2021年中考訓練 十 四邊形(含答案)

專題十四邊形

一、單選題

1.（2020.臺州）把一張寬為1cm的長方形紙片ABC。折疊成如圖所示的陰影圖案，頂點4,?；ハ嘀睾希?/p>

中間空白部分是以E為直角頂點，腰長為2c/n的等腰直角三角形，則紙片的長（單位:a”）為（）

4⑺

七^>二。

BC

A.7+3B.7+4C.8+3D.8+4

2.（2020.臺州）下是關于某個四邊形的三個結論:①它的對角線相等；②它是一個正方形;③它是一個矩形.

下列推理過程正確的是（）

A.由②推出③，由③推出①B.由①推出②，由②推出③

C.由③推出①，由①推出②D.由①推出③，由③推出②

3.（2020?臺州）如圖，已知線段AB,分別以4,B為圓心，大于象8同樣長為半徑畫弧，兩弧交于點C,

D,連接AC,AD,BC,BD,C。，則下列說法錯誤的是（）

A.A8平分/CAOB.CO平分/AC8C.ABVCDD.AB=CD

4.（2020?溫州）如圖，在△ABC中，ZA=40°,AB=AC,以CB,CO為邊作￡3BCDE,

則/E的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

5.（2020?湖州）四邊形具有不穩(wěn)定性，對于四條邊長確定的四邊形，當內(nèi)角度數(shù)發(fā)生變化時，其形狀也會

隨之改變，如圖，改變正方形ABCO的內(nèi)角，正方形ABCZ）變?yōu)榱庑蜛BC。，若NZ）AB=30。，則菱形

A8C。的面積與正方形A8CO的面積之比是（）

B

6.（2020?金華?麗水）如圖，。。是等邊的內(nèi)切圓，分別切A&BC,AC于點E,F,D,P是:瘠上

一點，則NEPr的度數(shù)是（）

A.65°B.600C.58°D.50°

7.（2020.金華?麗水）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形A8CQ與正方形

連結EG,8。相交于點。，8。與"C相交于點P.若GO=GP,)

A?1用B.g亞C.第一亞D.寸

8.（2019?紹興）正方形ABC。的邊A8上有一動點E,以EC為邊作矩形ECFG,且邊尸G過點。，在點E

從點A移動到點8的過程中，矩形ECFG的面積（）

A.先變大后變小B.先變小后變大C.一直變大D.保持不變

二、填空題

9.（2020?衢州）如圖，將一把矩形直尺A8C。和一塊含30。角的三角板EFG擺放在平面直角坐標系中，AB

在x軸上，點G與點A重合，點尸在AO上，三角板的直角邊所交于點陸反比例函數(shù)產(chǎn)率80）

的圖象恰好經(jīng)過點F,M。若直尺的寬8=3,三角板的斜邊FG=8亞，則仁。

10.（2019?湖州）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，被譽為“東方魔板由邊長為4也的正方形ABC?？?/p>

以制作一副如圖1所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在正方形EFG”內(nèi)拼成如圖2所示的“拼搏兔”造型（其

中點0、R分別與圖2中的點E、G重合，點P在邊EH上），則“拼搏兔”所在正方形EFGH的邊長是.

圖2

11.（2019?紹興）如圖，在直線AP上方有一個正方形ABCQ,ZPAD=30°,以點8為圓心，AB長為半徑

作弧點A,與AP交于點A,M,分別以點A,M為圓心，AM長為半徑作弧，兩弧交于點E,連結EQ,則

ZADE的度數(shù)為。

12.（2018?湖州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線廣?2+灰（”>（））的頂點為c,與x軸的

正半軸交于點A，它的對稱軸與拋物線產(chǎn)加（?>0）交于點B.若四邊形ABOC是正方形，則人的值是

13.（2018?湖州）如圖，已知菱形ABC。，對角線AC,8。相交于點。.若&AC=6,則BQ

14.（2018?寧波）如圖，在菱形ABCQ中，AB=2,乙8是銳角，AE_LBC于點E,M是AB的中點，連結

MD,ME.若NEM￡>=90。，則cosB的值為。

15.（2018?寧波）如圖，正方形A8C。的邊長為8,M是A8的中點，P是BC邊上的動點，連結PM,以

點P為圓心，PM長為半徑作。P.當。P與正方形A8C。的邊相切時，8P的長為。

16.（2018?溫州）如圖，直線產(chǎn)_厚,*44與葭軸、飛軸分別交于48兩點，C是08的中點，。是

48上一點，四邊形OEZ）C是菱形，則AOAE的面積為.

