2021祁陽高一年級下冊期末統(tǒng)考試題

學(xué)期綜合測評

時(shí)間：120分鐘憾滿分：150分

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.設(shè)復(fù)數(shù)z=e(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

2i2i(l-i)2i(l-i)_

解析-：z=——=―5=l+i,?,.其對應(yīng)的點(diǎn)(1』)位于第一

象限.故選A.

2.某學(xué)校有高中學(xué)生1000人，其中高一年級、高二年級、高三年級的人數(shù)

分別為320,300,380.為調(diào)查學(xué)生參加“社區(qū)志愿服務(wù)”的意向，現(xiàn)采用比例分配的

分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為100的樣本，那么應(yīng)抽取高二年級學(xué)生

的人數(shù)為()

A.68B.38

C.32D.30

答案D

解析由題意可得，比例分配的分層隨機(jī)抽樣在各層中的抽樣比為揣=春.

則應(yīng)抽取高二年級學(xué)生的人數(shù)為300X京=30.故選D.

3.已知。=(2,-3),b=(l,-2),且cla,bc=l,則c的坐標(biāo)為()

A.(3,-2)B.(3,2)

C.(-3,-2)D.(-3,2)

答案C

2x-3y=0,

解析設(shè)c=（x,y）,則由cla,"c=l可得1

x-2y=1.

_3

解得.:‘所以c=（-3,-2）,故選C.

y=-2.

4.從某校高三年級隨機(jī)抽取一個(gè)班，對該班50名學(xué)生在普通高校招生體檢

中的視力情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示，若某專業(yè)對視力要

求在0.9及以上，則該班學(xué)生中能報(bào)該專業(yè)的人數(shù)為（）

［頻率/組距

1.75.................

L

(7>150

OS.5O

625

°”0：30.50.70.91.1L31.5視力

A.10B.20

C.8D.16

答案B

解析由頻率分布直方圖，可得視力在0.9及以上的頻率為（1.00+0.75+

0.25）X0.2=0.4,人數(shù)為0.4X50=20.故選B.

5.已知底面邊長為1,側(cè)棱長為也的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則

該球的體積為（）

32TI卜，

AA.-“B.4兀

一4兀

C.2兀D.

答案D

解析因?yàn)檎睦庵母黜旤c(diǎn)均在同一球面上，所以該正四棱柱的體對角線

即為球的直徑.由題意可得該正四棱柱的體對角線長為〃七+12+（/）2=2.所以

4兀

球的半徑為L所以該球的體積為m?故選D.

6.甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，兩人都隨機(jī)出拳，則一次

游戲兩人平局的概率為（）

2

1-

A-33

B,

12

D.-

4-9

答案A

解析甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，所以可能出現(xiàn)的結(jié)果

列表如下:

錘剪子包袱

錘（錘,錘）（錘,剪子）（錘，包袱）

剪子（剪子，錘）（剪子，剪子）（剪子，包袱）

包袱（包袱，錘）（包袱，剪子）（包袱，包袱）

因?yàn)橛杀砀窨芍灿?種等可能情況.其中平局的有3種：（錘，錘），（剪

31

子，剪子），（包袱，包袱）.設(shè)事件A為“甲和乙平局”，則P（A）=g=f

7.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為dc.若△ABC的面積為S,

且a=l,4S=〃+c2-1,則A=（）

答案B

解析由余弦定理，得b2+C2-a2=2bccosA,又a=I,所以b2+c2-\=

2bccosA,又S=1csinA,4s=Z?2+c2-1,所以有4xgbcsirtA=2bccosA,即sinA=

7T

cosA,又OVAVTI,所以A=a.故選B.

