2024屆一輪復(fù)習命題方向精講系列：28 外接球、內(nèi)切球、棱切球（十五大經(jīng)典題型）（原卷附答案）

第第頁獲取更多資料，關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派考向28外接球、內(nèi)切球、棱切球經(jīng)典題型一：正方體、長方體模型經(jīng)典題型二：正四面體模型經(jīng)典題型三：對棱相等模型經(jīng)典題型四：直棱柱模型經(jīng)典題型五：直棱錐模型經(jīng)典題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型經(jīng)典題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型經(jīng)典題型八：共斜邊拼接模型經(jīng)典題型九：垂面模型經(jīng)典題型十：最值模型經(jīng)典題型十一：二面角模型經(jīng)典題型十二：坐標法模型經(jīng)典題型十三：圓錐圓柱圓臺模型經(jīng)典題型十四：錐體內(nèi)切球經(jīng)典題型十五：棱切球方法技巧一：正方體、長方體外接球1．正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．2．長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．3．補成長方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4方法技巧二：正四面體外接球如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．方法技巧三：對棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．方法技巧四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出方法技巧五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．方法技巧六：正棱錐與側(cè)棱相等模型1．正棱錐外接球半徑：．2．側(cè)棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．方法技巧七：側(cè)棱為外接球直徑模型方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．方法技巧八：共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．方法技巧九：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．圖1圖2方法技巧十：最值模型這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，觀察法等方法技巧十一：二面角模型如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．方法技巧十二：坐標法對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設(shè)球心坐標為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計算，大大降低了解題的難度．方法技巧十三：圓錐圓柱圓臺模型1．球內(nèi)接圓錐如圖，設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2．球內(nèi)接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．3．球內(nèi)接圓臺，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．方法技巧十四：錐體內(nèi)切球方法：等體積法，即方法技巧十五：棱切球方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形經(jīng)典題型一：正方體、長方體模型1．（2022·貴州黔南·高三開學(xué)考試（理））自2015年以來，貴陽市著力建設(shè)“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務(wù)群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級為“公園中的城市”．截至目前，貴陽市公園數(shù)量累計達到1025個．下圖為貴陽市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長為，則石凳所對應(yīng)幾何體的外接球的表面積為________．2．（2022·四川省巴中中學(xué)模擬預(yù)測（文））在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球的體積為______．3．（多選題）（2022·江蘇·高三開學(xué)考試）在棱長為2的正方體中，點，分別是棱，的中點，則（

）A．異面直線與所成角的余弦值為B．C．四面體的外接球體積為D．平面截正方體所得的截面是四邊形經(jīng)典題型二：正四面體模型4．（2022·江蘇南京·高三開學(xué)考試）已知一個正四面體的棱長為2，則其外接球與以其一個頂點為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長度為___________.5．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知正四面體的外接球、內(nèi)切球的球面上各有一動點、，若線段的最小值為，則（

）A．正四面體的棱長為6 B．正四面體的內(nèi)切球的表面積為C．正四面體的外接球的體積為 D．線段的最大值為6．（多選題）（2022·山東濟南·模擬預(yù)測）在正四面體中，若，則下列說法正確的是（

）A．該四面體外接球的表面積為B．直線與平面所成角的正弦值為C．如果點在上，則的最小值為D．過線段一個三等分點且與垂直的平面截該四面體所得截面的周長為7．（2022·湖北·高三階段練習）有一個棱長為6的正四面體，其中有一半徑為的球自由運動，正四面體內(nèi)未被球掃過的體積為經(jīng)典題型三：對棱相等模型8．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）

A． B． C． D．9．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．10．（多選題）（2022·遼寧朝陽·高三階段練習）在三棱錐中，，，則（

