2021學(xué)年天津市楊柳青一中高二年級(jí)上冊學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

2021學(xué)年天津市楊柳青一中高二上學(xué)上學(xué)期期中考試卷

一、單選題

1.若直線ax+y—a+l=0與直線（a-2）x-3y+a=0垂直，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.—1或3B.1或一3C.一1或一3D.1或3

22

2.已知橢圓上+二=1（m>0）的左焦點(diǎn)為耳（-4,0）,則機(jī)=

25

A.9B.4C.3D.2

3.如圖，空間四邊形ABC。中，E，尸分別是BC,C。的中點(diǎn)，AB+-BC+^-BD=（）

22

A.ADB.FAC.AFD.EF

4.圓x2+y2+4x-4y+7=0與圓（x—iy+（y—4）2=16的位置關(guān)系是（）

A.外切B.內(nèi)切C.相交D.相離

5.笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析兒何之父.據(jù)說在他生病臥床

時(shí)，還在反復(fù)思考一個(gè)問題：通過什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來呢？突然，他看見屋頂

角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，單

位正方體頂點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(―1,—(1,1,1)C.(1,—1,1)D.(―1,—1,—1)

6.過點(diǎn)(-3,2),且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程是()

A,尤+2y+l=0B,x+2y+l=0或2x+3y=0

Cx+2y-l=0D.x+2y—1=0或2x+3y=0

7.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)

有趣的數(shù)學(xué)問題一一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回

到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為3(2,4),若將軍從點(diǎn)

A(—2,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x-2y+8=O,則“將軍飲馬”的最短總路程為()

A.生等B.10C.1072D.4夜

8.已知圓。:(工一1)2+(y一2)2=9上存在四個(gè)點(diǎn)到直線/：%一^+。=。的距離等于2,則實(shí)數(shù)匕范圍是

()

A.(-00,1-572)0(1+572,+00)B.(1-572,1+572)

C.(-8,1—u(l++8)D,—5/2,1+V2j

9.已知圓0：V+y2=4與圓M：x2+y2—2x+4y+4=o相交于A8兩點(diǎn)，直線/：3x+4)，—10=0,

點(diǎn)P在直線/上，點(diǎn)。在圓M上，則下列說法正確的是

①直線的方程為x—2y—4=0；②線段A3的長為迪；③IPQI的最小值是2；④從尸點(diǎn)向圓M引

5

切線，切線長的最小值是2近

10.已知直線/過點(diǎn)A(0,3),且與直線x+y+l=O平行，則/的方程是()

A.%+y—2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0

11.已知空間向量?=(2+1,22,1),^=(6,2,2/n-l),若Z/萬，則實(shí)數(shù)％+〃?=

12.如圖，正方體ABC。-44GA的棱長為2,。是底面A4GA的中心，E是的中點(diǎn)，則向量

I因'I=，點(diǎn)0到直線\E的距離為.

B

2

13.一個(gè)圓經(jīng)過橢圓土+二=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

164

14.化學(xué)中，將構(gòu)成粒子(原子、離子或分子)在空間按一定規(guī)律呈周期性重復(fù)排列構(gòu)成固體物質(zhì)稱為

晶體.在結(jié)構(gòu)化學(xué)中，可將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個(gè)個(gè)包含等同內(nèi)容的基本單位，這個(gè)基本單位叫做晶胞.已知

鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞(其中77原子位于晶胞的中心，口原子均在頂點(diǎn)位置，。原

子位于棱的中點(diǎn)).則圖中原子連線BF與BE所成角的余弦值為

15.直線y=A(x-2)+4,則直線/恒過定點(diǎn)—，與曲線y=i+,4-?僅有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的人的

取值范圍是________.