8.正方體ABC。-48GOi中，直線AO與平面ABC所成角的正弦值為

（）

A.|B.當(dāng)

C.坐D.坐

答案C

解析如圖所示，正方體中，直線A。與SG平行，則直

線AD與平面A1G所成角的正弦值即為BiC,與平面A1BG所成角的正弦值.因

為△4BG為等邊三角形，則Bi在平面A\BC\上的投影即為△AiBG的中心0,

則NBCO為BiCi與平面AiBG所成角.可設(shè)正方體邊長為1,顯然8。=坐X啦

=坐，因此BIO=N1一（半J=坐，則Sin/3|C1O=俳5=坐

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得3分）

9.某校高一年級15個(gè)班參加朗誦比賽的得分如下：

9189909294879396918589

93889893

則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說法中正確的是（）

A.第60百分位數(shù)為92.5

B.第60百分位數(shù)為92

C.第90百分位數(shù)為95

D.第90百分位數(shù)為96

答案AD

解析將這組數(shù)據(jù)由小到大排列為

85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,93,93,94,96,98.因?yàn)?5X60%=9,15X90%=13.5,所

92+93

以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為=92.5,第90百分位數(shù)為96.故選AD.

10.下面四個(gè)命題中的真命題是（）

A.若復(fù)數(shù)z滿足!€R,則z€R

B.若復(fù)數(shù)z滿足Z2￡R,則Z€R

C.若復(fù)數(shù)z€R,貝IJ56R

D.若復(fù)數(shù)Zi,Z2滿足Z1Z2CR,則Z|=?2

答案AC

11a-bi1

解析對于A,不妨設(shè)z=a+"（a"不同時(shí)為0）,則==力?=二立若二€

/ClIZ/lCl\U乙

R,貝"8=0且aWO.從而z=a€R,所以A是真命題；對于B,也不妨設(shè)2=。+

bi,貝”22=（。+〃）2=4—/+24例.若226口，貝IJ4=0或〃=0.而當(dāng)4=0,且8#0

時(shí)，z=MR,所以B不是真命題；對于C,也不妨設(shè)z=a+bi,則5=a-機(jī)若

z€R,貝IJ〃=0.從而5€R,所以C是真命題；對于D,不妨設(shè)zi=m+加i,z2=

a2+bzi,則zizi=（t?i+。日）（。2+匕2。=ais—"必+（。必2+若ziZ2€R,則a\bi

+aib\=0.滿足該等式的不一定有="2且為=-bi,所以zi=z2不一定成立，

所以D不是真命題.故選AC.

H.為比較甲，乙兩地某月14時(shí)的氣溫，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5

天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)制成統(tǒng)計(jì)表如下：

編號

溫度（℃）12345

地區(qū)

甲2629283131

乙2830312932

從表中能得到的結(jié)論有（）

A.甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫

B.甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫

C.甲地該月14時(shí)氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時(shí)氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差

D.甲地該月14時(shí)氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差

答案AD

解析甲地該月5天14時(shí)的平均氣溫為;X(26+28+29+31+31)=29,乙

地該月5天14時(shí)的平均氣溫為3(28+29+30+31+32)=30,故可得甲地該月

14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫；甲地該月5天14時(shí)溫度的方差

為s帝=]義[(26—29)2+(28-29/+(29—29)2+(31—29)2+(31—29月=3.6；乙地

該月5天14時(shí)溫度的方差為[(28-30)2+(29-30)2+(30-30)2+(31-30)2

+(32-30)2]=2,故可得甲地該月14時(shí)氣溫的方差大于乙地該月14時(shí)氣溫的方

差，所以甲地該月14時(shí)氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.

12.如圖，正方體ABC。-481cl。的棱長為1,線段BA上有兩個(gè)動點(diǎn)E,

F,且瓦則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.ACA.AF

B.EFIIABCD

C.三棱錐A-8Eb的體積為定值

D.△AEF的面積與△BEF的面積相等

答案AD

解析對于A,因?yàn)锳C18。，而BDIIBiDi,所以AClBQi,即AC1EF,

若AC1AF,則AC1平面AER即可得AC1AE,由圖分析顯然不成立，故A不

正確；對于B,因?yàn)镋FIIBD,ERI平面ABC。，BOU平面ABC。，所以EF//平

^ABCD,故B正確；對于C,V4_BEF=|XSABEFX|AC=|X|X￡FXBBIX|AC

=-^XEFXBBIXAC,所以體積是定值，故C正確；對于D,設(shè)辦出的中點(diǎn)是O,

點(diǎn)A到直線EF的距離是AO,而點(diǎn)B到直線EF的距離是BB.,所以A。＞BB\,

S^EF=^XEFXAO,S^EF=^XEFXBBI,所以△4￡：戶的面積與的面積不

相等，D不正確.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線

±)

13.已知向量a=(x,2),6=(2,1),c=(3,x),若allb,貝J-+c|=.