17.（2018?杭州）折疊矩形紙片A8CD時，發(fā)現(xiàn)可以進行如下操作：①把AAOE翻折，點A落在。C邊上

的點尸處，折痕為。E,點E在4B邊上；②把紙片展開并鋪平；③把△C￡>G翻折，點C落在直線AE上

的點H處，折痕為OG,點G在BC邊上，若A8=AO+2,EH=\,貝UA￡>=。

18.（2018?紹興）等腰三角形ABC中，頂角A為40。，點P在以A為圓心，BC長為半徑的圓上，且BP=8A,

則NPBC的度數(shù)為。

三、解答題

19.（2019?嘉興）如圖，在矩形ABC。中，點E,F在對角線8D.請?zhí)砑右粋€條件，使得結論SE=Cr，成

立，并加以證明.

DFLAC,垂足分別為點E,Fo

21.（2020?衢州）如圖，在5x5的網(wǎng)格中,

（1）在圖1中畫出一個以AB為邊的Z3A8OE,使頂點。，E在格點上。

（2）在圖2中畫出一條恰好平分AABC周長的直線/（至少經(jīng)過兩個格點）。

五、綜合題

22.（2020?衢州）【性質(zhì)探究】

如圖，在矩形438中，對角線AC,20相交于點O,AE平分/8AC,交BC于點瓦作。FL4E于點H,

分別交A8,AC于點F,Go

(1)判斷AAFG的形狀并說明理由。

(2)求證:BF=20G.

(3)【遷移應用】

蓑4時‘求臂的值。

記ADG。的面積為Si,△OBF的曲積為S2，當

(4)【拓展延伸】

若。尸交射線AB于點F,【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連結EF。當"EF的面積為矩形ABCD面積

1

的4M時，請直接寫出的值。

10

23.(2020.杭州)如圖，在正方形ABC。中，點￡在BC邊上,連接AE、ND4E的平分線AG與CO邊

交于點G,與3C的延長線交于點F,設追=如＞0)。

(1)若AB=2,2=1,求線段CF的長。

(2)連接EG,若EGJ_AF,

①求證：點G為CO的中點。

②求入的值。

24.(2020?寧波)如圖

(1)【基礎鞏固】

如圖1,在AABC中，。為A2上一點，求證：總￡*=。蕊”.且哥

(2)【嘗試應用】

如圖2,在0點齒菇由中，E為BC上一點，F(xiàn)為8延長線上一點，NBFE=/A.若BF=4,BE=3,求A。

的長.

(3)【拓展提高】

1

如圖3,在菱形ABCD中，E是A8上一點，F(xiàn)是AABC內(nèi)一點，EF//AC,AC=2E尸，,￡廢超蒸=備￡蜃短，

-S

AE=2,DF=5,求菱形ABC。的邊長.

25.(2020?金華?麗水)如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標軸的正半軸上，

分別過OB,OC的中點。，E作AE,A。的平行線，相交于點F,已知08=8.

(1)求證：四邊形AEFD為菱形.

(2)求四邊形AEFD的面積.

(3)若點尸在x軸正半軸上(異于點D),點。在)，軸上，平面內(nèi)是否存在點G,使得以點A,P,Q,G

為頂點的四邊形與四邊形AEFD相似？若存在，求點P的坐標；若不存在，試說明理由.

26.(2019?紹興)如圖，矩形ABCD中，AB=a,BC=b，點、M,N分別在邊A8,CD上，點E,尸分別在邊

BC,ADh,MN,EF交于點P,記k=MN:EF.

（1）若的值為1,當MN,所時，求女的值。

1

（2）若的值為號，求k的最大值和最小值。

T?

（3）若％的值為3,當點N是矩形的頂點，ZMPE=60°,MP=EF=3PEWi,求a力為的值。

27.（2019?紹興）有一塊形狀如圖的五邊形余料A8CQE,AB=AE=6,BC=5,ZA=ZB=90°,ZC=135°.Z

E>90。.要在這塊余料中截取一塊矩形材料，其中一條邊在AE上，并使所載矩形材料的面積盡可能大。

（1）若所截矩形材料的一條邊是BC或AE,求矩形材料的面積。

（2）能否數(shù)出比（1）中更大面積的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值；如果不能，說

明理由.

28.（2019?嘉興）在6x6的方格紙中，點A,B,C都在格點上，按要求畫圖：

C：：：?：：C

圖1圖2

（1）在圖1中找一個格點。，使以點A,B,C,D為頂點的四邊形是平行四邊形.

（2）在圖2中僅用無刻度的直尺，把線段A8三等分（保留畫圖痕跡，不寫畫法）.

29.（2019?湖州）如圖，已知在AABC中，D,E,尸分別是AB,BC,AC的中點，連結。F,EF,BF.

IT

(1)求證：四邊形BEF。是平行四邊形；

(2)若NAFB=90。，AB=6,求四邊形8EFD的周長.

30.(2019?寧波)如圖，矩形EFGH的頂點E,G分別在菱形A3C。的邊A。，8c上，頂點F、H在菱形

ABCD的對角線BD上.