四、解答題

16.已知直線4：2x-y-l=0和4：x-y+2=0的交點(diǎn)為尸，求：

(1)過點(diǎn)P且與直線4：3x+y-2=0垂直的直線/的方程；

12

(2)以點(diǎn)尸為圓心，且與直線3x+4y+l=0相交所得弦長為二的圓的方程；

(3)從下面①②兩個(gè)問題中選一個(gè)作答，

9

①若直線/過點(diǎn)(1,2),且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為一，求直線/的方程.

2

②求圓心在直線3x-y=0上，與x軸相切，被直線x-y=O截得的弦長2近的圓的方程.

注：如果選擇兩個(gè)問題分別作答，按第一個(gè)計(jì)分.

17.如圖，三棱柱ABC—中，分別是與G上點(diǎn)，且8M=2AM,C|N=28|N.設(shè)

AB=a>AC=b>AA]-c.

3

（1）試用a<b>c表K向量MN!

（2）^ZBAC=90°,ZBA41=ZC441=60°,=AC=A4t=1,求M/V的長.

（3）在（2）的條件下，求MN與AB所成角的余弦值.

18.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。為矩形，直線AF_L平面ABCD,EF//AB,4）=2,

AB=AF=2EF=l，點(diǎn)。在棱。？上.

（1）求證：AD1BF；

（2）若P是DF中點(diǎn)，求異面直線8￡與。尸所成角的余弦值；

（3）若F「=LF力,求二面角。一AP-C的余弦值.

3

19.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A,8距離之比4（4>0,丸。1）是常數(shù)點(diǎn)的軌跡是

一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長為2的正方體

中，點(diǎn)。是正方體的表面AOAA（包括邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足Q4=2P。，

則點(diǎn)P所形成的阿氏圓的半徑為；若E是CO的中點(diǎn)，且正方體的表面AOAA（包括邊界）

上的動(dòng)點(diǎn)F滿足條件ZAPB=ZEPD,則三棱錐F-ACD體積的最大值是.

阿波羅伯斯

4

5

楊柳青一中2021-2022學(xué)年第一學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試卷解析版

一、單選題

1.若直線以+了一。+1=0與直線(a-2)x-3y+a=0垂直，則實(shí)數(shù)”的值為()

A.—1或3B.1或一3C.-1或一3D.1或3

【答案】A

【解析】

【分析】利用兩線垂直的判定有。(。-2)-3=0,求解即可得。的值.

【詳解】由題設(shè)，a(a-2)+lx(-3)=0,即/一24-3=0,解得。=—1或a=3.

當(dāng)。=一1時(shí)，直線分別為％-＞一2=0、3x+3y+l=0,符合題設(shè)；

當(dāng)a=3時(shí)，直線分別為3x+y-2=O、x—3y+3=0,符合題設(shè).

故選：A

2.已知橢圓上+==1(機(jī)＞0)的左焦點(diǎn)為耳(-4,0),則〃?=

25m~

A9B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知焦點(diǎn)在笳軸，所以謝與=黎，第=瞰產(chǎn)，/=：1雄，又因?yàn)?/p>

啾產(chǎn)=患=：3產(chǎn)一￡產(chǎn)=卯，解得甌I=S，故選C.

考點(diǎn)：橢圓的基本性質(zhì)

3.如圖，空間四邊形ABCD中，E，產(chǎn)分別是BC,CO的中點(diǎn)，AB+^-BC+-BD^()

22

A.ADB.FAC-AFD.EF

6

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則即可得出.

【詳解】解：連接Ab，E，尸分別是BC,的中點(diǎn),

貝ij通+g配+3麗=通+3鬧+麗）=麗+麗=獷

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.圓/+;/+4x-4y+7=0與圓（X-1）?+（y-4）2=16的位置關(guān)系是（）

A.外切B.內(nèi)切C.相交D.相離

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得兩個(gè)圓的圓心和半徑，求出圓心距，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系分析即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意知，x2+y2+4x-4y+7=0=＞（x+2）2+（y-2）2=l,圓心為（一2,2）,半徑為1；

（x—I,+（y—4）2=16,圓心為（1，4）,半徑為4,

兩圓的圓心距為：79+4=＞/13,又兩圓半徑之和為5,兩圓半徑之差為3,

因?yàn)?＜舊＜5,所以兩圓相交.