答案56

解析因?yàn)閍/lb,所以x-2X2=0,解得x=4,

則"c=(2,1)+(3,4)=(5,5),所以步+c|=5隹

14.已知三棱錐P—ABC,若如1平面ABC,PA=AB=AC=BC,則異面直

線P8與AC所成角的余弦值為一.

答案申

解析過8作8。//AC,且8D=AC,連接AD,則四邊形AOBC為菱形，

如圖所示，(或其補(bǔ)角)即為異面直線P3與AC所成角.]^PA=AB=AC

=BC=a,：.AD=a,BD=VI平面ABC,:.PB=PD*+AD?=?,

p

PB1+BD2-PD12a2+a2-2a26

???cos/PB-2XPBXBD=2X也X“'?異面直線網(wǎng)與以所

成角的余弦值為坐.

15.甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別為040.5,0.8,若只

有1人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為02,若2人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為

0.6,若3人擊中，則飛機(jī)一定被擊落，則飛機(jī)被擊落的概率為一.

答案0.492

解析設(shè)甲、乙、丙三人擊中飛機(jī)為事件A,B,C,依題意，A,B,C相互

獨(dú)立，故所求事件概率為P=[P(ABC)+P(^BC)+P(^^Q]XQ.2+[P(AB^)

+P(ABC)+尸(ABC)]X0.6+P(ABC)=(0.4X0.5X0.2+0.6X0.5X0.2+

0.6X0.5X0.8)X0.2+(0.4X0.5X0.2+0.6X0.5X0.8+0.4X0.5X0.8)X0.6+

0.4X0.5X0.8=0.492.

16.在△ABC中，AABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)。在線段AC上，若/

BDC=45。,貝;cosZABD=.(本題第一空2分，第二空3分)

y12^27A/2

答案母dr

解析在△A8O中，由正弦定理得，

A

K

B1---------乂

ABBD

sin/A。片sinNBA/'

而A8=4,AADB=135°,

AC=\）AB2+BC2=5,

BC3

sin/8AC=恁=5，

cosZBAC=^=1,所以80=^

71717A/2

cosZABD=cos（ZBDC-ZBAC）=cos^cosZBAC+sinjsinZBAC=-j0.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟）

17.體小題滿分10分）已知a,b,c是同一平面的三個(gè)向量，其中a=（1,?。?

⑴若|c|=4,且c//%求c的坐標(biāo)；

（2）若網(wǎng)=1,且（a+5）—求a與方的夾角a

解（1）因?yàn)閏//a,所以存在實(shí)數(shù)"AWR）,

使得c=〃=（%,小入）,

又期=4,即由2+3*=4,解得丸=±2.

所以c=(2,2#)或c=(-2,-2?

(2)因?yàn)?a+5)1

所以（。+

即a2-3ib-=0,

351

所以4一gX2X1Xcos。-2=0,所以COS8=2，

7T

因?yàn)?。€[0,7i],所以。=不

18.(本小題滿分12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

C=l，a=2,△ABC的面積為小，F(xiàn)為邊AC上一點(diǎn).

⑴求c；

(2)BCF=yflBF,求sin/B/C.

I1兀

解⑴因?yàn)?加inC=]X2Z?Xsinx=，5,所以b=2小.由余弦定理可

得c2=6F2+/?2-2ahcosC=4+12-2X2X2\[3Xcos^=4,所以c=2.

7T2兀

(2)由(1)得a=c=2,所以4=0=不Z^BC=7r-A-C=y.

