小學(xué)幾何解題全套43大定理

幾何解題定理庫數(shù)學(xué)高手解題定理庫 3定理1共邊模型 3定理2鳥頭模型 10定理3蝴蝶模型 17定理4燕尾模型 25定理5沙漏模型 36定理6梅涅勞斯定理（梅氏線） 48定理7塞瓦定理（賽瓦點） 52定理8格點面積公式（皮克公式） 54定理9構(gòu)造新底新高巧求面積（萬底公式） 55定理10阿基米德折弦定理 56定理11圓冪定理 65定理12巴布斯定理（中線定理） 67定理13斯庫頓定理 68定理14費馬點 69定理16古堡朝圣問題 75定理17四點共圓 78定理18阿波羅尼定理 83定理19三角形中線長定理 84定理20廣義勾股定理 85定理21三角形高線長定理 86定理22三角形內(nèi)、外角平分線模型、角平分線長定理 87定理23托勒密定理 88定理24清宮定理 91定理25西姆松定理（西姆松線） 92定理26九點圓 93定理27莫利定理（摩萊三角形） 94定理28蝴蝶定理 95定理29正弦定理、余弦定理 97定理30斯特瓦爾特（Stewart）定理 99定理31歐拉（Euler）線 102定理32歐拉（Euler）定理 106定理33海倫公式 107定理34密格爾（Miquel）點 108定理35葛爾剛（Gergonne）點 109定理36帕普斯（Pappus）定理 110定理37笛沙格（Desargues）定理 111定理38帕斯卡（Paskal）定理 112定理39阿波羅尼斯（Apollonius）圓 113定理40布拉美古塔（Brahmagupta）定理 114定理41張角定理 115定理42雞爪定理 116定理43牛頓線定理 1171共邊模型等積模型共邊模型一半模型燕尾模型ABCD10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米？原圖 圖11GCABCD圖中的E、F、G分別是正方形ABCD三條邊的三等分點，H是任意點。如果正方形的邊長是12，那么陰影部分的面積是 。解析：S1S

1S3 3BCH 3

6正方形SABH

SCDH

3

S2

2

S2

1S6

正方形S陰影

S2S3

3

48如圖，正方形的邊長為10，四邊形EFGH的面積為5，那么陰影部分的面積是 。解析：S陰影SF5SIBF5SJCFSIBF101101010240⑴如圖，ABFECDEFAB4BC3原圖 圖2解析：2是原圖的等效圖：

4362⑵一個長方形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占長方形面積的15%，黃色三角形面積是21c解析：根據(jù)一半模型得：黃色與綠色面積和占整個長方形面積的一半。S長方形

2150%15%

60cm2如圖，正方形ABCD的邊長為6，AE＝1.5，CF＝2。長方形EFGH的面積為 。EFGH的面積為ΔDEF2倍.S陰影S正方形SADESBEFSDF361631491262216.5

2 2 2 2 如圖，已知BD＝DC，EC＝2AE，三角形ABC的面積是30，求陰影部分面積。 解析：設(shè)SCDF

x,S

y，則S

BDF

x,S

AEF

1y2SSBCE

2xy230203 3SACDx2y

1301522x3y302x3y30x7.5S

xy12.5y5 陰影2鳥頭模型精點1. 鳥頭定理（共角定理）模型幾何模型概述兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形結(jié)論及證明結(jié)論：SADESABCADAEAB ACADAE 小小夾角兩邊： ABAC 大大證明：SABCSADE1ABCG2 1ADEF2ABAD1EFABAD1AEACABACADAEABC180DBCADAE3EFBF3AEF【分析】鳥頭定理或共邊模型22.5cm2S 3S

311S

1S 18022.5cm2AEF 4ABE

4 3ABD

4 3

ABC

8ABC 8如圖，在∠MON的兩邊上分別有A、C、E及B、D、F六個點，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面積都等于1，則△DCF的面積等于 .【分析】比例模型3【答案】4【解答】由題意得：SOCDSOABSABCSBCD3S S S 4 OD4OD4DFSODC4ODESOEF

SODE

CDE3SDEF53

OF 5

SDCFSDCF

4

ODC4如DDBE＝＝C已陰部分積為5平厘△BC的積 方厘米?！痉治觥盔B頭模型【答案】30平方厘米【解答】SADE

ADAE111SABCSADFSABC

ABACADAFABAC

2 32

611 3

S 1S 5S 30陰影 6ABC ABC⑴如圖在△ABC中，D、EAB，ACAD∶AB=2∶5，AE∶AC=4∶7，△ADE的16平方厘米，求△ABC的面積。【分析】鳥頭模型【答案】70【解答】SADE