故選：C

5.笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.據(jù)說在他生病臥床

時(shí)，還在反復(fù)思考一個(gè)問題：通過什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來呢？突然，他看見屋頂

角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，單

位正方體頂點(diǎn)A關(guān)于％軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

7

A.(―1,—(1,1,1)C.(1,-1,1)D.(—1,—1,—1)

【答案】B

【解析】

【分析】由圖寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后再利用關(guān)于X軸對稱的點(diǎn)的性質(zhì)寫出對稱點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】由圖可知，點(diǎn)所以點(diǎn)A關(guān)于8軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(LL1).

故選：B.

6.過點(diǎn)(-3,2),且在x軸上截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程是()

A,x+2y+l=0B.x+2y+l=0或2x+3y=0

C.x+2y-l=0D.x+2y-l=0或2x+3y=0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)直線是否過原點(diǎn)進(jìn)行分類討論，結(jié)合截距式求得直線方程.

2

【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y=-一無，即2x+3y=0.

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為二+』=1,代入(一3,2)得二+—=1=＞。=一，

2aa2aa2

所以直線方程為x+2y—l=0.

故選：D

7.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)

有趣的數(shù)學(xué)問題一一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回

到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為8(2,4),若將軍從點(diǎn)

A(—2,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x-2y+8=0,則“將軍飲馬”的最短總路程為()

8

A.警B.10c.10V2D.4A/2

【答案】A

【解析】

【分析】求出點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為A',則可得|AB|即為“將軍飲馬”的最短總路程，求出A'的坐標(biāo),

即可求出.

【詳解】如圖，點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為A',則|4川即為“將軍飲馬”的最短總路程,

a-2八八

--------2x-A+80=0

則《22“22.24

bT,55

------x—=-l

Q+22

22

則2+羽+ly24-44A/65

5

故“將軍飲馬”的最短總路程為生畫

5

故選：A

8.已知圓。:（%—1）2+（丁一2）2=9上存在四個(gè)點(diǎn)到直線/：%一丁+人=。的距離等于2,則實(shí)數(shù)。范圍是

()

)衣)

A.(-00,1-5V2D(1+5+00

)

C.(—00,1--\/2)u(1+,\/2,+8D.—V2,1+5/2j

9

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于1,即求.

【詳解】由C:(x—l『+(y—2『=9知圓心C(l,2),半徑3,

若圓C:(x—l)?+(y—2『=9上存在四個(gè)點(diǎn)到直線/：1-丁+。=0的距離等于2，

則點(diǎn)C到直線=O的距離d<l,

.匕2+耳_-

**,1—yfl<Z?<14-V2-

故選：D.

9.已知圓O：M+y2=4與圓12+,2一2工+4>+4=0相交于48兩點(diǎn)，直線/：3x+4y—10=0,

點(diǎn)P在直線/上，點(diǎn)。在圓M上，則下列說法正確的是

①直線AB的方程為x-2y—4=0；②線段A3的長為漢2；③IPQI的最小值是2；④從尸點(diǎn)向圓M引

5

切線，切線長的最小值是2夜

【答案】①③④

【解析】

【分析】對于①，將兩圓方程相減，即可得到直線AB的方程，進(jìn)而判斷①是否正確；對于②，根據(jù)圓心

到直線的距離公式，利用勾股定理，即可求出結(jié)果，進(jìn)而判斷②是否正確；對于③，利用圓心到直線的距

離減半徑最小，即可求出結(jié)果，進(jìn)而判斷③是否正確；對于④，由勾股定理，可知當(dāng)PM最小時(shí)，切線PN

長的最小值，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出結(jié)果，進(jìn)而判斷④是否正確.