(I)求證：BG=DE；

(2)若E為AO中點，F(xiàn)H=2,求菱形ABC。的周長。

31.(2019?杭州)如圖，已知正方形ABCO的邊長為【，正方形CEFG的面積為S,點E在。C邊上,

點G在8C的延長線上，設以線段4。和OE為鄰邊的矩形的面積為8,且S=&.

(1)求線段CE的長.

(2)若點日為8c邊的中點，連接印)，求證：HD=HG.

32.(2019?嘉興)小波在復習時，遇到一個課本上的問題，溫故后進行了操作、推理與拓展.

(1)溫故：如圖1,在4。姐直:中，,就U醵;于點血，正方形漫.跳等的邊小就在朝卷上，頂點步,

京分別在金國，般;上，若懿：=洛，,，眈=4,求正方形理典位的邊長.

(2)操作：能畫出這類正方形嗎?小波按數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行操作：如圖2,任意

畫^總馥:，在*點上任取一點播，畫正方形審磔立禁,使尊,,1/在龍邕邊上，京在△總馥:內(nèi)，連

結醒/并延長交.然;于點M畫斯M_L龍直:于點畫,彈爛，期期交,且浮于點.承，^.?!龍直:于點

&,得到四邊形尸爛尊之域余.小波把線段呆相稱為“波利亞線”.

推理：證明圖2中的四邊形好卷財羯^是正方形.

⑶拓展：在(2)的條件下，于波利亞線呆狷上截取整臉=雙斌,連結龍聚，熬場(如圖3).當

惆"押潮"和，猜想N跳松的度數(shù)，并嘗試證明.

答案解析部分

一、單選題

1.D

【解答】解：如圖，過點M作于”，過點N作/VJL4W于J.

月⑺

由題意AEMN是等腰直角三角形，EM=EN=2,MN=磁,

?.,四邊形EM4K是矩形，

：.EK=A'K=MH=\,KH=EM=2,

,：4RMH是等腰直角三角形，

：.RH=MH=1,RM=后,同法可證NW=4,

由題意AR=R4，=A，W=WZ)=4,

.'.AD=AR+RM+MN+NW+DW—4+^?，+4=8+小>

故答案為：D.

【分析】如圖，過點"作"HLA'R于H,過點N作NJ_L4W于J.想辦法求出AR,RM,MN,NW,WD

即可解決問題.

2.A

【解答】解：對角線相等的四邊形推不出是正方形或矩形，

故①—②，①一③錯誤，

故選項B,C,。錯誤，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)對角線相等的四邊形推不出是正方形或矩形即可判斷.

3.0

【解答】解：由作圖知AC=A￡>=BC=B。，

四邊形ACB。是菱形，

；.AB平分/CAD、CD平分NACB、ABLCD,

不能判斷AB—CD,

故答案為：D.

【分析】根據(jù)作圖判斷出四邊形ACB。是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)：菱形的對角線平分一組對角、菱形的

對角線互相垂直平分可得出答案.

4.D

【解答】:在山i龍篦中，，￡國=*。感，融=盛:,

:彥盧：=口翻幅-4d卷-2=胃0'：,

1/四邊形髭直;激普是平行四邊形，

二■京=?：0儂.

故答案為：裝.

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求出NC的度數(shù)，再利用平行四邊形的對角相等，

可求出/E的度數(shù)。

5.B

【解答】解：根據(jù)題意可知菱形圍底篦的高等于.W曲的一半，

:菱形同酬"廿的面積為鼻硝正方形同馥&的面積為a避

，菱形*4逐寓:的面積與正方形,4宓貪&的面積之比是基

故答案為：B.

【分析】利用30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，就可證得菱形息馥了招，的高等于金器的一半，由此

可得到菱形48C。的面積與正方形ABCZ)的面積，然后求出它們的面積之比。

6.8

【解答】解：連接OE,OF,

'：點EF分別是切點，；.ZOEB=ZOFB=90°,

?.,△ABC是等邊三角形，AZB=60°,

ZE(7F=360°-ZOEB-ZOFB-ZB=120°,

：.ZP=l>ZEOF=60°.

故答案為：B.

【分析】連接OE,OF,根據(jù)切線的性質(zhì)可得/。磴=/。尸8=90。，禾U用等邊三角形的性質(zhì)可得NB=60。,

根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360。，可求出NEOF的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可得/P=qNE。凡據(jù)此求出結論.

7.B

【解答】解：設AF=y,BF=x,

：.正方形EFG”的邊長G”=y-x,

:.EG=^GF=E(y-x),

???正方形A8CO的面積為r+y2,正方形EFG”的面積為(y-x)2,

?:ED〃BG,:?NEDO=NGBO,

?:ED=BG,NEOD=NBOG,

:AEOD會GOB,

：.EO=GOt

.?.G屋EG至(y-x),

Ji,冷

?:GP=GO,

:.GP=￡：(y-x),

:?GH:GP=后,

:，PH：PG=fi，l

,:DH〃GB,

:.△DHPSBGH,

?端=舞，即得卓卡1，二戶內(nèi)-A

...；/—,=，=.“蘇

盤面京劇?躁掙："靖挈

故答案為：B.