）A．B．三棱錐的體積為C．三棱錐外接球半徑為D．異面直線與所成角的余弦值為11．（2022·河南·商丘市第一高級中學(xué)高三開學(xué)考試（文））在三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型四：直棱柱模型12．（2022·江西省撫州市第一中學(xué)高三階段練習（文））設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，且三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是___________.13．（2022·全國·高三專題練習）球內(nèi)接直三棱柱，則球表面積為___________.經(jīng)典題型五：直棱錐模型14．（2022·福建省福州屏東中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖所示的三棱錐中，平面，則該三棱錐的外接球的表面積為______.15．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）在三棱錐中，底面，，，為的中點，球為三棱錐的外接球，是球上任一點，若三棱錐體積的最大值是，則球的體積為___________.16．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）《九章算術(shù).商功》中，將四個面都是直角三角形的四面體成為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則四面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．17．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知四棱錐外接球表面積為，體積為平面，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．18．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）在三棱錐中，，，，，則三棱錐外接球的表面積為(

)A． B． C． D．經(jīng)典題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型19．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）在三棱錐中，三條棱兩兩垂直，且，則平面截該三棱錐的外接球所得截面圓的面積為______.20．（2022·江西·高三階段練習（文））在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．21．（2022·全國·高三專題練習）已知正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．22．（2022·重慶十八中兩江實驗中學(xué)高三階段練習）在三棱錐中，點在底面的射影是的外心，，則該三棱錐外接球的體積為___________.經(jīng)典題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型23．（2022·全國·高三專題練習）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，為球的直徑，且，，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．24．（2022?五華區(qū)校級期末）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，，為球的直徑，，則這個三棱錐的體積為A． B． C． D．25．（2022?撫順校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，為球的直徑，且，，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則球的表面積為A． B． C． D．經(jīng)典題型八：共斜邊拼接模型26．（2022·安徽省定遠縣第三中學(xué)高三階段練習）如圖，在平面四邊形中，，現(xiàn)將沿折起，并連接，使得平面平面，若所得三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．27．在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．28．三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為經(jīng)典題型九：垂面模型29．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，平面平面ABC，則三棱錐的體積為___________，其外接球的表面積為___________.30．（多選題）（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高三階段練習）四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，平面PAD⊥平面ABCD，E為PB中點，PA=AB=BC=2CD=2PD=2，則（

）A．PB⊥ADB．CE//平面PADC．四棱錐P-ABCD的體積為D．三棱錐PABD的外接球半徑為31．（2022·全國·高三專題練習）三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為______32．（2022·山西·太原市外國語學(xué)校高三開學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，平面平面CBD，，點M在AC上，，過點M作三棱錐外接球的截面，則截面圓面積的最小值為（

）A． B． C． D．33．（2022·全國·高三專題練習）在平行四邊形中，滿足，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型十：最值模型34．（2022·廣東·高三階段練習）已知四邊形是邊長為3的菱形，把沿折起，使得點D到達點P，則三棱錐體積最大時，其外接球半徑為_______．35．（2022·河南·高三開學(xué)考試（理））如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的體積為________．36．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（文））在邊長為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起到的位置，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A．60π B．45π C．30π D．20π經(jīng)典題型十一：二面角模型37．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習）在三棱錐中，△是邊長為3的正三角形，且，，二面角的大小為，則此三棱錐外接球的體積為________．38．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小為，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型十二：坐標法模型39．（2022·黑龍江·大慶實驗中學(xué)模擬預(yù)測）直角中，是斜邊上的一動點，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當線段的長度最小時，四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．40．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在長方體中，，，，是棱上靠近的三等分點，分別為的中點，是底面內(nèi)一動點，若直線與平面垂直，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．41．（2022·山西·一模（理））如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型十三：圓錐圓柱圓臺模型42．（2022·江蘇南京·高三階段練習）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點，則三棱錐P-ABE外接球的表面積為（

）A． B． C． D．43．（2022·山東青島·高三開學(xué)考試）已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺的外接球半徑為（

