2：在中，，分別是的對(duì)邊，若，則．例3：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝2，則cosA的值是（）ABO圖3A．eq\f(\r(21),5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(\r(21),2)D．eq\f(5,2)ABO圖3ACACB圖1圖2例4：如圖2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)__cm.例5：正方形網(wǎng)格中，如圖3放置，則的值為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2.特殊角的三角函數(shù)值：度度數(shù)三角函數(shù)SinαCosαtanα例6：若，則的余角是°，．例7：如果是等腰直角三角形的一個(gè)銳角，則的值是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．例8：的值等于（）A. B. C. D.1例9：因?yàn)?，，所以；因?yàn)?，，所以，由此猜想，推理知：一般地?dāng)為銳角時(shí)有，由此可知：（）A． B． C． D．3.銳角三角函數(shù)的應(yīng)用MNBA例10：《中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l理》規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)千米/時(shí)．”如圖所示，已知測(cè)速站到公路的距離為30米，一輛小汽車在公路上由東向西行駛，測(cè)得此車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用的時(shí)間為2秒，并測(cè)得，．計(jì)算此車從到的平均速度為每秒多少米（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字），并判斷此車是否超過(guò)限速．（參考數(shù)據(jù)：，）MNBA二、鞏固練習(xí)（一）選擇題：1.已知中，AC=4，BC=3，AB=5，則（） A. B. C. D.2.已知為銳角，且，則等于（）A．B．C．D．3.如圖，已知直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，，則直角邊的長(zhǎng)是（）ABOA． B． C． D．ABO4.正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則=（）A． B．C．D．5.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則sinB＝（）A． B． C． D．68CEABD（第6題）6.直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，現(xiàn)將如圖那樣折疊，使點(diǎn)68CEABD（第6題）A． B． C． D．（第7題）7.如圖，在高樓前點(diǎn)測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，向高樓前進(jìn)60米到點(diǎn)，（第7題）又測(cè)得仰角為，則該高樓的高度大約為（）A.82米B.163米C.52米D.70米（二）填空題：DBCADBCA60121231231Oxy9．如圖，小鳴將測(cè)傾器安放在與旗桿AB底部相距6m的C處，量出測(cè)傾器的高度CD＝1m，測(cè)得旗桿頂端B的仰角＝60°，則旗桿AB的高度為．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）10.如圖，小明在樓頂處測(cè)得對(duì)面大樓樓頂點(diǎn)處的仰角為52°，樓底點(diǎn)處的俯角為13°．若兩座樓與相距60米，則樓的高度約為米．（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）（，，，，，）11.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分線，tanB=，則CD∶DB=.（三）解答題：12.如圖，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場(chǎng)岸邊的A點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的B點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營(yíng)救．1號(hào)救生員從A點(diǎn)直接跳入海中；2號(hào)救生員沿岸邊(岸邊看成是直線)向前跑到C點(diǎn)，再跳入海中；3號(hào)救生員沿岸邊向前跑30O米到離B點(diǎn)最近的D點(diǎn)，再跳人海中．救生員在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=45°，∠BCD=60°，三名救生員同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，請(qǐng)說(shuō)明誰(shuí)先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)B．