【分析】設4F=y,BF=X,可得正方形EFG”的邊長GH=y-x,即得EG幸GF幸(y-x)，根據(jù)正方形的

面積公式可得正方形A8CO的面積為/+)2,正方形EFGH的面積為(y-x)2,先證△EODgGOB,

可得EO=GO,可得G泊EG=@,(y-x),從而可得GP=GO=是(y-x),從而可得PH-.PG=ff_],由

工?,3"￥一

于DH"GB、可得ADHPsBGH,利用相似三角形對應邊成比例可得。從GB=x:y=拒_>代入正方形的

面積進行計算即得結論.

8.0

【解答】解：如圖，連接。區(qū)過點E作EHLCD于點H,過點。作OWLEC于點M

AB

E

?.?正方形ABCD矩形ECFG

/.四邊形AEDH是矩形

：.EH=DC=AD,FC=DM

1'I

.,.SAD￡C=盍DCEH=mEGDM

：.DCEH=ECDM

'/S如彩ECFG=FC-EC=EC-DM

Sii：/j?ABCD=AD-DC—DC-EH

?'?S矩形ECFC=SifMABCD

在點E從點A移動到點B的過程中，矩形ECFG的面積保持不變。

故答案為：D

【分析】連接。E,過點E作EHLCD于點H,過點。作。于點M,易證四邊形是矩形，

利用正方形和矩形的性質(zhì)，可證得E4=￡>C=A￡>,FC=DM,再根據(jù)同一個三角形的面積相等，可證得

DCEH=ECDM,因此可得到在點E從點A移動到點B的過程中，矩形ECFG的面積等于正方形ABCD的

面積，即可得出答案。

二、填空題

9.40亞

【解答】解：過點M作，垂足為N,

則MN=AD=3,

在RmFMN中,NMFN=30。,

FN—因MN=3袤，

：.AN=MB=S曷39=5揚

設O4=x,則OB=x+3,

：.F(x,8&,M(x+3,5:志‘)，

二8月=(x+3)x5屬

解得，x=5,

：.F（5,8節(jié)，

.*.*=5x8亞=40技

故答案為：40

【分析】通過作輔助線，構造直角三角形，求出MN,FN,進而求出AN、MB,表示出點F、點

”的坐標，利用反比例函數(shù)k的意義，確定點尸的坐標，進而確定k的值即可.

164幅

【解答】解：如圖，延長EO交GH于點K,?、谥腥切涡边呏悬cJ,連結JK,由圖1知K7一定過②

中三角形的直角頂點，

F

由圖1可得：

EO=8,OK=2,KJ=4,

：.EK=EO+OK=S+2=\Of

在RtAKGJ中,

■■KG=輸？"濟=承，

設正方形EFGH邊長為小則HK="-2后,

在Rt^KEH中，

"：E^EbP+HK1,

即1。2=層+（G2套'）2,

解得：a=4后或a=-2后（舍去），

二正方形EFGH邊長為4薪

故答案為：4,標.

【分析】由圖1可得：EO=8,OK=2,KJ=4,EK=10,在R〃KGJ中，根據(jù)勾股定理求得KG長,

設正方形EFGH邊長為a,則HK=a-2蠢，在中，根據(jù)勾股定理建立一元二次方程，解之即可

求得答案.

11.15°或45°

【解答】解：如圖，

;正方形A8CQ

/.ZDAB=90°,NBAD=45。,AD=AB

'：ZDAP=30°

：.ZBAM=90°-30°=60°

由題意可知

.二△ABM是等邊三角形，

：.AM=AB=BM

由題意可知

當點E的位置在直線PA上方，與點8重合，此時/AOE2=45。；

當點E的位置在直線E4下方，此時點B(￡2)與點e關于直線PA對稱，

BA=AE,2=AM=AD

：.ZMAEi=60°fZADEi=ZAEiD

：.ZDAEi=3600-ZDAB-ZBAM-ZMAEi

=360o-90°-60o-60°

=150°

AZADEi=(180°-150°)4-15°

故答案為：15?；?5°

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用正方形的性質(zhì)及作圖，可證AA8M是等邊三角形，易證AM=A8=BM,

就可求出/8AM的度數(shù)，再分情況討論：當點￡的位置在直線PA上方，與點8重合，此時/AOE2=45。；

當點E的位置在直線PA下方，此時點B(￡2)與點自關于直線PA對稱，利用軸對稱的性質(zhì)，可得到

BA=AE,2=AM=AD,從而可證得/AOEI=/AEI。，求出/MAEI的度數(shù)，再利用/D4Ei=36(T-/D4B-N

BAM-ZMAE,,求出NQAEi的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出/兒汨的度數(shù)即可。

12.-2

【解答】解：??,四邊形A8OC是正方形,

，點B的坐標為（-：孝”-：聿，）.