）A． B． C． D．44．（2022·河南安陽·高三開學(xué)考試（理））在正四棱臺中，，則（

）A．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為B．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為C．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為D．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為經(jīng)典題型十四：錐體內(nèi)切球45．（2022·全國·高三專題練習）六氟化硫是一種無機化合物，化學(xué)式為，常溫常壓下為無色無臭無毒不燃的穩(wěn)定氣體，密度約為空氣密度的5倍，是強電負性氣體，廣泛用于超高壓和特高壓電力系統(tǒng)．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)呈正八面體排布（8個面都是正三角形）．若此正八面體的表面積為，則該正八面體的內(nèi)切球的體積為______．46．（多選題）（2022·湖南湘潭·高三開學(xué)考試）如圖，已知圓錐頂點為，其軸截面是邊長為6的為正三角形，為底面的圓心，為圓的一條直徑，球內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），點是球與圓錐側(cè)面的交線上一動點，則（

）A．圓錐的表面積是 B．球的體積是C．四棱錐體積的最大值為 D．的最大值為47．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學(xué)高三階段練習（文））在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，且，則四棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B． C．3 D．48．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．49．（2022·全國·高三專題練習）在正三棱錐中，，分別是，的中點，且，，則正三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B．C． D．50．（2022·全國·高三專題練習）若正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的內(nèi)切球和外接球的半徑分別為、，則（

）A． B．5 C． D．經(jīng)典題型十五：棱切球51．（2022·全國·高三專題練習）已知正三棱柱的各棱長均為，以A為球心的球與棱相切，則球A于正三棱柱內(nèi)的部分的體積為___________.52．（2022·全國·高三專題練習）已知正三棱錐，球O與三棱錐的所有棱相切，則球O的表面積為_________．53．（2022·全國·高三專題練習）正四面體P-ABC的棱長為4，若球O與正四面體的每一條棱都相切，則球O的表面積為（