CFBF

在△BCb中，由正弦定理，得sinNC5F=sinN8b'

sin6CF

所以sinNCBF=F7

又因?yàn)镃F=^BF,所以sinNCBF=*,

2兀7C

又因?yàn)镹CBbW不，所以NCB/=不

71兀)啦+加

所以sin/BFC=sin(ZCBF+ZBCF)=sin[j+=

-4~

19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面出81平面ABCD,

BC”平面FAD,ZABC=90°,PA=PB=^AB.

求證：（1）AO//平面PBC；

⑵平面P8CJ_平面PAD.

證明（1）；8。//平面出。，而3CU平面ABC。,

平面ABCDA平面PAD=AD,

：.BCIIAD.

???AOQ平面PBC,3CU平面PBC,

：.ADII平面PBC.

（,2）-：PA=PB=當(dāng)AB,滿足%2+PB2=AB2,

：.PA]_PB.

由/ABC=90。知BCLAB.

又,平面平面ABC。，

平面也BA平面ABC。=AB,BCU平面ABC。，

??.BC1平面PAB.

又,.,7%u平面RLB,「.BCl鞏.

又丫PBCBC=B,PBU平面PBC,BCU平面PBC,

.?.抬，平面PBC

又,:/%U平面PAD,

平面PBC,平面PAD.

20.（本小題滿分12分）某集團(tuán)公司為了加強(qiáng)企業(yè)管理，樹立企業(yè)形象，考慮

在公司內(nèi)部對遲到現(xiàn)象進(jìn)行處罰，現(xiàn)在員工中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處

罰時(shí)，有80人遲到，處罰時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：

處罰金額以單位：元）50100150200

遲到的人數(shù)y5040200

若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.

(I)當(dāng)處罰金額定為100元時(shí)，員工遲到的概率會比不進(jìn)行處罰時(shí)降低多少?

(2)將選取的200人中會遲到的員工分為A,B兩類：A類員工在罰金不超過

100元時(shí)就會改正行為：8類是其他員工.現(xiàn)對A類與3類員工按比例分配的分

層隨機(jī)抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷，則前兩位均為B類員工的概率是

多少？

401

解⑴設(shè)“當(dāng)罰金定為100元時(shí)，某員工遲到”為事件A,貝1]2(4)=麗=彳

8()2

不處罰時(shí)，某員工遲到的概率為而=亍

當(dāng)罰金定為100元時(shí)，員工遲到的概率會比不進(jìn)行處罰時(shí)降低土

(2)由題意知，A類員工和8類員工各有40人，分別從A類員工和8類員工

各抽出兩人，

設(shè)從A類員工抽出的兩人分別為4,A2,從3類員工抽出的兩人分別為囪，

良,

設(shè)“從A類與B類員工按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行

深度問卷”為事件M,

則事件M中首先抽出Ai的基本事件有(Ai,A2,BI,&),(Ai,A2,&,B,),

(Ai,Bi,Ai,Bi),(Ai,B\,B2,A2),(Ai,B2,Ai,Bi),(4,B2,B\,A2),共

6種，

同理，首先抽出A2,BI,反的事件也各有6種，故事件M共有4義6=24(種)

基本事件，

設(shè)“抽取4人中前兩位均為B類員工”為事件N,則事件N有(8,&,4,

4),(Bi,&,4,Ai),(&,Bi,Ai,Ai),(&,B\,A2,A,),共4種基本事件,

-41

抽取4人中前兩位均為B類員工的概率是今

21.(本小題滿分12分)某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識，面向全市征召義務(wù)

宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組:第1組［20,25),

第2組［25,30),第3組［30,35),第4組［35,40),第5組［40,45］,得到的頻率分布

直方圖如圖所示.

(1)若從第3,4,5組中用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6名志愿者參

加廣場的宣傳活動，應(yīng)從第3,4,5組各抽取多少名志愿者？

(2)在⑴的條件下，該市決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳

經(jīng)驗(yàn)，求第5組志愿者被抽中的概率.

解⑴第3組的人數(shù)為0.3X100=30,

第4組的人數(shù)為0.2X100=20,第5組的人數(shù)為0.1X100