拋物線y=ax1過點B,

解得：bi=0（舍去）,bz=-2.

故答案為：-2.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出B點的坐標，根據(jù)拋物線上點的坐標特點，將B點坐標代入拋物線y=ax2

即可得出方程，求解即可得出人的值。

13.2

【解答】解：：四邊形A8CZ）是菱形，AC=6,

J.AC1.BD,0A=與AC=3,BD=2OB.

在??公。48中，：/AOZ）=90°,

..tanABAC-國=豆，

.?.08=1,

.\BD=2.

故答案為2.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出ACLBD,O4=^AC=3,BD=2OB.在RdOAB中根據(jù)正切函數(shù)的定義得出

心鬻仔即可得出。B的長，進而得出的的長。

【解答】解：延長。M交CB的延長線于H,

???四邊形ABC3為菱形,

：.AB=AD=BC=2,AD//BC,

：.NADM=/H,

又是A8的中點,

：.AM=BM=1,

在△AOM和中，

（區(qū)蒸芝濯州

；：溪風藏即=混密監(jiān)層,

A(A4S)，

:.DM=HM,AD=BH=2,

VEM1DM,

:?EH=ED,

設BE=x,

:.EH=ED=2+x,

VAE1BC,

ZAEB=ZEAD=90°,

：.AEr=AB2-BEr=ED2-AD\

即22-^=(2+x)2-22,

化簡得：r+ZrZO,

解得：口后1，

在放"BE中，

cosB=.&iE\_

故答案為：魚J.

?

【分析】延長。M交CB的延長線于H,由菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得：AB=AD=BC^2,ZADM=ZH-,

由全等三角形的判定44S得AAOW絲△BHM,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AO=B〃=2,根據(jù)等腰

三角形三線合一的性質(zhì)可得EH=ED,設BE=x,則EH=ED=2+x,根據(jù)勾股定理得AE^AB^BE^EI^-AD2,

代入數(shù)值解這個方程即可得出8E的長.

15.3或4杰

【解答】解：①如圖1,當。P與邊cr＞相切時，切點為c,

:.PM=PC=R,

是AB的中點，正方形A8CD的邊長為8,

:.BM=4,BP=8-R,

在RMBM中,

即心=(8-R)2+42,

解得：R=5,

：.BP=8-R=8-5=3.

②如圖2,當當。P與邊AQ相切時，設切點為K,連結PK,

：.PK±AD,

四邊形A8PK為矩形，

；.PK=PM=8,

是48的中點，正方形48C。的邊長為8,

：.BM=4,

在RMBM中，

：.Ph^=PB2+BM~,

即82=PB2+42,

解得：PB=4.窿,

綜上所述：PB的長度為3或4區(qū).

故答案為：3或4.再,.

［分析］0如圖1,當。P與邊CD相切時，切點為C,根據(jù)切線和正方形的性質(zhì)得PM=PC=R,BM=4,BP=8-R,

在&AW?何中，根據(jù)勾股定理即可得

汽2=0次)2+42,解之即可得凡從而求得BP；

②如圖2,當當OP與邊相切時，設切點為K,連結尸K,根據(jù)切線的性質(zhì)得由矩形判定和性

質(zhì)得PK=PM=8,在RdP8M中，根據(jù)勾股定理即可得82=P"+42,解之即可得PB長.

16幸

【解答】解：把產(chǎn)0代入y=_虛x+4得出產(chǎn)4,.?.8(0,4);；.08=4;：C是OB的中點，.\OC=2,二,四

.飛:

邊形。匹C是菱形,.?.。氏0。=2;0后〃0。,把)=0代入＞-=-gx+4得出產(chǎn)融,略,0);；.04=砥,

設亞,^a),...風“盅工+2),延長DE交OA于點尸，工亞x+2,OF=x,在Rt^OEF中利用勾股定

一*禹T百亨

理得：承嵬4J=承，解得：制=0(舍)，及=因；：.EF=\,：.S^AOE=^-OAEF=2$..

故答案為：2叔

【分析1根據(jù)直線于坐標軸交點的坐標特點得出,A,B兩點的坐標，得出0B,04的長，根據(jù)C是08的中

點，從而得出0C的長，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OE=OC=2;DE〃OC；設出。點的坐標，進而得出E點的坐

標，從而得出EA。尸的長，在心尸中利用勾股定理建立關于x的方程，求解得出x的值，然后根據(jù)三

角形的面積公式得出答案。

17號十事或3

【解答】???當點”在線段4E上時

把AAOE翻折，點4落在。C邊上的點尸處，折痕為DE,點E在AB邊上

二四邊形尸E是正方形

：.AD=AE

"：AH=AE-EH=AD-\

?.,把ACDG翻折，點C落在直線4E上的點”處，折痕為DG,點G在BC邊上

：.DC=DH=AB=AD+2

在R&OH中，AD^A^DH2

：.AD2+(A￡>-1)2=(AO+2)2

解之：AD=3+2技，AD=3-2鑫(舍去)