ADAE248頭 SABC

ABAC 5 7 35即16SABC

8，即S35

ABC

70ABCDABBABCCBCDDCDAAD（如下圖所示）ABCD1ABCD的面積為多少？【分析】鳥頭模型【答案】5【解答】連接BD，根據(jù)鳥頭模型，可得SAA'D'12SABD2SABDS

2SSCC'B'

12S

CC'B'

四邊形ABCDACSDC'D'SBA'B'2S四邊形ABCDS 'S '''四邊形ABCD

5S四邊形ABCD5面積是12平方厘米，求△ABC的面積?！痉治觥盔B頭模型【答案】50【解答】嘴SADE

ADAE236頭SABC SABC

ABAC 5 5 25即12SABC

6，即S25

ABC

50已知△DEF7平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC的面積?！痉治觥盔B頭模型【答案】24【解答】SBDE

BDBE111SABC

ABBC 3 2 6SADF6

ADAF121SDEF

11137S

7

24SABC

ABAC 4

68S 68S

6 6 8

ABC 7SCEF

CECF313 24SABC

BCAC 4 2 一只小鳥ABC，后來長成大鳥XYZ了。AB先長出一倍到X；BC再長出兩倍到Y(jié)；CA再長出三倍到Z；問大鳥是小鳥面積的幾倍?【分析】鳥頭模型【答案】18倍【解答】SABC

BCAB111S

3S SBXY

BYBX 31

BXY

ABCSABC

BCAC111S

8S

S 6S

18SSCYZ

CYCZ 2 4

XYZ

ABC

ABC

ABC

ABC

ABCSABC

ABAC111S

6SSAXZ

AXAZ 2 3

AXZ

ABC長方形ABCD120，EFADG、H、IDC四等分點，陰影面積是多大？【分析】比例模型【答案】15【解答】

1 1 3 1S陰影S1S23SADI

34SACD

60154如右圖，過平行四邊形ABCDEF、GH，若△PBD8求平行四邊形PHCFPGAE【分析】“都增加一個定量”【答案】16【解答】S四邊形PBCDS四邊形ABPD16SPHCFSAEPG163蝴蝶模型幾何模型概述任意四邊形中的比例關(guān)系梯形中比例關(guān)系結(jié)論及證明S1 S4 DO（1） .S2 S3 OBS2S1AO.S3 S4 OC（2） S1S3S2S4.AO S1S2（3） .OC S3S4BOS2S3.OD S1S4S a2（1） 1 .S b23（2） S：S：S：Sa2:b2:ab:ab.1 3 2 4ab ab（） S2S4a2b22abS梯形ab2S梯形證明：S3CObSaS.S OA a 2 b32S b2 a23 S S.S a2 1 b2 312S:S:S:SaS:S:aS:aS1 3 2 4 b2 3 3b3b 3a2:b2:ab:ab.（） S的對應(yīng)份數(shù)為ab2.如下圖所示，在梯形ABCD中，AB//CD，對角線AC，BD相交于點O.已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD4OAB【分析】蝴蝶模型25【答案】16【解答】

a2:b2:ab:ab1 2 3 4b2

b 2

52 25S3a2b2ababSab

S 35

416 如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對角線AC、BD分成四個部分，△AOB面積為1平方千米，△BOC2平方千米，△COD36.92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【分析】共邊模型【答案】0.58平方千米【解答】BOSAOB

SBOC

2S

1.5平方千米S

1.50.920.58平方千米CD

AOD

SCOD 3

AOD

人工湖如下圖，梯形ABCDABCD，對角線AC，BDO，已知△AOB與△BOC2535ABCD【分析】蝴蝶定理【答案】144【解答】SAODSBOC35由共邊模型得，AOSAOB

255OC SBOC

35 7同理可得：AOSAOD

5

35

144OC S

7 SCOD

COD如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為 平方厘米?！痉治觥亢Ｐ?、一半模型【答案】9【解答】S EO2 2 EO2

EO 1根據(jù)蝴蝶模型：EOF

,所以 SCOD

OC

8 OC

OC 2根據(jù)比例模型：SEOFEO1,即S 4SCOF

OC

COFSDOESCOF4SADES四邊形ADOESDOE54112S矩形ABCDSADESCEFSBCF即1216SBCFSBCF5如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為 ?！痉治觥亢Ｐ汀敬鸢浮?6【解答】S1三角形1的面積，S3三角形3的面積S1S336 S1S3