）A．2π B．8π C． D．12π54．（2022·江西南昌·高三階段練習）已知正三棱柱的體積為18，若存在球O與三棱柱的各棱均相切，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．1．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高考真題（文））已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．4．（2021·天津·高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．5．（2021·全國·高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．6．（2021·全國·高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%7．（2021·全國·高考真題（理））已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．8．（2020·天津·高考真題）若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．9．（2020·全國·高考真題（理））已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型一：正方體、長方體模型1．【答案】【解析】設(shè)正方體的中心為，為棱的中點，連接，則為矩形的對角線的交點，則，同理，到其余各棱的中點的距離也為，故石凳所對應(yīng)幾何體的外接球的半徑為20，其表面積為，故答案為：2．【答案】【解析】因為平面，平面，故,又，，，故,,所以,即,故AD,CD,BD兩兩垂直，故以AD,CD,BD為相鄰的棱構(gòu)造一個相鄰三條棱長為2,2,4的長方體，如圖：則三棱錐的外接球即該長方體的外接球，外接球半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為，故答案為：3．【答案】BC【解析】如圖建立空間直角坐標系，則，∴，，∴，A錯誤；∴，，，∴，B正確；由題可知四面體的外接球即為正方體的外接球，所以外接球半徑滿足，，∴，C正確；延長交延長線與，連接交于，延長交延長線于，連接交于，則五邊形為平面截正方體所得的截面，D錯誤.故選：BC.經(jīng)典題型二：正四面體模型4．【答案】【解析】設(shè)外接球半徑為，外接球球心到底面的距離為，則，所以，兩球相交形成形成的圖形為圓，如圖，在中，，，在中，，所以交線所在圓的半徑為，所以交線長度為.故答案為：5．【答案】ABD【解析】設(shè)這個四面體的棱長為，則此四面體可看作棱長為的正方體截得的，所以四面體的外接球即為正方體的外接球，外接球直徑為正方體的對角線長，設(shè)外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為，則，所以，四面體的高為，則等體積法可得，所以，由題意得，所以，解得所以A正確，所以，所以外接球的體積為，所以C錯誤，因為內(nèi)切球半徑為，所以內(nèi)切球的表面積為，所以B正確，線段的最大值為，所以D正確，故選：ABD6．【答案】ACD【解析】正四面體中，，圖中點為外接球的球心，半徑為，為的外心，所以，由于，又因為，所以，解得，因此外接球的表面積為，故A正確；由于，且與平面所成的角為，因此，故B錯誤；因為于，所以;于，所以;因此當與點重合時，最小，最小值為，故C正確；在平面中過點作交于，在平面中過點作交于，連接,又因為，所以平面，因此平面即為所求，則的周長為，同理在平面中過點作交于，在平面中過點作交于，連接,可得平面，而平面即為所求，，則的周長為，故D正確.故選：ACD.7．【答案】【解析】如圖設(shè)正四面體，當球運動到與平面、平面、平面相切時，可得此時球無法繼續(xù)向上運動，設(shè)切點分別為，則此時球面與正四面體頂點之間的部分球無法掃過，同理可得正四面體頂點均有相同的空間未被球掃過，作與平面平行且與此時球相切的平面，易得棱錐為正四面體，設(shè)棱長為，作平面于，則經(jīng)過球心，易得，則，則正四面體的體積，表面積，設(shè)球半徑為，則，即，解得，作，易得為中點，則，設(shè)4個頂點處未被球掃過空間的體積為，球的體積為，可得；當球沿著方向運動且始終與二面角相切時，設(shè)球與平面、平面的切點始終為，過的大圓與交于，由垂徑定理知，又，易得，則即為二面角的平面角，易得未被球掃過的部分為柱體，且柱體的底面為扇形與四邊形之間的部分，設(shè)中點為，連接，易得，則即為二面角的平面角，又，由余弦定理得，則，則，則，，則，設(shè)扇形與四邊形之間部分面積為，扇形面積為，,則，由上知，又，則柱體的高為，正四面體的六條棱未被球掃過空間均為相同的柱體，設(shè)這部分體積為，則，則正四面體內(nèi)未被球掃過的體積為.故答案為：.經(jīng)典題型三：對棱相等模型8．【答案】C【解析】由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，，，解得，，．所以三棱錐外接球的半徑．三棱錐外接球的體積．故選：C9．【答案】A【解析】三棱錐中，，，，構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑，如圖，設(shè)長方體的棱長分別為，，，則，，，則，因此三棱錐外接球的直徑為，所以三棱錐外接球的表面積為．故選：A10．【答案】ABD【解析】將三棱錐補形為長方體如下：其中，，所以，，連接，因為，，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又四邊形為正方形，所以，所以，A對；長方體的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，所以三棱錐的體積，B對，為長方體的外接球的直徑，，所以長方體的外接球的半徑為，長方體的外接球也是三棱錐外接球，所以三棱錐外接球的半徑為；C錯；連接，交于，因為，所以為異面直線與所成的角（或其補角），由已知，，,所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，D對，故選：ABD.11．