.?.4。=3+2宓

當點”在線段BE上時

則AH=AE-EH=AD+\

在中，AD^A^DFf

：.AD2+(AD+\)2=(AD+2)2

解之：AD=3,A3=-l(舍去)

故答案為：冬4■今g或3

【分析】分兩種情況：當點，在線段AE上；當點”在線段BE上。根據(jù)①的折疊，可得出四邊形AOFE

是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出AO=AE,從而可得出(或A”=AO+1),再根據(jù)②的折疊可

得出DH=AD+2,然后根據(jù)勾股定理求出AD的長。

18.30°或110°

【解答】解：此題分兩種情況：①點P在A8的左側，連接PA,如圖,

BC

.?.BC=PA」.?等腰三角形48c中，頂角A為40。，/A3C=70解8=AC,又：臺々%,.?.AC=8P,...四邊形

APBC是平行四邊形，：.AC//PB,：.ZCAB=ZPBA=40°,：.ZPBC=ZPBA+ZABC=110°,

②點P在在A8的右側，連接P4,如圖，

；.BC=PA,?等腰三角形ABC中，頂角A為40°,；./ABC=70:AB=AC,又；BP=BA,：.AC=BP,^EMBP

與ABAC中，?：AB=BAAP=BCAC=BP,：.ZiABP絲△BAC,；.ZABP=ZBAC=40°,：.ZPBC=ZABC-Z

A8P=30°.

故答案為：30?；?10。

【分析】此題分兩種情況：①點尸在AB的左側，連接PA,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由等腰三角形ABC中，

頂角A為40°,得出NABC=70》B=AC,又BP=BA,故AC=B尸，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊

形得出：四邊形APBC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊平行得出AC〃PB,根據(jù)二直線平行內(nèi)錯角相

等得出/CAB=NPBA=40。,根據(jù)/PBC=NPBA+/ABC得出答案；，②點P在在AB的右側，連接PA,根據(jù)

等腰三角形ABC中，頂角A為40。，.?.得出NA8C=7(T,AB=AC,又BP=8A,故AC=8P由SSS判斷出AABP

絲ABAC,根據(jù)全等三角形的對應角相等得出/ABP=/B4C=40。,根據(jù)得出答案。

三、解答題

19.解:添加條件：BE=。尸或OE=8尸或AE〃C尸或NAEB=/。尸C或ND4E=NBC尸或/AEO-NCPB或/

BAE-NDCF或ZDCF+ND4E=90°等.

若選擇BE=DF.

證明：在矩形4BCD中，AB//CD,AB=CD,

：./ABE=NCDF.

,:BE=DF,

AABE學ACDF(SAS).

：.AE^CF.

【分析】利用矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，易證AB=CZ）,NABE=NCDE,添加條件要使AE=CF,可證AABE

絲△CDF,因此若利用SAS,則可添力口或。E=8凡若利用A4S或ASA,可添加另外兩組角中的一

組角相等，或添加AE〃CF,或添加AE_LBQ,CFVBD,證明即可。

20.證明：?.?四邊形A3C。是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD.

：.ZBAE=ZDCF

'：BELAC,DFLAC,

：.ZAEB=ZCFD=9Q°

：./\ABE^/\CDF

：.AE=CF

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，可證得再根據(jù)垂直的定義證明/AEB=

ZCFD,利用全等三角形的判定可證得△ABEg/XCDF,然后利用全等三角形的性質(zhì)，可證得結論。

四、作圖題

21.（I）解：如圖平行四邊形ABDE即為所求（點。的位置還有6種情形可?。?

（2）解：如圖，直線/即為所求,

雷2

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義畫出圖形即可（答案不唯一）.（2）利用數(shù)形結合的思想解決問題

即可.

五、綜合題

22.（1）解：如圖1中，AAFG是等腰三角形.

D

圖1

理由：TAE平分N8AC,

AZ1=Z2,

9

：DF±AEf

：.ZAHF=NA〃G=90°,

*：AH=AHf

「?△A”/絲△AaG(ASA),

：.AF=AGf

「?△A尸G是等腰三角形.

(2)解：如圖2中，過點。作OL〃A8交。戶于3則NA尸G=NOLG.

圖2

*：AF=AGf

：.ZAFG=ZAGF,

NAGF=NOGL,

：.ZOGL=ZOLGt

：.OG=OL,

*：OL//AB,

：?4DLOs叢DFB,

**筱蕓一工笳FV"

???四邊形A3CD是矩形,

：.BD=20Df

：.BF=20Lf

：.BF=20G.

