狹義相對論的兩個基本原理

狹義相對論的兩個基本原理

理論包括狹義理論和廣義理論。愛因斯坦于1905年在光速不變原理和相對性原理的基礎上建立了狹義相對論。迄今,所有物理學(除引力)的基本定律都可以建立在狹義相對論的基礎上,其結論都與實驗符合。在所研究對象的運動速度遠小于真空中的光速(低速近似)的極限情況下,狹義相對論物理學就與非相對論物理學一致。在非低速近似情況下的科學技術,都必須考慮狹義相對論效應。在引力的影響必須考慮的情況下,可利用牛頓萬有引力定律作為近似;在非近似情況下,就要利用愛因斯坦于1915年建立的廣義相對論。牛頓萬有引力定律不服從狹義相對論,與狹義相對論一致的引力理論,或者說,在相對慣性系作加速運動的非慣性系統(tǒng)中的相對論,就是廣義相對論,其結論都與實驗符合。除去引力的影響,廣義相對論就歸結為狹義相對論。在狹義相對論中,三維空間間隔和一維時間間隔各自對不同的慣性系的觀察者都不再是不變的量。狹義相對論中的時空是平直時空,其中的“事件”由四維坐標描述。四維時空間隔在洛侖茲變換下保持不變,還保證了相對論中因果關系繼續(xù)成立。這使得能在整個時空間上建立一個整體慣性系(四維平直時空),時空特性則由偽歐基里德幾何描述。偽歐基里德幾何與歐基里德幾何在時間坐標與空間坐標的表示上有所不同。所有慣性系的時間坐標和空間坐標之間以洛侖茲變換相聯(lián)系。洛侖茲變換是光速不變原理的數(shù)學表示。它描述任意兩個相對作勻速直線運動的慣性系之間的變換關系。狹義相對論的基礎,包括狹義相對論的基本概念和基本原理,四維平直時空度規(guī),時間和空間與運動的相互聯(lián)系,四維時間間隔的不變性,狹義相對論中的因果關系,作用量原理的物理實質,時空對稱性與守恒定律的關系,物質、運動與時空間的關系等一些方面,本文依次作概要的討論,最后略述與狹義相對論基礎相關的近來關于超光速與光停下來的實驗和議論。1狹義相對論的基本物理定律在一定的問題中,可將研究對象簡化為質點:有質量而無大小的點。質點的質量用m表示。此處“無大小”是指其尺度接近普朗克空間尺度。所有復雜體系一般可看作由一些有相互作用的質點所組成。質點在任何時候任何情況下都具有波動和粒子二象性。在不同情況下,有時(如在所謂宏觀情況下)以粒子性為主,有時(如在所謂微觀情況下)以波動性為主。宏觀與微觀的分界通常取原子大小的尺度(10-10m)。另一種說法是以包含普朗克常數(shù)的項在所研究的問題中是(宏觀)否(微觀)可忽略為依據(jù)。慣性系是自由質點在其中保持靜止或作勻速直線運動的參考系。自由質點是指所受合外力為零的質點。慣性系也可用時空特性來定義:慣性系是具有空間均勻性、時間均勻性以及空間各向同性的系統(tǒng)。質心參考系(簡稱C系)為相對系統(tǒng)整體(質心)為靜止的參考系,C系中的量帶下腳標“?！薄嶒炇覅⒖枷?簡稱L系)為相對C系沿x軸負向以速率v作勻速運動的參考系,L系中的量不帶腳標。在L系中,系統(tǒng)的速率v也就是L系中系統(tǒng)的粒子的平均速率,而在C系中,系統(tǒng)的粒子的平均速率為零。C系與L系的空間和時間坐標軸分別對應平行,而且設兩系在各自選定的初始時刻原點重合。物理量是與測量單位相聯(lián)系的。物理定律在不同的單位制中的表述形式不同。但是,這種差別只與一些常數(shù)有關。對于粒子體系,為單值地確定一個體系的位置所必需的獨立量的數(shù)目s稱為該體系的自由度數(shù)。對于場,采用位形空間的維數(shù)的一半為其自由度數(shù)。對于克萊因-高登場,在每一個空間點有一個自由度;對于引力場,在每一個空間點有兩個自由度。狹義相對論物理學以下列兩個原理(假設)為基礎:(1)光速不變原理:真空中的光速既不依賴于光源的運動,也不依賴于接收器的運動,在所有慣性系中,它具有相同的數(shù)值。