(參考數(shù)據(jù)≈1.4，≈1.7)MNBOADOC30°45°13.如圖13，某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)課上測(cè)量學(xué)校旗桿高度．已知小明的眼睛與地面的距離是1.7m，看旗桿頂部的仰角為；小紅的眼睛與地面的距離是1.5m，看旗桿頂部的仰角為．兩人相距28米且位于旗桿兩側(cè)（點(diǎn)在同一條直線上）．請(qǐng)求出旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果保留整數(shù)）MNBOADOC30°45° 14.小剛有一塊含有30°角的直角三角板，他想測(cè)量其短直角邊的長(zhǎng)度，而手中另外只有一個(gè)量角器，于是他采用了如下的辦法，并獲得了相關(guān)數(shù)據(jù)：第一步，他先用三角板標(biāo)有刻度的一邊測(cè)出量角器的直徑AB的長(zhǎng)度為9cm；第二步，將三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，并量得∠BOC為80°(O為AB中點(diǎn))．請(qǐng)你根據(jù)小剛測(cè)得的數(shù)據(jù)，求出三角板的短直角邊AC的長(zhǎng)．(參考數(shù)據(jù)：sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67；sin40°＝0.64，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84，結(jié)果精確到0.1cm．)AABCO15.某地震救援隊(duì)探測(cè)出某建筑物廢墟下方點(diǎn)C處有生命跡象，已知廢墟一側(cè)地面上兩探測(cè)點(diǎn)A、B相距3米，探測(cè)線與地面的夾角分別是30°和60°（如圖），試確定生命所在點(diǎn)C的深度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）16．由于過(guò)度采伐森林和破壞植被，使我國(guó)某些地區(qū)受到沙塵暴侵襲，近日A市氣象局測(cè)得沙塵暴中心在A市正東方向400km的B處，正在向西北方向轉(zhuǎn)移（如圖31—3—3所示），距沙塵暴中心300km的范圍內(nèi)將受其影響，問(wèn)A市是否會(huì)受到這次沙塵暴的影響？17．如圖31—3—4，為了測(cè)量電視塔AB的高度，在C、D兩點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角分別為30°，45°。已知C、D兩點(diǎn)在同一水平線上，C、D間的距離為60米，測(cè)傾器CF的高為1.5米，求電視塔AB的高。（精確到0.1米）18.如圖31—3—5，一只船自西各東航行，上午9時(shí)到達(dá)一座燈塔P的西南方向68海里的M處，上午11時(shí)到達(dá)這座燈塔的正南方向N處，求這只船航行的速度。19．如圖31—3—6，為了測(cè)量河的寬度，東北岸選了一點(diǎn)A，東南岸選相距200m的B、C兩點(diǎn)測(cè)得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，求這段河的寬度。（精確到0.1m）20.為建一座橋，施工時(shí)，需求出B、C兩地的距離，如圖31—3—12，現(xiàn)測(cè)得A到BC的距離是h，∠ABC＝，∠ACB＝，試確定BC的距離。21.如圖31—3—10，某移動(dòng)公司移動(dòng)電話的信號(hào)收發(fā)塔建在某中學(xué)的科技樓上，李明同學(xué)利用測(cè)傾器在距離科技樓靠塔的一面25米遠(yuǎn)處測(cè)得塔頂A的仰角為60°，塔底B的仰角為30°，你能利用這些數(shù)據(jù)幫李明同學(xué)計(jì)算出該塔的高度嗎？（結(jié)果精確到0.1米）22.（昆明市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖31—3—20海中一小島A在周圍8海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B測(cè)得小島A在北偏東60°方向，航行12海里后到達(dá)D，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向，如漁船不改變航向，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？23.（2013湖南婁底，20，7分）如圖9，小紅同學(xué)用儀器測(cè)量一棵大樹(shù)AB的高度，在C處測(cè)得∠ADG30，在E處測(cè)得∠AFG60，CE8米，儀器高度CD1.5米，求這棵樹(shù)AB的高度（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字，≈1.732）.AGBAGBFECD306024.(2013重慶，20，6分)已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC邊上，且△ABD是等邊三角形。若AB=2，求△ABC的周長(zhǎng)。