【答案】D【解析】三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，構(gòu)造長方體使得面對角線分別為5，，，則長方體體對角線長等于三棱錐外接球直徑，如圖所示，設(shè)長方體棱長分別為a，b，c，則，，，則，即，外接球表面積.故選：D經(jīng)典題型四：直棱柱模型12．【答案】【解析】由題意知底面外接圓的圓心為點，設(shè)外接圓的半徑為，三棱柱的外接球的半徑為，，，由余弦定理得，由正弦定理得，所以，過作垂直于底面的直線交中截面于點，則為外接球的球心，由題意得：，所以外接球的表面積，故答案為：13．【答案】【解析】設(shè)三角形ABC和三角形的外心分別為D，E．可知其外接球的球心O是線段DE的中點，連結(jié)OC，CD，設(shè)外接球的半徑為R，三角形ABC的外接圓的半徑r，可得，由正弦定理得，，而在三角形OCD中，可知，即，因此三棱柱外接球的表面積為．故答案為：經(jīng)典題型五：直棱錐模型14．【答案】【解析】設(shè)中點為,連接,因為平面所以,所以.因為平面所以平面,所以平面，所以.所以,所以.所以點就是三棱錐外接球的球心.由題得.所以三棱錐外接球的半徑為.所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：.15．【答案】【解析】正中，為的中點，則，而平面，平面，則，而，、平面，則平面，平面，所以，，平面，平面，，所以，的中點到點、、、的距離相等，即三棱錐外接球球心為中點，從而，點是三棱錐外接球球心，設(shè)球的半徑為，則，，因為的外接圓圓心為的中點，設(shè)為，連接，因為、分別為、的中點，則，故平面，如圖，則有，即到平面的距離為，因此到平面距離的最大值為，又，即有，解得，所以，，所以球的體積為.故答案為：.16．【答案】D【解析】由題意可知四面體如圖所示，則面體外接球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.故選：D.17．【答案】B【解析】以四邊形ABCD的外接圓為底，PA為高，將四棱錐補形為一個已知球的內(nèi)接圓柱.設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r、R外接球的半徑，,則，，故，，所以在中運用余弦定理與基本不等式得：，在中運用余弦定理與基本不等式得：，上兩式相加得：，故有：，在中由正弦定理得：，因此，.故選：B18．【答案】A【解析】，且，∴，在△PAC中，根據(jù)余弦定理得，，∴，∴，又，平面PAC，∴PB⊥平面PAC，故可將三棱錐B-APC補為直三棱柱，則直三棱柱的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球，設(shè)△PAC外接圓圓心為，△的外接圓圓心為，則直三棱柱的外接球球心為中點O，OA即為外接球的半徑.在△PAC中，根據(jù)正弦定理可得，∴，∴，∴外接球表面積為：．故選：A．經(jīng)典題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型19．【答案】【解析】由題意，平面截該三棱錐的外接球所得截面圓為的外接圓，其圓心為點，作，連接，作圖如下：因為三條棱兩兩垂直，所以在中，，同理可得：，則為等邊三角形，即圓心為中心，則，易知，則的面積，故答案為：.20．【答案】A【解析】因為，由正三棱錐的性質(zhì)知，PA，PB，PC兩兩垂直且相等．設(shè)，則．根據(jù)，得，解得．設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以．故所求外接球的表面積為．故選：A．21．【答案】C【解析】由題意，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為，此三棱錐可補形為一個棱長為的正方體，三棱錐的外接球與補成的棱長為的正方體的外接球為同一個球，設(shè)正方體的外接球的半徑為，可得，即，所以此三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.22．【答案】【解析】設(shè)的外心為,連接,則球心在上，連接,則為外接圓的半徑r,連接,設(shè)外接球的半徑為R,則,在中，由正弦定理得解得,即,在中，在,中,即,解得：,所以外接球的體積為：，故答案為：經(jīng)典題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型23．【答案】A【解析】根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為，球的半徑．，，平面，三棱錐的體積可看成是兩個小三棱錐和的體積和．，，球的表面積為．故選：A．24．【解析】解：如圖所示，由條件為直角三角形，則斜邊的中點為的外接圓的圓心，連接得平面，，，，平面，三棱錐的體積為．故選：．25．【解析】解：設(shè)球心為，球的半徑．，，平面，三棱錐的體積可看成是兩個小三棱錐和的體積和．，，球的表面積為．故選：．經(jīng)典題型八：共斜邊拼接模型26．【答案】C【解析】∵平面ACD⊥平面ABC，平面ABC∩平面BCD=AC，AC⊥BC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD，又∵AD?平面ACD，∴AD⊥BC，又∵AD⊥DC，BC∩DC=C，BC?平面BCD，DC?平面BCD，∴AD⊥平面BCD，又∵BD?平面BCD，∴AD⊥BD，即為直角，又∵為直角，∴取的中點，連接OC，OD，由直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)OA=OB=OC=OD，可得為三棱錐外接球的球心，由三棱錐外接球的表面積為，可得外接球的半徑，∴，∵BC⊥平面ACD，為直角，∴三棱錐的體積為故選：C27．【解析】設(shè)矩形對角線的交點為，則由矩形對角線互相平分，可知．∴點到四面體的四個頂點的距離相等，即點為四面體的外接球的球心，如圖2所示．∴外接球的半徑．故．選C．28．【解析】是公共的斜邊，的中點是球心，球半徑為．經(jīng)典題型九：垂面模型29．【答案】