(2)相對性原理:空間是均勻及各向同性的。時間是均勻的。在所有慣性系中,基本物理定律可寫為相同的形式。愛因斯坦于1905年在上述兩個基本假設(表述略有不同)的基礎上建立狹義相對論。迄今,所有物理學(除引力)的基本定律都可以建立在狹義相對論的基礎上。2洛侖茲度規(guī)張量的時空特性狹義相對論中的平直時空中的一個“事件”由四維坐標xμ=(xi,ct)描述,其中上角標希臘字母μ分別取1,2,3,0;而上角標拉丁字母i分別取1,2,3,表示空間分量;角標0表示時間分量(另一種等效的表示方法是在時間分量前面引入虛數(shù)單位)。每一個事件也只定義到普朗克尺度。在這種意義上,時空是由事件組成的光滑(連續(xù)可微)流形。時間間隔和空間距離“趨于零”均理解為趨于普朗克尺度。對于一個沒有內部結構的、質量m全部集中在質心的質點,它的位置可以用時間-空間坐標表示為坐標(又稱逆變)四矢xμ=(x1,x2,x3,x0)=(xi,ct)(2.1)其對偶坐標四矢,又稱坐標協(xié)變矢量,表示為xv=(x1x2x3x0)=ηνμxμxμ=ημνxvημν=ημν}(2.2)其中,上、下指標均取1,2,3,0。括號中的量稱為矢量的分量。洛侖茲度規(guī)張量的元素為常數(shù),它們不依賴于時空坐標,這說明該張量的元素在時空間中處處具有相同的值,因此,它描述的時空是整體平直時空。在數(shù)學上,將對角元素均為(+1),而非對角元素均為零的度規(guī)張量所描述的幾何稱為歐基里德幾何;這里的度規(guī)張量有一個對角元素為(-1),稱為偽歐基里德幾何。狹義相對論物理學都在平直時空中討論,都使用偽歐基里德幾何。這使得能在整個時空間上建立一個整體慣性系,時空特性則由偽歐基里德幾何描述。所有慣性系之間以洛侖茲變換相聯(lián)系。3長度與時間的洛倫茲變換洛侖茲變換是光速不變原理的數(shù)學表示。它描述任意兩個相對作勻速直線運動的慣性系之間的變換關系。3.1在l系中的事件由洛侖茲變換,兩個事件(1和2)在兩個慣性系中的時間坐標的關系分別為t′1=γ(t1+uc2x1)t′1=γ(t2+uc2x2)}(3.1)在L′系中,這兩個事件的時間間隔為Δt′=γ(Δt′+uc2Δx).(3.2)設同一個慣性系中的所有的鐘構造相同且都已校準。如果一個靜止于L系中的鐘(L′認為它是運動的鐘)的兩個不同的時刻對應于所討論的這兩個事件,則在L系中它們應有相同的空間坐標,于是上式成為Δt′=γΔt(3.3)這說明,在L′系看來,運動的鐘變慢。3.2慢不同的時率由(3.2)式看出,L′系中的時間間隔與L系中的空間間隔和時間間隔都有關。例如,分別靜止于這兩個慣性系中的兩個鐘,它們的快慢不同,即“時率”不同,需要校準。由(3.1)式看出,L′系中的時間與L系中的空間位置和時間都有關。例如,靜止于L系中的不同地點的一系列鐘,都同時指示零點時,在L′系看來,處于L系中不同地點的鐘指示一系列不同的時刻。“時差”不同,需要校準。由此看來,處于不同慣性系中的鐘存在“時率”和“時差”的不同,需要校準。由上列兩式可以計算出這些差別,因此,時鐘的校準是可能的。3.3有“3.2”式和3.5有一種說法認為,在L′系看來,L系的鐘是運動的鐘,因而變慢,如(3.3)式所示;同理,在L系看來,L′系的鐘是運動的鐘,應有Δt=γΔt′.(3.4)將(3.3)式代入(3.4)式,則Δt=γ2Δt.(3.5)因此,只要這兩個慣性系之間的相對運動速度v不等于零,(3.5)式就是矛盾的。這種說法的錯誤在于,只要v不等于零,(3.3)式和(3.4)式就不能同時成立。事實上,對于一個靜止于L系中的鐘(L′認為它是運動的鐘),才有(3.3)式;同理,對于一個靜止于L′系中的鐘(L認為它是運動的鐘),才有(3.4)式。當v不等于零時,靜止于L系中的鐘不可能在L′中也是靜止。因此,(3.5)式不成立。