(3)解：如圖3中，過點。作。KLAC于K,則/。K4=/CD4=90。,

BEC

圖3

'：ZDAK=ZCAD,

：.△A￡)Ks”c。，

?Xcs

.?語二策"

11

VSi=奇OG?DK,S2=^?BF>AD,

二.二.

又?.?BFuZOG,Ji=i,

,薄

.X2CB

二被‘謂二

設C￡)=2x,AC=3x,則AD=2后x,

.??J?一3正

且耨一CD~3

(4)由〃N8AE的值為較或；&騏.

5T3-1

【解答】(4)設OG為“，AG為鼠

①如圖4,連接EF,當點F在線段48上時,點G在線段OA上

C

BE

圖4

；AF=AG,BF=2OG,

.\AF=AG=kfBF=2a,

.\AB=k^-2afAC=2(2+〃),

2222

：.AD=[2(k+a)]-(Z+2。),：.AD=3lc+4kaf

由NABE=NQAF-90。，NBAE=NADF,^LABE^/XDAF,

?謝釐小F

?f=3?'

..M-.;f.轉，疏+一破

..妥十當「'券'11

根據(jù)題意得，10xJx2ax檄春匚細Lo(&+2。)，

.\AD2=\0ka,

即103=3F+4履，

/.k=2af

，4。=2'^^a,

:.BE=看談+2雄4病，AB=4a,

!-----------1-?--r---\at.

②如圖5,當點尸在線段A8的延長線上時，點G在線段OC上，連接后尸.

圖5

：AF=AGfBF=20G,

\AF=AG=k,BF=2a,

\AB=k-2afAC=2Qk-a)

??A￡>2=AC2-C￡>2=[2(k-a)]2-(%-2a)?=3心-Aka

??NA8E=N￡)A尸=90°,ZBAE=ZADF,

,?XAB"XDNF,

?“疫一室’

?鼠期一初’

:.BE=,裁看一酬.

，儂.

根據(jù)題意得，lOx2ax區(qū)"繁回=AOCk-2a）,

：.AD2=\Qka

即\0ka=3k2-4ka,

：.k=號a,

：.AD=.野［卷5.a,

：.BE=?-M=枷乙@la

【分析】（1）如圖1中，AA尸G是等腰三角形.利用全等三角形的性質(zhì)證明即可.（2）如圖2中，過點

。作。乙〃A8交。產(chǎn)于L,則NAFG=/OLG.首先證明OG=OL,再證明8F=2OL即可解決問

題.（3）如圖3中，過點。作。K,AC于K,則N￡>KA=NCD4=90。，利用相似三角形的性質(zhì)解決

問題即可.（4）設OG=a,AG=k.分兩種情形：①如圖4中，連接EF,當點F在線段A8上

時，點G在OA上.②如圖5中，當點F在A8的延長線上時，點G在線段OC上，連接EF.分別求

解即可解決問題.

23.（1）解：四邊形ABC。是正方形,

J.AD//BC

:.NDAF=NF,

又AG平分/D4E

：.ZDAF=ZEAF

：.NEAF=NF,

：.EA=EF

又二;1=1,AB=BC=2,

：.BE=EC=\,

在RaABE中，由勾股定理得，EA=標

:.CF=EF-EC=.藍-1

(2)解：?'：EA^EF,EG±AF

：.AG=GF

XVZAGD^ZFGC,ZDAG^ZF

：./\DAG^/\CFG

：.DG=CG,

點G是CO的中點。

②設C￡>=2,則CG=1,

由①知，CF=AD=2

由題意△EGCS^GFC,

【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)可知A￡>〃8C,再利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，可證得NE4F=

NF,利用等角對等邊可證得E4=ER結合已知，利用勾股定理求出E4,EC的長，即可求出CF的長。

(2)①利用等腰三角形的性質(zhì)，可得到AG=GF,再證明AD4G絲△CFG,利用全等三角形的對應邊相等,

可證得。G=CG,即可證得結論；②利用已知條件易證△EGCS^GFC,利用相似三角形的性質(zhì)，求出EC,

BE的長，然后求出CE與BE的比值。

24.(1)解：VZACD=ZB,ZA=ZA

：./\ADC^/\ACB

：.AC2=ADAB

(2)解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AD=BC,/A=/C,

又

AZBFE=ZC,—6分

又,：NFBE=/CBF,

:.ABFES/\BCF,

:.BP=BEBC,

：.BC2=薪5二

趙霆一嗦

：.AD=琴

(3)解：如圖，分別延長EF,0c相交于點G,

D

???四邊形ABC。是菱形，

1

：.AB//DCf/BAC=尚/BAD,

一,

-AC//EF,

??.四邊形AEGC為平行四邊形，

：.AC=EG,CG=AE,NEAC=NG,

1

?：NEDF=焉NBAD,

：.NEDF=NBAC,

：.ZEDF=ZG,

又,：NDEF=NGED,

:.AEDFSAEGD,

：.DE2=EFEG,

y,-：EG=AC=2EF,

：.DEr=2EP,

：.DE=.亞EF,

V..:_&固

乂?孫靖=’BE?

