剛體平面運動中瞬心的基點

剛體平面運動中瞬心的基點

在剛體的平坦運動中，要討論旋轉問題，必須明確以下問題。以瞬心為基點的合理性;以瞬心為基點時,什么時候慣性力矩為零,什么時候不為零?或者說作用在剛體上慣性力的作用點在哪里,慣性力矩等于多少?不論我們根據(jù)質點組角動量定理還是根據(jù)牛頓第二定律導出剛體轉動定理,都是在以選定點為原點的慣性坐標系中進行討論的.該坐標原點通常稱作“基點”或“選定中心”.此時選定中心的加速度等于零.既然剛體轉動定理是在慣性系中導出的,那么剛體的轉動問題似乎只能在慣性系中討論,或者說選定中心的加速度一定要等于零.實際上在討論剛體轉動問題時,一切可以確定運動狀態(tài)的點都可以作為選定中心.顯然有些點的加速度為零,有些點的加速度不為零.下面我們先討論選定中心加速度不為零時作用在剛體上慣性力的作用點以及慣性力對于選定中心的慣性力矩的大小.設在一慣性坐標系中有動點O′,以O′為原點作一平動坐標系O′X′Y′Z′,如圖1.O′相對于慣性系加速度為→aa?0.有一個由n個質點組成的質點組,質心在C點,質心的矢徑為→rr?c.質點組中任一質點mi的矢徑為→ρρ?i,mi除了受到實際作用力外還受到慣性力-mi→a′0的作用.→ri是mi相對于質心C的矢徑.作用在mi上的慣性力對O′點的慣性力矩為→ρi×(-mi→a′0),則作用在整個質點組上慣性力對O′的力矩為→Μ′=n∑i=1→ρi×(-mi→a′0)=n∑i=1(→rc+→ri)×(-mi→a0).注意到n∑i=1mi為質點組的質量m,在質心坐標系中n∑i=1mi→ri=0,則→Μ=→rc×(-mi→a′0).上式表明,當選定中心的加速度→a′0不為零時,作用在所有質點上慣性力的合力的作用點在質點組的質心,大小等于ma0,對選定中心的慣性力矩等于質心的矢徑與慣性力的矢積.顯然,如果選定中心的加速度→a0=0,即坐標系O′X′Y′Z′是慣性系,則慣性力矩→Μ′=0.如果→rc=0,即選定中心就是質點組的質心,無論質心的加速度是否為零,慣性力矩均為零.如果選定中心的加速度→a′0的方向指向或者反指向質心C,則慣性力矩為零.在使用轉動定理解決剛體的轉動問題時,若滿足以上三種情況,慣性力矩均不出現(xiàn).若不滿足上述情況時,由牛頓第二定律的推廣可知,須在轉動地理原來的形式上加上慣性力矩→Μ′,即Ι′0β=→Μ+→Μ′,其中I′0是剛體對選定中心O′的轉動慣量.若要知道慣性力矩的大小,首先要知道選定中心的加速度.通常遇到最多的轉動問題是圓形剛體(如圓環(huán)、圓盤、圓柱、球、球殼)在承滾面(如平面、斜面、曲面)上的滾動問題.根據(jù)前面的討論,若以質心為選定中心,無論質心的加速度是多少,也不論剛體作純滾動還是滑動滾動,因為慣性力作用在質心上,慣性力矩恒為零.雖然質心坐標系未必是慣性系,但這時轉動定理的形式與在慣性系中是一樣的.當剛體作純滾動時,還可以瞬心為選定中心討論轉動問題.如圖2,在某一時刻,剛體的滾動可看作繞P點垂直于紙面的軸轉動.P點為瞬心,該軸為瞬時轉軸.瞬心的速度為零(P點與承滾面相對靜止,但加速度并不為零).以瞬心為選定中心討論純滾動問題,首先要確定瞬心加速度→ap的大小和方向.設一圓形剛體在純滾動中某一時刻瞬心在P點,則P點在滾動中的軌跡是一條擺線,如圖3.