這就是所謂的“時鐘佯謬”,即關于相對論中時鐘問題的虛假的荒謬。3.4兩個事件在l系中的同時發(fā)生由(3.2)式,只有兩個事件在L系中同時(Δt=0)而且同地(Δx=0)發(fā)生,在L′系中才是同時(Δt′=0)發(fā)生。兩個事件在L系中同時但不同地發(fā)生,則在L′系中不是同時發(fā)生。同理,兩個事件在L′系中同時而且同地發(fā)生,在L系中才是同時發(fā)生;兩個事件在L′系中同時但不同地發(fā)生,則在L系中不是同時發(fā)生。在一個慣性系中同時發(fā)生的兩個事件,在另一個慣性系中認為不一定是同時發(fā)生。這就是相對論中的“同時的相對性”。一般來說,兩個事件在不同慣性系中發(fā)生的先后次序有可能顛倒。例如,由(3.2)式,在L系中Δt>0,在L′系中有可能Δt′<0。反之亦然。但是,有因果關系的兩個事件的先后次序是不可能顛倒的?？傊?在相對論中,不同慣性系中“同時”的概念具有相對性,但是因果關系將仍然有效。3.5-vt2由洛侖茲變換,兩個事件(1和2)在兩個慣性系中沿相對運動方向的空間坐標的關系分別為x′1=γ(x1-vt1)x′2=γ(x2-vt2)}(3.6)在L′系中,這兩個事件的空間間隔為Δx′=γ(Δx-vΔt).(3.7)設同一個慣性系中所有的尺構造相同且都已校準。如果一個靜止于L系中的尺(L′認為它是運動的尺)的起點和終點對應于所討論的這兩個事件,則在L系中它們應有相同的時間坐標,于是(3.7)式成為Δx′=γΔx.(3.8)這說明,在L′系看來,運動的尺縮短了。3.6v不等于l系中的尺與2x.3.在相對論中,對于運動的尺縮短,也有一種說法,認為在L′系看來,L系的尺是運動的尺,因而縮短,如(3.8)所示;同理,在L系看來,L′系的尺是運動的尺,因此應有Δx=γΔx′.(3.9)將(3.8)式代入(3.9)式,則Δx=γ2Δx.(3.10)因此,只要這兩個慣性系之間的相對運動速度v不等于零,(3.10)式就是矛盾的。這種說法的錯誤在于,只要v不等于零,(3.8)式和(3.9)式就不能同時成立。事實上,對于一個靜止于L系中的尺(L′認為它是運動的尺),才有(3.8)式;同理,對于一個靜止于L′系中的尺(L認為它是運動的尺),才有(3.9)式。當v不等于零時,靜止于L系中的尺不可能在L′中也靜止。尺的起點和終點在L系中是兩個不同的空間點,它們是同時的;但是在L′系中,它們不是同時的。因此,(3.10)式不成立。這就是所謂的“長度佯謬”,即關于相對論中長度問題的虛假的荒謬。3.7光譜線的多普勒紅移公式由洛侖茲變換,可得兩個不同慣性系中光譜線的頻率之間(當忽略高次無窮小項時)的下列變換關系f′=f(1-u/c).(3.11)這就是光譜線的多普勒紅移公式。4不均勻空間間隔4.1固有時微商的形成在狹義相對論中,三維空間間隔和一維時間間隔各自對不同的慣性系的觀察者都不再是不變的量。例如運動的尺縮和鐘慢。因而有必要定義四維時空中的不變量:時空間隔(space-timeinterval)ds2=dxμdxμ=ημvdxμdxv=dx′μdx′μ=ds′2.(4.1)其中帶“′”的量與不帶“′”的量分別為在兩個相對作勻速直線運動的慣性系中的坐標。容易驗證,時空間隔對各個不同的慣性系來講是一個“不變量”,即時空間隔在洛侖茲變換下保持不變。實際上,(4.1)式是狹義相對論的光速不變原理的數(shù)學表示。從后面因果關系一節(jié)的討論還可看出,時空間隔在洛侖茲變換下保持不變,還保證了相對論中因果關系繼續(xù)成立。在C系中,即在與系統(tǒng)“共動”的慣性系中,所測得的時間稱為固有時,用字母τ表示。即ds2=-c2dτ2=-c2(1-v2c2)dt2dt=γdτ}(4.2)由于時空間隔是不變量,所以固有時間隔也是不變量。因此,所有四維矢量對固有時的微商構成四維矢量。