【解析】如圖，取AC的中點E，連接DE，BE，在BE上取一點O，使得，由，，所以，所以，所以，，，.因為E為AC的中點，所以，又平面平面ABC，且平面平面，平面ACB，所以平面ACD，所以，又平面ACD，所以，所以，所以O(shè)為三棱錐外接球的球心，所以三棱錐外接球的半徑為，則三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：；30．【答案】BCD【解析】如圖

取AB中點F，連接DF；作PG⊥AD于點，因為平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，平面，所以PG⊥面ABCD，因為CD=1，AB=2，所以BF=1，因為AB//CD，AB⊥BC，所以四邊形BCDF為矩形，所以DF=BC=2，所以AD=；因為PA=2，PD=1，所以∠APD=，所以AP⊥PD，因為，所以，，在底面ABCD中，，所以，所以BG=2；對于A，如果PB⊥AD，又因為PG⊥AD，所以AD⊥面PBG，所以AD⊥BG，而AB=BG=2，AG=，所以△ABG不是直角三角形，所以A錯誤；對于B，取的中點連接，因為E為PB中點，所以∥，，因為，∥，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以CE//平面PAD，所以B正確，對于C，底面積為；PG為高，所以，C正確；對于D，BD=，取的中點，則為的外心，過作于，因為平面PAD⊥平面ABD，平面平面，平面，所以平面，因為垂直平分，所以為的外心，所以為三棱錐PABD的外接球的球心，即平面ABD在外接球的大圓上，所以△ABD的外接圓半徑即為外接球半徑；，所以，所以，所以D正確.故選：BCD31．【答案】1【解析】因為，，故是公共的斜邊，的中點是球心，球半徑為．故答案為：132．【答案】A【解析】由題意知，和為等邊三角形，如圖所示：取BD中點為E，連接AE，CE，則，由平面平面CBD，平面平面，故平面CBD，，易知球心O在平面BCD的投影為的外心，過作于H，易得，，則在中，，所以外接球半徑，連接OM，因為，所以H，O，M三點共線，所以，，當M為截面圓圓心時截面面積最小，此時截面圓半徑，面積為.故選：A.33．【答案】C【解析】平行四邊形中，，，，沿折成直二面角，平面平面三棱錐的外接球的直徑為，因為平行四邊形，結(jié)合，外接球的半徑為1，故表面積是．故選：C．經(jīng)典題型十：最值模型34．【答案】【解析】取中點G，連接，如圖，當三棱錐體積最大時，平面平面，此時．設(shè)，則，所以，設(shè)，則，由，可得，因為時，，當時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以時三棱錐的體積最大，此時，，所以.設(shè)E，F(xiàn)分別為與的外接圓圓心，圓的半徑為，過點E作平面的垂線，過點F作平面的垂線，則兩垂線的交點O就是三棱錐的外接球球心，由正弦定理可知，即，可求得，故四邊形是正方形，，所以外接球半徑，所以三棱錐的體積最大時，其外接球半徑.故答案為：35．【答案】【解析】因為在三棱錐中，，所以當三棱錐的體積最大時，平面與底面垂直，過點作，連接，，因為，所以點為中點，又平面平面，平面平面，，所以平面，因為在梯形中，，，，所以，，故，又，所以，在中，由余弦定理可得,則，故,因為，，所以，又因為平面平面，，，所以三棱錐的外接球的球心為中點，半徑為，所以外接球的體積為．故答案為：.36．【答案】A【解析】當三棱錐的體積最大值時，平面平面，如圖，取的中點為，連接，則．設(shè)分別為，外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，則在上，在上，且,且平面，平面．平面平面，平面平面，平面，平面，，同理四邊形為平行四邊形平面，平面，即四邊形為矩形．外接球半徑外接球的表面積為故選：A．經(jīng)典題型十一：二面角模型37．【答案】【解析】根據(jù)題意，，所以，取中點為E，中點，則，，，是正三角形，，是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，，是的外心，設(shè)是的外心，設(shè)過與平面垂直的直線與過垂直于平面的直線交于點，則是三棱錐外接球球心，，，又，由于平面MNO與MEO同時垂直于BD，所以共面，在四邊形中，由，，，，可得：，外接球半徑為，體積為．故答案為：38．【答案】C【解析】設(shè)的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，過這兩點分別作平面、平面的垂線，交于點O，則O就是外接球的球心；取中點E，連接，因為，，所以，因為和是正三角形，所以，由得，所以由，即球半徑為，所以球體積為．故選：C.經(jīng)典題型十二：坐標法模型39．【答案】D【解析】解：根據(jù)題意，圖1的直角三角形沿將翻折到使二面角為直二面角，所以，過點作交延長線于，過點作交于，再作，使得與交于點，所以，由二面角為直二面角可得，設(shè)，即，則，因為，所以，所以，在中，，在中，，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，此時，，，，在圖1中，由于，即為角的角平分線，所以，即，所以，所以，，由題知，兩兩垂直，故以為坐標原點，以的方向為正方向建立空間直角坐標系，則，所以，設(shè)四面體的外接球的球心為，則，即，即，解得，，即，所以四面體的外接球的半徑為