若圓形剛體的半徑為r,P點繞質心轉過的角度為θ,則擺線的參數(shù)方程為x=r(θ-sinθ),y=r(1-cosθ),分別對x、y求時間的導數(shù)dxdt=r(dθdt-cosθdθdt)d2xdt2=r[d2θdt2-d2θdt2cosθ+(dθdt)2sinθ]?dydt=rsinθdθdt?d2ydt2=r[d2θdt2sinθ+(dθdt)2cosθ].注意到d2xdt2=ax,d2ydt2=ay,dθdt=ω,d2ωdt2=β,則ax=r[β(1-cosθ)+ω2sinθ],ay=r[βsinθ+ω2cosθ)].當θ=0時,即P點與承滾面接觸的那一瞬間,ax=0,ay=ω2r.說明瞬心加速度只有y方向的分量,大小等于ω2r,方向指向圓形剛體的幾何中心O.我們還可以用另一方法推知以上結果.由圖2知,瞬心加速度→aP,由質心的平動加速度→ac和P點相對于O點的加速度→aP′決定的.即→aΡ=→ac+→aΡ′,且→aP′又分為切向加速度→at′和法向加速度→an′兩部分,則上式為→aΡ=→ac+→at′+→an′.由純滾動的約束條件知→ac=-→at′,則→aΡ=→an′.顯然→aP過P點指向圓形剛體的質心,慣性力矩為零.用同樣的方法可以證明圓形剛體沿斜面或曲面作純滾動時,瞬心加速度的方向指向質心,慣性力矩為零.如圖4所示,一個圓形剛體在斜面上作純滾動,瞬心為P點,以P點為原點建立坐標系OXY,X軸沿斜面向下.圓形剛體質心的加速度為→ac,瞬心加速度為→aΡ=→ac+→at+→an,→an、→at分別為P點的法向及切向加速度.由純滾動的約束條件可知,→ac=-→at,則→aΡ=→an.顯然,圓形剛體在斜面滾動時,瞬心加速度→aP的方向與法向加速度→an一致,通過P點指向剛體質心,所以慣性力矩為零.再看一個圓形剛體在曲面滾動的例子.如圖5a所示,如果AB桿可繞A軸轉動,且通過輪心的固定銷O,帶動圓輪在固定圓弧軌道上作純滾動.當θ=30°時,AB桿的角速度為ω,角加速度α=0,AO=R-r,O1OP恰成垂直線.下面討論該瞬時圓輪的速度瞬心P點的加速度.首先我們可以選用點的復合運動分析法討論圓輪運動中心的速度.若取輪心O點為動點,動坐標系固連于AB桿,定坐標系固連于機架,那么動點的絕對運動是以O1點為圓心,(R-r)為半徑的圓周運動,其速度方向垂直于O1O,即水平方向,大小未知;動點的相對運動是沿AB桿的直線運動,其速度方向沿AB桿,大小未知;牽連運動是動坐標系隨AB桿繞A軸的轉動,其速度方向如圖5(b),大小為νe=ˉAΟ?ω,根據(jù)速度合成定理→νΟ=→νr+→νe,再由平行四邊形法則可知νO=νe/cosθ(如圖5(b)),所以圓輪的角速度為ωO=νO/r沿順時針方向.至于動點的絕對加速度,由于動點作圓周運動,加速度有切向和法向兩個分量,如圖5(c)所示.其中→atΟ方向垂直于O1O,指向向右.→anΟ方向沿O1O向上,大小為→anΟ=ν2ΟR-r.其次我們再選用平面運動分析法來討論圓輪速度瞬心P點的加速度.如果取輪心O為基點,則P點的加速度為→aΡ=→anΟ+→atΟ+→anpΟ+→atpΟ,其中anpΟ=rω2Ο方向向上,atpΟ方向向左;atΟ方向向右,如圖5(c).由于純滾動特點,無論是固定直線軌道或固定圓弧軌道,在接觸點P的公切線方向上的加速度分量必等于零.也就是說→atΟ=-→atpΟ?atΟ=atΡΟ=raΟ?aΟ為圓輪的角加速度.所以,P點的加速度為aΡ=anΟ+anΡΟ=ν2ΟR-r+rω2Ο.因此圓輪的速度瞬心P點的加速度只有公法