例如由四維坐標矢量對固有時的微商構成四維速度,由四維速度對固有時的微商構成四維加速度等。4.2質量與能量的關系系統(tǒng)的四維速度定義為uμ=dxμdτ=γ(v,0,0,c).(4.3)顯然有uμuμ=-c2=-1.(4.4)這也說明四維速度是類時矢量。若在C系中,系統(tǒng)的質量為M0,能量為E0,三維動量為G0,則在L系中,系統(tǒng)的四維動量矢量(與四維動量密度矢量只相差一個相乘的常數(shù)因子——固有體積V0,對于單位固有體積元,整體量與密度量均)為pμ=Μ0uμ=γ(Μ0v,0,0,E0/c)=(G,0,0,E/C)G=γG0E=γE0?E0=Μ0c2}(4.5)顯然有pμpμ=-M02c2=G2-E2/c2.(4.6)由此看出,四維動量是四維類時矢量。(4.6)式將三維動量、能量和靜止質量聯(lián)系起來。由(4.5)式與(4.6)式可得出,在任何慣性系中E=Mc2,M=γM0.(4.7)這是著名的質量-能量聯(lián)系關系。由于光速是一個普適恒量,因此,在相對論中,質量與能量在本質上是相同的物理概念。這個關系為原子核能的釋放奠定了理論基礎。在一定條件下,當質量為M的原子核分裂為一些質量為M(i)的碎片時,或一些質量為M(i)的粒子聚合為一個質量為M的原子核時,有與“質量虧損”相對應的能量釋放。質量虧損為ΔΜ=±[Μ-∑iΜ(i)].(4.8)四維加速度定義為aμ=duμdτ,(4.9)而且容易證明四維加速度與四維速度是“正交”的,即aμuμ=0.(4.10)4.3兩式相除法v根據(jù)洛侖茲變換,在L′系中一個運動的粒子經(jīng)過兩個無限靠近的事件之間的空間間隔為dx′=γ(dx+vdt).(4.11)它們之間的時間間隔為dt′=γ(dt+vc2dx).(4.12)兩式相除得v′=v+u1+vuc2v′=dx′dt′u=dxdt}(4.13)其中v′是粒子在L′系中的速度,u是粒子在L系中的速度,v是兩系之間的相對速度。這就是相對論性的速度合成法則。(1)當這些速度都比光速小很多,以至上式的分母可近似看作1時,則得到v′=v+u,即非相對論性的速度合成法則。(2)當這些速度中有一個是光速時,合速度均為光速。這保證了光速作為極限速度的地位,即任何速度不可能超過光速。對于逆變換,(4.13)式中負號改為正號,以上仍為正確。4.4狹義相對論中的能量在L系中,觀察者以速度v運動,所研究的體系以速度u運動,觀察者所測得的體系的能量定義為E=-vμpμpμ=Μ0γ(u,c)=γ(Μ0u,E0/c)vμ=11-v2/c2(v,c)}(4.14)這是一個在狹義相對論中普遍適用的能量的定義。一個重要的特殊情況是,當觀察者與體系一道運動時,即v=u時,也即觀察者與體系相對靜止時,顯然E0應是觀察者所測得的體系的能量。這一結果可從(4.14)式立即得到。另一個重要的特殊情況是,在觀察者為靜止的慣性系L′中,若體系相對觀察者的速度為v′,觀察者所測得的體系的能量為E′=γ′E0,γ′=1/1-v′2/c2.(4.15)這是(4.14)式的直接結果。而且可以驗算,(4.15)式中的相對速度v′滿足相對論速度合成法則(4.13)式。這在物理上是理所當然的。當觀察者相對L系為靜止,則v′=u,因此得到能量的洛侖茲變換關系。5類空類光式在時空中,任意兩個事件之間的關系不外下述三類:類時(timelike)、類空(spacelike)和類光(lightlike),它們分別對應于時空間隔的平方小于、大于和等于零。由于(4.1)式,這三種關系具有洛侖茲變換不變性。即若兩個事件在某一個慣性系中是類空(類時或類光)的,則它們在一切慣性系中都是類空(類時或類光)的。由于(4.2)式,具有類時關系的兩個事件可以小于光速的信號相聯(lián)系;具有類光關系的兩個事件可以等于光速的信號相聯(lián)系;因此,具有類時或類光關系的兩個事件之間(原則上)可能有因果聯(lián)系。