，所以四面體的外接球的表面積為．故選：D40．【答案】B【解析】以為坐標原點，的正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，，，，平面，，解得：，與重合，三棱錐的外接球即為長方體的外接球，外接球，外接球表面積.故選：B.41．【答案】B【解析】解：依題意，，，平面，所以平面，又，如圖建立空間直角坐標系，則、、、、、，依題意為直角三角形，所以的外接圓的圓心在的中點，設(shè)外接球的球心為，半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的體積；故選：B經(jīng)典題型十三：圓錐圓柱圓臺模型42．【答案】B【解析】由題，由圓的性質(zhì)，為直角三角形，，如圖所示，設(shè)外接球半徑為R，底面圓心為Q，外接球球心為O，由外接球的定義，，易得O在線段PQ上，又圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，所以底面圓半徑，∵，則，解得，∴外接球表面積為.故選：B．43．【答案】B【解析】設(shè)圓臺的高和母線分別為，球心到圓臺上底面的距離為，根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式可得，因此圓臺的高，當球心在圓臺內(nèi)部時，則，解得，故此時外接球半徑為，當球心在圓臺外部時，則，，解得不符合要求，舍去，故球半徑為故選：B44．【答案】B【解析】如圖，正四棱臺中，、分別是上、下底面對角線交點，即上、下底面中心，是正四棱臺的高．，，在直角梯形中，，棱臺的體積為，由對稱性外接球球心在直線上，設(shè)球半徑為，連接，，，若在線段上（如圖1），由得，因為，，所以方程無實數(shù)解，因此在的延長線上（如圖2），即在平面下方，因此有，解得，所以球表面積為．故選：B．圖1圖2經(jīng)典題型十四：錐體內(nèi)切球45．【答案】【解析】設(shè)該正八面體的棱長為a，則，解得a＝4．故內(nèi)切球圓心O到各頂點的距離為．故在正三棱錐O－ABC中，，故．由正八面體的結(jié)構(gòu)特征可得的長為內(nèi)切球半徑.所以該正八面體的內(nèi)切球體積為．故答案為：.46．【答案】BCD【解析】依題意，動點Q的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為，連接，如圖，正內(nèi)切圓即為球O的截面大圓，球心O、截面圓圓心都在線段上，連，，則球O的半徑，顯然，，，，對于A，圓錐的表面積是，A錯誤；對于B，球O的體積是，B正確；對于C，因Q到平面AEBF的距離與截面圓圓心到平面的距離相等，均為，則當四邊形AEBF的面積最大時，四棱錐的體積最大，，當且僅當，即時取“=”，則四棱錐體積的最大值為，C正確；對于D，因，則有，即，因此，由均值不等式得：，即，當且僅當時取“=”，D正確.故選：BCD47．【答案】B【解析】設(shè)四棱錐的外接球與內(nèi)切球的半徑分別為.因為，四棱錐的表面積，所以，因為兩兩垂直，四棱錐可補形為長方體，所以，所以四棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.故選：B.48．【答案】D【解析】連接，并延長交底面于點，連接，并延長交于，在三棱錐中，，，三棱錐是正四面體，是的中心，平面，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，，解得球的半徑，設(shè)，則，，，，，，解得，，此三棱錐的體積為.故選：