：.DG=圣DF=5亂

：.DC=DG-CG=5杼2

【分析】(1)利用兩個角相等的兩個三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式即可得出結果；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得出AZ>=BC,ZA=ZG再根據(jù)兩個角分別相等的兩個三角形相似求出&BFE

s^BCF,于是由對應邊成比例可得8產(chǎn)=BEBC,則BC的長可求，AD的長也可知；

(3)分別延長EF,OC相交于點G,由兩組對邊分別平行可得四邊形4EGC為平行四邊形，可得△EOF

s^EGD,于是由相似三角形的性質(zhì)得出。序=EF-EG,結合EG=AC=2EF,可得DE車EF,再根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)列式，兩者結合可得求得OG的長，則。C的長可求.

25.(1)證明：-：DF//AE,EF//AD,

四邊形AEFD是平行四邊形.

；四邊形A80C是正方形，

：.OB=OC=AB=AC,NACE=NABD=R".

,:點D,E是OB,OC的中點,

:?CE=BD,

：.△ACEdAAD(SAS),

：.AE=ADt

???必斯。是菱形.

***S&ABD==AB'BD=巳※蝴/0=:售，

國察

S^ODE=二ODOE=，&＞：⑹=疆，

:?S&AED=S正方形ABOC—2S&ABD—S&ODE

=64—2漱1息一8=24,

?'S箜形A￡"￡)=2SAA￡D=48.

(3)解：由圖1,連結Ab與OE相交于點K,易得ZkAOK的兩直角邊之比為1:3.

1)當A尸為菱形一邊時，點。在1軸上方，有圖2、圖3兩種情況：

如圖2,AG與PQ交于點H,

菱形PAQGs菱形ADFE,

.?.△APH的兩直角邊之比為1:3.

過點“作“NJ_x軸于點N,交AC于點M,設

?.?HN〃OQ,點H是尸。的中點，

...點N是。P中點，

:.HN是40PQ的中位線，

：.0N=PN=8—t.

又；N1=N3=9O°-N2,NPNH=NAMH=90°,

：.AHMAs/\PNH,

?MS_1

=-

,,ww?丁

：.HN=3AM=3t,

:.MH=MN-NH=8-3t.

,:PN=3MH,

/.8-Z=3(8-30，解得f=2.

；.O尸=2ON=2(8—。=12,

.?.點P的坐標為(12,0).

如圖3,ZAPH的兩直角邊之比為1:3.

圖3

過點“作H/_Ly軸于點/,過點尸作PN_Lx軸交出于點N,延長3A交/N于點M.

VZ1=Z3=9O°-Z2,ZAMH=ZPNH,

：.△AMHs^HNP,

?國￡=MH.__

,_設

一Ww箏

:.PN=3MH=3t,

：.AM=BM~AB=3tS,

：.HN=3AM=3(3t-S)=9f—24.

又???”/是AOP。的中位線，

???OP=21H,

:.HI=HN,

.,.8+f=9r—24,解得f=4.

O尸=2H/=2(8+f)=24,

二點尸的坐標為(24,0).

2)當AP為菱形一邊時，點。在x軸下方，有圖4、圖5兩種情況:

如圖4,△PQH的兩直角邊之比為1:3.

過點H作HMLy軸于點M,過點P作PNLHM于點、N.

?.?MH是AQAC的中位線，

.才彳》

:.HM=啃~=4.

又；/1=/3=90°—/2,ZHMQ=ZN,

：.4HPNs/\QHM,

.迎_喀_1則吶_」謝_4

-HM'~-F則尸"鏟時一駕’

：.OM=2.

設,HN=t,則MQ=3f.

???MQ=MC,

，3/=8—解得f=

：.OP=MN=4+t=萼，

??.點P的坐標為（萼，0）.

過點“作軸于點M,交AC于點/,過點。作于點N.

???〃/是△ACQ的中位線，

ACQ=2HI,NQ=CI=4.

VZ1=Z3=9O°-Z2,NPMH=/QNH,

:.XPMHSXHNQ,

則M”=LNQ=

冬冬￡

設PM=K則HN=3f,

?：HN=H1,

.*.3z=8+v-,■解?得t=—.

>能

：.OP=OM-PM=QN-PM=^-t=

.?.點P的坐標為（0）.

s

過點“作軸于點M,交AB于點/,過點P作PNLHM于點N.

???”/〃不軸，點”為4尸的中點，

/.A/=/B=4f:.PN=4.

VZ1=Z3=9O°-Z2,NPNH=NQMH=90。,

:ZNHs^HMQ,

.喀西濟西濟1雨⑶丹nHIMHMJd

??sr=sirsir號貝.-Pi,H~

?；///是AABP的中位線，

:.BP=