類似地,也可以說具有類空關系的兩個事件可以“大于光速”的信號相聯(lián)系。但是,由于在自然界還沒有發(fā)現(xiàn)任何信號可以大于光速的速度傳遞,因此,具有類空關系的兩個事件之間不可能有因果關系。在相對論中,“同時”具有相對性,它依賴于觀察者與被觀察的對象之間的相對運動。具有類空關系的兩個事件發(fā)生的先后次序可以顛倒,但是,這并不違背因果關系。因為“具有類空關系的兩個事件之間不可能有因果關系”,所以沒有因果關系的兩個事件發(fā)生的先后次序顛倒不違背因果關系。另一方面,由洛侖茲變換可以驗證,具有類時或類光關系(即可能存在因果關系)的兩個事件發(fā)生的先后次序不可能顛倒。這是遵從因果關系的。綜上所述,在狹義相對論中,雖然“同時”具有相對性,具有類空關系(即不可能存在因果關系)的兩個事件發(fā)生的先后次序也可以顛倒,但是,并沒有因此破壞因果關系。因果關系仍然有效。6劑量原理6.1經(jīng)典的路徑演化普朗克反應除了相對論的兩個基本原理,本文還將費曼(Feymann)的路徑積分思想作為作用量原理的物理基礎。這樣做的理由是現(xiàn)代的一些教材和讀物使用路徑積分思想。以微分幾何的語言來說,相對論中的時空是光滑的四維流形(manifold),它可看作是事件的集合,也可看作是線匯(congruence)的集合。在線匯中,曲線不相交。一個事件一定在線匯中的一條曲線上。過任一事件有且只有一條線匯中的曲線通過。另以方面,同一時空間可以不同的方式劃分為不同的線匯的集合。當考慮到事件的普朗克尺度時,線匯中的曲線也應該具有普朗克尺度。相對論物理學(包括相對論量子力學)認為:在時空中任何兩個事件之間可能有無窮多條連接它們的路徑(路徑可以相交,從一個事件出發(fā)有許多可能的路徑,許多可能的路徑也可以會聚于一個事件,各種可能的路徑可看作是各種線匯集所組成的子集族)。每一個事件可以與一個物理狀態(tài)相聯(lián)系。物理過程可以看作從一個物理狀態(tài)向另一個物理狀態(tài)的演化。每一條路徑可以與一種可能的演化方式相聯(lián)系。經(jīng)典的演化(當不考慮經(jīng)典混沌時)對應眾多的可能路徑中的一條,而量子的演化以各種幾率與可能的路徑相聯(lián)系。一般來講,沿各條路徑演化的可能性由幾率描寫。設一條路徑的某一段對幾率的貢獻由一個指數(shù)函數(shù)來描寫,并設各段路徑對振幅的貢獻相同,而對相位的貢獻不同。每一段貢獻的相位與經(jīng)典作用量I成正比。作用量以普朗克常數(shù)為單位來量度。如某一路徑的某一段的貢獻(以角標i來標志)為ρi=ρ0exp(-iIi/η).(6.1)每一條路徑對幾率的貢獻等于此路徑各段貢獻相乘,因此作用量相加。從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)演化的幾率等于這兩個狀態(tài)之間所有可能演化路徑的幾率(振幅相同,但相位可能不同)之和。路徑,在三維空間中對應于位置移動的軌跡;在四維時空中對應一條世界線。在其他描述狀態(tài)的抽象空間(稱為位形空間)中,狀態(tài)與代表點對應,路徑對應于演化過程。在經(jīng)典情況下,以普朗克常數(shù)為單位的作用量是一個很大的數(shù)。相鄰路徑的相位差使得它們的貢獻急劇改變符號而相互抵消。只有在作用量取極值處的附近,作用量變化很小,才有凈的貢獻。因此,在經(jīng)典情況下,作用量的極值對應的經(jīng)典路徑具有特別的重要性。它表示經(jīng)典物理狀態(tài)單一的真實演化的路徑。6.2從四維時空事件的時間新解為以后作準備,我們先討論時空間的分葉。