【詳解】對于①，將兩圓方程相減，可得直線AB的方程為x—2y—4=0,故①正確；

對于②，由于圓O：/+丁=4的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為，=2,

Ml4

所以圓心(0,0)到直線A3的距離為"=J?=亍,所以

VI2+22V5

10

=拽，故②錯(cuò)誤;

\AB\=2，尸->2=2.

對于③，圓M：x2+y2—2x+4y+4=0,即（x—17+（y+2了=1,所以圓M的圓心坐標(biāo)為（1，-2）,半

徑為「'=1，所以圓心到直線/的距離為“'=喀二￡1=3,所以|PQ|的最小值是。'―/=3—1=2,故

732+42

③正確;

對于④，從P點(diǎn)向圓〃引切線，設(shè)切點(diǎn)為N,則|PN|=,

所以當(dāng)PM最小時(shí)，切線PN長的最小值，所以當(dāng)直線尸M垂直/時(shí)PM最小，即1PMimin=°'=3,所以

\PN\n.n=二i=2V2.故④正確；

故答案為：①③④.

10.已知直線/過點(diǎn)A（O,3）,且與直線x+y+l=O平行，則/的方程是（）

A.x+y-2=0B.x—y+2-0C.x+y-3-0D.x-y+3=O

【答案】C

【分析】可設(shè)直線/的方程為x+y+m=O,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線/的方程，求出，"的值，即可得出直

線/的方程.

【詳解】因?yàn)橹本€/與直線x+y+l=O,設(shè)直線/的方程為x+y+加=0,

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線/的方程，得3+加=0,解得小=一3,

因此，直線/的方程為x+y-3=0.

故選：C.

11.已知空間向量a=（4+1,24,1）,B=（6,2,2加一1）,若￡//B，則實(shí)數(shù)2+m=

【答案】y

【分析】利用平行列方程，化簡求得“，〃進(jìn)而求得4+m

【詳解】空間兩向量a=（%,y,Z|）與B=（W，%，Z2）平行，

則滿足％%一%2乂=。，%理2—％24=0,y,z2-y2zx=0,

因?yàn)椤?/］，所以￡/=0，即2(2+1)=122,22(2m-l)=2,

11

所以2=(,m-3>故2+，〃=￡.

故答案為：—

12.如圖，正方體ABCD-A與GA的棱長為2,。是底面44cA的中心，E是BC的中點(diǎn)，則向量

，點(diǎn)。到直線4E的距離為.

【答案】①.2五②.1

【解析】

【分析】以。為原點(diǎn)，。4。。，。烏分別為羽丁衣軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求出答案.

【詳解】如圖，以。為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示:

則3(2,2,0),C,(O,2,2),所以1阿卜J(0—2『+(2—2『+(2—0『=20；

又4(2,0,2),0(1,1,2),E(l,2,0),

則V?=(-l,l,0)，4E=(-l,2,-2),

/T7)~A~P\\O-\E1+25/2

則3質(zhì)。型)=畫麗=萬麗=『

又＜4^,胡＞?0,句，所以sin(而，整)=乎，

12

所以點(diǎn)0到直線A|E的距離為|麗卜缶（40,襦）=&又等=1.

故答案為：1.

22

13.一個(gè)圓經(jīng)過橢圓L+工-=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在X軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

164

【答案】口一尹+/弓

【解析】

3

【詳解】設(shè)圓心為（4,0）,則半徑為4一。，則（4—4）2="+22,解得故圓的方程為

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

14.化學(xué)中，將構(gòu)成粒子（原子、離子或分子）在空間按一定規(guī)律呈周期性重復(fù)排列構(gòu)成的固體物質(zhì)稱為

晶體.在結(jié)構(gòu)化學(xué)中，可將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個(gè)個(gè)包含等同內(nèi)容的基本單位，這個(gè)基本單位叫做晶胞.已知

鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中77原子位于晶胞的中心，Ga原子均在頂點(diǎn)位置，。原

子位于棱的中點(diǎn)）.則圖中原子連線B/與瓦E所成角的余弦值為

【答案】:

3

【分析】如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4,￡>。,。2所在的直線分別為乂丁*軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)立

方體的棱長為。，求出cos<XR，耶〉的值，即可得到答案；

【詳解】如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。，4,。。,。9所在的直線分別為乂，*軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)立

13

方體的棱長為a,則B(a,a,0),F(0,g,a),Bt(a,a,a),E(a,^,a),

/.BF=(-a,--,a),B,E=(0,--,0),

22

a2

???cos＜甌庭＞=|4戶=：,連線BF與所成角的余弦值為'故答案為：-

333

15.直線丁=左(％-2)+4,則直線/恒過定點(diǎn)一，與曲線y=i+,4-4僅有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的人的

取值范圍是

②.E，+8)U

【答案】①.(2,4)

【分析】根據(jù)直線點(diǎn)斜式方程求出定點(diǎn)，題中曲線為半圓，數(shù)形結(jié)合判斷直線與它的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到

發(fā)的范圍.

【詳解】解：直線丁=我(工一2)+4恒過點(diǎn)(2,4).

由題知曲線y=l+j4-V即f+(y—l)2=4,表示以(0,1)為圓心，2為半徑的半圓，該半圓位于直線

因?yàn)橹本€與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),

14

由圓心到直線的距離等于半徑得隼芋=2,解得k=9，

,1+二12

4-13

由圖，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(—2,1)時(shí)，直線的斜率為.

2—(—2)4

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(2,1)時(shí)，直線的斜率不存在，

綜上，實(shí)數(shù)攵的取值范圍是女=5二，或左＞3巳，

124

故答案為：(2,4)；(''Tsju｛卷｝

四、解答題

16.已知直線4：2x-y—1=0和《：》一丁+2=0的交點(diǎn)為p,求：

(1)過點(diǎn)尸且與直線4：3x+y-2=0垂直的直線I的方程；

(2)以點(diǎn)P為圓心，且與直線3x+4y+l=0相交所得弦長為藍(lán)的圓的方程；

(3)從下面①②兩個(gè)問題中選一個(gè)作答，

9

①若直線/過點(diǎn)(1,2),且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為一，求直線/的方程.

2

②求圓心在直線3x-y=0上，與x軸相切，被直線x-y=0截得的弦長2s的圓的方程.

注：如果選擇兩個(gè)問題分別作答，按第一個(gè)計(jì)分.

【答案】(1)x-3y+12=0

(2)(x-3)2+(y-5)2=~^-

(3)①x+y-3=0或4x+y-6=0；0(x-l)2+(y-3)2=9^(x+l)2+(y+3)2=9

【解析】

【分析】(1)聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)已根據(jù)兩直線垂直，斜率相乘等于一1得直線斜率，即可根據(jù)直線

點(diǎn)斜式方程求得直線方程；

(2)根據(jù)垂徑定理求圓的弦長，列出方程解答；

(3)①：用截距式方程求解；②：由直線和圓的位置關(guān)系和圓的弦長公式求解.

【小問1詳解】

15

2x-y-l=0x=3

由，\c八，解得：1fP（3,5）,

x-y+2=0b=5

,11

與4垂直，.?./的斜率上=一1=§,

故過點(diǎn)尸且與直線4：3無+y-2=0垂直的直線/的方程為y—5=gx(x—3),

即x-3y+12=0；

【小問2詳解】

19+20+11

P(3,5)到直線3》+4丫+1=0的距離為1==6

>/32+42

12

，半徑戶=/+(1_)2=62+(；,936

~^5

936

...圓的方程為。-3)2+0-5)2

~25

【小問3詳解】

9

①設(shè)過點(diǎn)(1,2)且與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成三角形面積為一的直線的斜率為A,k<0,