（結(jié)果保留根號(hào)）25.（2013浙江省溫州市，21，9分）某海濱浴場(chǎng)東西走向的海岸線可近似看作直線（如圖）。救生員甲在A處的瞭望臺(tái)上觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正北方向的B處有人發(fā)出求救信號(hào)。他立即沿AB方向徑直前往救援，同時(shí)通知正在海岸線上巡邏的救生員乙。乙馬上人C處入海，徑直向B處游去。甲在乙入海10秒后趕到海岸線上的D處，再向B處游去。若CD=40米，B在C的北偏東方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒。問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)B處？請(qǐng)說(shuō)明理由。（參考數(shù)據(jù)：）26.（2011山東省濰坊市，題號(hào)20，分值10）20、(本題滿分10分)校車安全是近幾年社會(huì)關(guān)注的重大問(wèn)題，安全隱患主要是超載和超速.某中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組設(shè)計(jì)了如下檢測(cè)公路上行駛的汽車速度的實(shí)驗(yàn)：先在公路旁邊選取一點(diǎn)C，再在筆直的車道上確定點(diǎn)D，使CD與垂直，測(cè)得CD的長(zhǎng)等于21米，在上點(diǎn)D的同側(cè)取點(diǎn)A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°(1)求AB的長(zhǎng)（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，）(2)已知本路段對(duì)校車限速為40千米/小時(shí)，若測(cè)得某輛校車從A到B用時(shí)2秒，這輛校車是否超速？說(shuō)明理由.（1）AD=36.33BD=`12.11AB=24.2(2)該車速度43.56＞40所以超速（2013四川攀枝花，19，6分）（6分）如圖6，我漁政310船在南海海面上沿正東方向勻速航行，在A地觀測(cè)到我漁船C在東北方向上的我國(guó)某傳統(tǒng)漁場(chǎng)．若漁政310船航向不變，航行半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)到我漁船C在北偏東30°方向上．問(wèn)漁政310船再航行多久，離我漁船C的距離最近？（假設(shè)我漁船C捕魚(yú)時(shí)移動(dòng)距離忽略不計(jì)，結(jié)果不取近似值．）(2013山東省聊城，22，8分）周末，小亮一家在東昌湖游玩，媽媽在湖心島P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船（如圖），小船從P處出發(fā)，沿北偏東60°方向劃行200米到A處，接著向正南方向劃行一段時(shí)間到B處.在B處小亮觀測(cè)媽媽所在的P處在北偏西37°的方向上，這時(shí)小亮與媽媽相距多少米（精確到1（2013山東泰安，13，3分）如圖，為測(cè)量某物體AB的高度，在D點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30o，朝物體AB方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)C，再次測(cè)得A點(diǎn)的仰角為60o，則物體的高度為（）A.10米B.10米C.20米D.（2013浙江麗水，19，6分）學(xué)校校園內(nèi)有一小山坡，經(jīng)測(cè)量，坡角∠ABC=30°，斜坡AB長(zhǎng)為12米.為方便學(xué)生行走，決定開(kāi)挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1:3（即為CD與BC的長(zhǎng)度之比），A，D兩點(diǎn)處于同一鉛垂線上，求開(kāi)挖后小山坡下降的高度AD.（2013湖北隨州，20,9分）在一次暑假旅游中，小亮在仙島湖的游船上（A處），測(cè)得湖西岸的山峰太婆尖（C處）和湖東岸的山峰老君嶺（D處）的仰角都是45°，游船向東航行100米后（B處），測(cè)得太婆尖、老君嶺的高度為多少米？（，結(jié)果精確到米）。（2013四川內(nèi)江，18，9分）水務(wù)部門(mén)為加強(qiáng)防汛工作，決定對(duì)某水庫(kù)大壩進(jìn)行加固，大壩的橫截面是梯形ABCD．如圖9所示，已知迎水坡面AB的長(zhǎng)為16米，∠B＝60°，背水坡面CD的長(zhǎng)為16米，加固后大壩的橫截面為梯形ABED，CE的長(zhǎng)為8米（1）已知需加固的大壩長(zhǎng)為150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后大壩背水坡面DE的坡度．AABCD圖9E（2013湖南衡陽(yáng)市，24，6）如圖，一段河壩的橫截面為梯形ABCD，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出壩底寬AD．（i=CE：ED，單位：m）（2013呼和浩特，22，6分）如圖，線段AB、DC分別表示甲、乙兩建筑物的高