利用四維速度和度規(guī)張量可以構成所謂的“空間投影算符”pμv=ημv+uμuv,(6.2)利用四維速度矢量和空間投影算符可將任何一個四維矢量Fμ分解為類時和類空兩部分,Fμ=fuμ+fμf=-uvFvfμ=ΡμvFv}(6.3)前面已指出,四維速度是類時矢量,因此(6.3)式中第一式右邊第一項為類時,第二項為類空。用這樣的方法,可以將四維時空的類時部分用參量t(稱為時間)進行參量化,任何一個與參量t對應的三維類空超曲面就是t這個時刻的空間,稱為t的“同時”三維超曲面。這樣,四維時空間分葉為無窮多個三維類空超曲面的族,或者說,時空間是三維類空超曲面的集合。因此,時空間既可以說是(0維的)事件的集合,也可以說是(1維的)線匯的集合,還可以說是(3維的)類空超曲面的集合。時空間是以時間為參量的三維類空超曲面的集合,相當于重新將時空間分解為時間和空間。這種分解,一方面方便于不同慣性系的描述,另一方面方便于推廣到非慣性系的描述。6.3拉格朗日函數(shù)和密度量一個物理系統(tǒng)的狀態(tài)由拉格朗日(Lagrange)函數(shù)L(四維坐標和四維速度的函數(shù))描寫,設系統(tǒng)由位形空間中確定的事件A對應的狀態(tài)演化為確定的事件B對應的狀態(tài),則定義作用量I為沿任意連接A和B的路徑的積分I=∫BALdt.(6.4)對A和B之間的不同路徑,積分的結果可能不同。對應真實的經(jīng)典演化過程的路徑使I取極值,即作用量的變分應為零δI=0.(6.5)這就是作用量原理。當A和B足夠接近時,I取最小值。一般情況下,I為極值即可。I應該是洛侖茲變換下的不變量。由時間間隔與固有時間隔之間的關系,可知拉格朗日函數(shù)不是洛侖茲變換下的不變量:L=L0/γ,(6.6)其中,L0為共動系中的拉格朗日函數(shù)?，F(xiàn)在引入密度量。密度量在相對論物理學中具有基本重要性。引入拉格朗日函數(shù)密度(簡稱拉格朗日密度)將作用量(6.4)式改寫為I=∫λdtdV=∫λdt0dV0=∫λdΩ.(6.7)容易驗證,上式中的拉格朗日密度和四維體積分元都是洛侖茲變換下的不變量。6.4拉格朗日方程的求解將作用量(6.7)式變分,即將拉格朗日密度分別對四維坐標和四維速度變分,注意到A與B是兩個固定點,在該處,對位置的變分應為零(因而分部積分積出的項為零);還由于作用量原理對任意的坐標變分元應該成立,則得到該物理系統(tǒng)的任何一個單位體積元的運動方程:ddτ(?λ?uμ)-?λ?xμ=0.(6.8)這就是相對論性拉格朗日方程。它在任何慣性系中都成立。四維力密度和四維動量密度定義如下:fμ=?λ?xμ,Ρμ=?λ?uμ.(6.9)(拉格朗日密度是不變量這個事實保證了它們都是四維矢量)。將(6.9)式代入(6.8)式,拉格朗日方程(6.8)式成為fμ=dpμdτ.(6.10)(6.8)與(6.10)兩式都是洛侖茲協(xié)變的。需要強調指出,如果(6.9)式中的四維坐標的三個空間分量是空間平動坐標,則四維力密度的三個空間分量是力密度的分量,四維速度的三個空間分量是線速度的分量,四維動量密度的三個空間分量是線動量密度的分量;如果四維坐標的三個空間分量是空間轉動坐標,則四維力密度的三個空間分量是力矩密度的分量,四維速度的三個空間分量是角速度的分量,四維動量密度的三個空間分量是角動量密度的分量。至于第四分量,可以看出:四維坐標的第四分量是時間,四維速度的第四分量是光速,四維動量密度的第四分量是能量密度,四維力密度的第四分量是功率密度。(6.10)式說明:線動量密度的時間變化率等于力密度;角動量密度的時間變化率等于力矩密度;能量密度的時間變化率等于功率。四維動量和四維動量密度的定義方式是不同的:四維動量矢量是從四維速度矢量定義的;四維動量密度矢量是從拉格朗日密度定義的。體積不是洛侖茲不變量。四維動量矢量和四維動量密度矢量都是四維矢量,都服從洛侖茲變換。