2

可得它的方程為y_2=?x-l),即依_y_4+2=0,

k-2

它與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(0,2-A),(——,0),

K

Ib-29

由一?(2—左)《~--=彳可得女=-1或左=—4，

2k2

當(dāng)人=一1時(shí)，它的方程為x+y-3=0；

當(dāng)左=-4時(shí)，4x+y-6=0

綜上所述，直線/的方程為：x+y-3=0或4x+y-6=0

②設(shè)圓心為(a,3a),與x軸相切則廠=|3aI,

圓心到直線的距離為d=啜，；.(手)2+乎=9".?.4=±1,r=3.1圓心為(1,3)或(T,-3)

.??圓的方程為(x_l)2+(y_3)2=9或(x+l)2+(y+3)2=9.

16

17.如圖，三棱柱ABC-中，M,N分別是上的點(diǎn)，且3M=2AM,qN=2與N.設(shè)

AB—a>AC=b>AAj=c.

（1）試用a，h>c表示向量MN；

（2）ZBAC=90°,=ZCAA,=60°,AB=AC=AA,=1求MN的長.

（3）在（2）的條件下，求MN與48所成角的余弦值.

【答案】（DMN=-a+-b+-c（2）叵（3）一旦

3333一而

【分析】（1）利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.

（3）在（2）的條件，利用向量的夾角公式即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

解：⑴=++QV

1—._2_

--BA{+AC+—CB

=_那+;福+正+|（正碼

=-AB+-AA+-AC,

33’3

又AB=a，AC=b（AA|=c>MN=—a+—b+—c.

【小問2詳解】

解：?.?AB=AC=A4）=1,；.W=W=H=1.

???N84C=90°,二￡%=0.=60°,

17

——\2]/—a2+h~+c+2a?/?+2a?c+2力?c)=-,=旦

...網(wǎng)貨Q+/?+C)=—

3

【小問3詳解】

解：：48=44+g8=5—5

22

???|布|=加一司2=J<'a+c-2a-c=J1+1—2xg=1

y.MN=—a+—b+—c

333

i-i廠i-1

-a+-b+-c(a-c)

333

cM麗科二箴篇.410.

——xl

3T

18.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABC。為矩形，直線AF_L平面ABC。，EF//AB,AQ=2,

AB=AF=2EF=l^點(diǎn)戶在棱。產(chǎn)上.

(1)求證：AD±BF；

(2)若一是OF的中點(diǎn)，求異面直線3E與CP所成角的余弦值；

(3)若麗=1而，求二面角。一AP—C的余弦值.

3

【答案】(1)證明見解析；(2)生5；(3)旦.

153

【解析】

【分析】(D先推導(dǎo)出Af_LAr),AD1.AB，從而A￡>J_平面他防，即可證明

(2)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AE所在直線分別為x,y,z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.利用向

量法求解即可；

18

(3)利用向量法求解即可

【詳解】(1)平面ABC。，

:.AF1AD，

\AD±AB,AFoAB^A,

.?.49,平面ABEF,

又?；BFu平面4肥產(chǎn)，

：.AD±BF.

(2)-.-AF±AB，AF1AD，AD±AB^

以｛為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，所在

直線分別為x,y，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.

則6(1,0,0),*，0』［，心,1,；)，C(l，2,0)，

2

設(shè)異面直線3E與CP所成的角為。,

\BE-CP\475

/.cos0=-.―.---------

\BE\\CP\15

???異面直線BE與CP所成角的余弦值為生叵

15

(3)QAB_L平面ADE，二平面A￡>/一個(gè)法向量為，=(1,0,0).

?.?可=g而，.?.點(diǎn)P為ED的三等分點(diǎn)且此時(shí)尸(°，g，|

___/221

在平面APC中，麗=0,-,-,麻?=(1,2,0).

\33)

_2y+2z=0

y=-z

設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為4=(x,y,z),貝叫33，所以《

x=-2yf

x+2y=0

-I網(wǎng),〃2瓜

令z=-l，則區(qū)=(一2,1,-1).，卜05<，,個(gè)卜麗一