2022-2023學(xué)年天津市雙港中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat12頁(yè)2022-2023學(xué)年天津市雙港中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)傾斜角求斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.【詳解】由題設(shè)，所求直線的斜率，且過(guò)，所以直線方程為.故選：B2．準(zhǔn)線為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線得到，進(jìn)而寫出拋物線方程.【詳解】由準(zhǔn)線為，即拋物線焦點(diǎn)為，即，所以拋物線方程為.故選：D3．已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是，，則該圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心，由兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，即可得到圓的方程．【詳解】解：由題意可知，，的中點(diǎn)為，又圓的半徑為，故圓的方程為．故選：B．4．下列圖案關(guān)于星星的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)已有的圖形結(jié)合選項(xiàng)驗(yàn)證求解.【詳解】由圖形可知：當(dāng)n=1時(shí)，有1個(gè)，排除BD,當(dāng)n=3時(shí)，有6個(gè)，排除A故選：C5．下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（

）①直線的一個(gè)方向向量為②雙曲線的漸近線方程為

③橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為

④圓的半徑為.A． B． C． D．【答案】B【解析】由直線的斜率，結(jié)合直線的方向向量的概念，可判定①正確的；由雙曲線方程，求得的值，得出漸近線的方程，可判定②不正確；由橢圓方程，求得的值，可判定③不正確；化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可判定④正確.【詳解】對(duì)于①中，由直線的斜率為，所以直線的一個(gè)方向向量為，所以是正確的；對(duì)于②中，由雙曲線，可得，所以其漸近線方程為，所以不正確；對(duì)于③中，由橢圓，可得，所以其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以不正確；對(duì)于④中，由圓，可得，所以圓的半徑為，所以是正確.故選：B.6．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，，再由即可求出，得出方程.【詳解】∵雙曲線1(a>0，b>0)的焦距為，，，又雙曲線的一條漸近線與直線2x+y+1=0平行，∴，結(jié)合，可解得，∴雙曲線的方程為.故選：B.7．如圖所示，橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，直線與BF交于點(diǎn)D，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)左頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)，由兩點(diǎn)間斜率公式求出直線的斜率與直線的斜率，由題意，直線的斜率與直線的斜率的積為，聯(lián)立橢圓中，即可求出橢圓的離心率．【詳解】解：設(shè)左頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)則直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)?，所以，所以，即，又，所以，所以，解得，因?yàn)椋裕蔬x：B．8．已知平行六面體的各棱長(zhǎng)均為，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析得出，利用空間向量數(shù)量積可求得的值.【詳解】由已知可得，，，所以，，所以.故選：A.9．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用求通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得，再應(yīng)用分組求和，結(jié)合等差、等比前n項(xiàng)和公式求.【詳解】由題設(shè)且(n≥2)，故且，所以，又也滿足，故，則，所以.故選：B二、填空題10．已知為等差數(shù)列，a3+a8=22，a6=7，則a5=【答案】15【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解．【詳解】∵為等差數(shù)列，∴，∴．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，掌握等差數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，等差數(shù)列中，若正整數(shù)滿足，則．特別地若，則．11．已知，且，則.【答案】【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)論求解即可【詳解】故答案為：12．已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是.【答案】相交【解析】分別求出圓與圓的圓心與半徑，再利用圓心距與半徑之間的關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓，圓心，圓，圓心，又圓心距，則，所以兩個(gè)圓是相交的.故答案為：相交【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查兩圓的位置關(guān)系，利用幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系判斷：方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與的關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含13．圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為．【答案】【分析】求得圓的圓心，由此求得圓的方程.【詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以圓的方程為.故答案為：14．若直線與雙曲線始終有公共點(diǎn)，則取值范圍是．【答案】【分析】聯(lián)立方程得到，討論，兩種情況，計(jì)算得到答案.【詳解】直線方程與雙曲線方程聯(lián)立：得：,當(dāng)時(shí)，即時(shí)，直線與漸近線平行，有一個(gè)公共點(diǎn)，顯然符合條件；當(dāng)時(shí)，由，解得，所以且；綜上，取值范圍是.故答案為：.15．給出下列命題：①直線與線段相交，其中，則的取值范圍是；②圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；③直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓恰好與直線相切.其中正確的命題有.（把正確的命題的序號(hào)填上）【答案】②③【分析】求直線所過(guò)定點(diǎn)與線段端點(diǎn)所成直線斜率，數(shù)形結(jié)合求的范圍判斷①；根據(jù)圓心到直線距離與圓的半徑數(shù)量關(guān)系確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷②；聯(lián)立拋物線與直線，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求及中點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而可判斷③.【詳解】由過(guò)定點(diǎn)，該點(diǎn)與所成直線斜率為，與所成直線斜率為，如下圖示，要使直線與線段相交，則，①錯(cuò)；

圓心且半徑，則到直線距離，如下圖示，在直線左上方圓弧存在一點(diǎn)到直線距離為1，右下方圓弧存在兩點(diǎn)到直線距離為1，所以圓C上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，②對(duì)；

將直線代入拋物線整理得且，則，，所以，故以為直徑的圓C的半徑為，又圓心C的橫坐標(biāo)為，故C到的距離為，綜上，以為直徑的圓恰好與直線相切，③對(duì).

故答案為：②③三、解答題16．已知圓C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0.（1）若圓C與直線l：x+2y﹣4＝0相交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|，求m的值；（2）在（1）成立的條件下，過(guò)點(diǎn)P（2，1）引圓的切線，求切線方程.【答案】（1）m＝4（2）切線方程為x＝2或y＝1【分析】（1））易得到圓心的距離，，由弦長(zhǎng)公式可得的方程，解方程可得．（2）由（1）可得圓的方程，可知在圓外，分斜率存在與否討論可得.【詳解】（1）圓方程可化為，則圓心，半徑，所以圓心到直線l的距離則弦長(zhǎng)，解得；（2）由（1）得圓方程表示為，可知點(diǎn)在圓外，①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，該直線與圓相切；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)的直線方程為，即，則，解得，此時(shí)切線方程為，所以切線方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交弦長(zhǎng)的計(jì)算與過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線問(wèn)題，屬于中檔題.17．如圖，平面，.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）利用線面平行的判定證面、面，再由面面平行的判定得面面，最后根據(jù)面面平行的性質(zhì)證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，向量法求線面角的正弦值；（3）由（2）所得坐標(biāo)系，向量法求面面角的余弦值；【詳解】（1）由，面，面，則面，由，面，面，則面，而，面，故面面，由面，則平面；（2）由平面，平面，則，又，以為原點(diǎn)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，，，所以，則，，，令面的一個(gè)法向量，則，若，則，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.

（3）由（2）知：，則，令面的一個(gè)法向量，則，若，則，所以，即平面與平面夾角的余弦值為.18．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于（其中為原點(diǎn)），證明直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率得關(guān)系，又可得，即可求得，從而得橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程為，，，直線與橢圓聯(lián)立即可得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，從而可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線與垂直，即可得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式得的方程，即可確定直線的定點(diǎn).【詳解】（1）依題意，，∴，又，，∴，∴∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，，，由得，，恒成立，∴，∴，則，∴直線的斜率∵直線過(guò)點(diǎn)且垂直于∴直線的斜率，令得點(diǎn)坐標(biāo)為，∴直線的方程為，即∴直線恒過(guò)定點(diǎn).19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是公比大于0的等比數(shù)列，且滿足.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；(3)對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)