原來,四維矢量和四維密度矢量之間是以固有體積相聯(lián)系的,因此本文在符號上未將它們區(qū)別,只在上下文中給予說明。6.5拉格朗日方程的拉格朗日方程,拉格朗日方程為—哈密頓方程一個物理系統(tǒng)的任意單位體積元的狀態(tài)也可以由哈密頓(Hamilton)密度H(四維坐標和四維動量密度的函數(shù))描寫:H(xμ,pμ)=pμuμ-λ(xμ,uμ).(6.11)由(6.11)式及拉格朗日方程可得?Η?pμ=uμ,?Η?xμ=-dpμdτ=-fμ.(6.12)這就是相對論性哈密頓方程。它是洛侖茲協(xié)變的。無論是從數(shù)學方面看還是從物理方面看,一個二階的拉格朗日方程與兩個一階的哈密頓方程本質上是等效的,對初始條件的要求也是相同的。在解決具體問題時,二者各有其長。6.6哈密頓-雅帳篷若考慮變分是沿真實路徑(因而滿足拉格朗日方程,也當然滿足哈密頓方程),起點固定而終點變化,即變分是對終點的坐標進行,僅留下的是分部積分積出的項在變化的終點的值:δΙ=-pμδxμpμ=-?Ι/?xμ}(6.13)由(4.6)式,則有ημv?Ι?xμ?Ι?xv=-Μ0c2.(6.14)這就是相對論性的哈密頓-雅可比方程。它是洛侖茲協(xié)變的。7時空對測和固定順序的影響7.1洛侖茲協(xié)變式7.2如果時空間具有均勻性,則時空間中的物理系統(tǒng)的狀態(tài)將不直接依賴于時空坐標,即?λ?xμ=0(7.1)而且,它是洛侖茲協(xié)變的。由(6.9)式中的第一式,這就是四維力密度為零。由拉格朗日方程可得dpμdτ=0(7.2)這就是由時空間的均勻性導出的四維動量密度守恒定律的一般形式。它是洛侖茲協(xié)變的。(7.2)式是四個等式,其中,三個空間分量的等式對應動量(包括線動量和角動量)密度守恒,時間分量的等式對應能量密度守恒。如果時空間只在某一個坐標方向具有均勻性,即若四維力密度的某個分量為零,則四維動量密度在該方向的分量是守恒的。時空間的均勻性包含三方面的內容:空間平動的均勻性,空間轉動的均勻性和時間平移的均勻性?？臻g轉動的均勻性就是空間各向同性。在這里“均勻性”,“不變性”和“對稱性”可以通用。這可概括為“時空間的均勻性”。但是,這里的時間的對稱性不包括時間反演對稱性。由時空間的均勻性導出的守恒定律也包含三方面的內容:線動量密度守恒、角動量密度守恒以及能量密度守恒。動量包括線動量和角動量,能量是四維動量的第四分量,因此可概括地說“四維動量密度守恒”。這種看法的一個問題是,角動量的洛侖茲變換關系不平常。結論是:守恒定律與對稱性相關,四維時空間的均勻性導出四維動量密度守恒。7.2維動量密度在時空中的每一個事件處,有一個四維動量-應力張量。它包含該處所有形式的物質和場(除引力場)的四維動量和應力。四維動量-應力張量由下式定義:Tμv=pμuv-δμvλ.(7.3)它是對稱張量。將四維動量-應力張量對四維坐標取偏微商后縮并,由(7.3)式及(6.9)式得?Τμv?xv≡Τμv,v=-δμv?λ?xv=-fμ=-dpμdτ.(7.4)當四維力密度為零,即若(7.1)式成立,則得Τμv,v=-dpμdτ=0.(7.5)這就是相對論性的四維動量密度守恒定律。它是洛侖茲協(xié)變的。顯然,它就是(7.2)式。下面指出四維動量-應力張量的各個分量的物理意義。四維動量-應力張量與四維速度縮并的結果給出該處的四維動量密度:Tμvuv=T0μ=dpμ/dV.(7.6)其中,V為三維空間的體積。動量-應力張量與四維速度縮并兩次后給出能量密度:Tμvuμuv=T00=ρ.(7.7)動量-應力張量的空間-空間分量Tij是動量-應力張量與兩個類空單位坐標基矢量縮并的結果。它們是作用于單位面積(其法線沿j方向)上的力的i方向分量,稱為動量流密度或應力。時間-空間分量為能量流密度。時間-時間分量為能量密度。例如,理想流體的能量-動量-應力張量為Tμv=(ρ+p)uμ