4S55 3

SS11S1

5S41

36S1

16如圖所示，BD、CFABCD4DEF5CED10平方厘米。問：四邊形ABEF【分析】蝴蝶模型、一半模型【答案】25【解答】SBEFSCDE10EFSDEF

51,CE SCDE

10 2EFSBEF

1 10

20CE

1

2 SBCE

BCE2S矩形ABCDSCDFSABF201015SABFSABF15S四邊形ABEFSABFSBEF151025舉一反三：如圖，BD、CF將長方形ABCD分成4塊，紅色三角形面積是4平方厘米，黃色三角形面6【分析】蝴蝶模型【答案】11平行四面形ABCDAC、BDO。E是ADFABCEBDM，CFBDN【分析】比例模型1【答案】3【解答】連接OE、OFON易證：NB

OM1MD 2ODOBOMON,即MN1BD3S

11S

1SMNC 3BCD

3 2平行四邊形

6平行四邊形S陰影

3

平行四邊形如下圖，在梯形ABCDCDCD＝2AB，點E、FADBC四邊形EMFN54ABCD 【分析】蝴蝶模型【答案】210【解答】

2 9a2AB a 2

Sb

4

9S

3 3a32a3a

1 ab2， 32

ABFE

25a249

ABFE 25

ABFEEF

2 32a

SS2a3a

a22 2223a2a2

a24 49a24

9SEFCD 49

EFCD2 2S h 5

ABFESEFCD

2 2a3a 7 2 h22SABFE5kSEFCD7k9 9S1S2255k497k54kk5 7

6k35235S梯形ABCD5k7k12k122

2104燕尾模型結(jié)論：SACESBCE結(jié)論：

ADBD證法一1ADEHSADE

2 AD

證法（二）SBDE

1BDEH BD2

1BD1BD

h1 SACE

SADESADC2

1 2AD又SADESBDEDEAF2 AF1DEBG BG2

SBCE

SBDE

SBDC

BDh1h22AFBG

ADBD

1CEAF又SACE

2 AFSBCE

1CEBG BG2SBCE

ADBD典例1如下圖所示，在△ABC中，E是BC上一點，E:C1，D是AE的中點，F(xiàn)是直線D與AC的交點，則AF:FC . 【分析】燕尾模型【答案】342個燕尾SABD

BE3SACD

EC 1SABD3x，SACDxSBDE3x，SCDExAFSABD3FC SBCD 4典例2如下圖所示，在△ABC中，BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么△ABC的面積是陰影三角形面積的 倍.【分析】燕尾模型【答案】7【解答】SABH

12SACH 2SABH2SBCH 1

4SBCH:SABH:SACH

1:2:4SABH

2S7ABC同理可證：SACG

SBCI

7

ABCSGHI

7

ABC即SABC7SGHI3GAG、BG、CGBC、AC、AB邊于點D，E，F(xiàn).若三角形AFG，CEG，BDG，CDG之面積分別為126，280，270，360.請問三角形ABC之面積為多少？【分析】燕尾模型【答案】1365【解答】126x2703 280y126x270360

360 y280

4126x

y140x1899y4SABC2703602801891401261365典例4在下圖中，三角形ABC是直角三角形，已知AB=BC=14且BE=BD=6，請問圖中陰影部分的面積是多少？【分析】燕尾模型196【答案】5【解答】SABF

63SACFS

8 4

S :S :S 3:3:4S 4S ABF BCF ACF 陰影 10 ABC

1414

196

63

5 2 5SACF

8 4典例5下面兩幅圖中，一個是風(fēng)箏模型，一個是燕尾模型，我們來看看它們之間有什么聯(lián)系。已知在下面兩幅圖中，△ABD15，△ACD20，△CDE10BDE的面積。【分析】比例模型【答案】7.5；7.5【解答】（1）

15SBDES

7.520

BDE（2）

15SBDES

7.520

BDE6BD=3DC,EC=2AE,BEADO,則△ABC4部分面積各占△ABC面積的幾分之幾？ 【分析】燕尾模型1360【解答】

SAOB

3S10

ABC SAOB

1 3 6 3 SBOC

26

SBOC10

SABC

5SABC SAOB3SAOC 1

SBODS S 3S

4SBOC

34 3

SABC

9SABC920又S

AOC

1S10

OCD 20ABC ABCS 11S 1SAOE

310

ABC

30ABCSOECD

1310

9120

13607ABC1，BD=2DC，CE=2AE，ADBEF4部分的面積各是多少? 【分析】燕尾模型27【解答】SABF2

SABF

2SACF 1

S2 2

7

2 248SABFSBCF

12

4

SBCF

47

SBDF

3 7 21S 1S

111S

212ACF 7

AEF

3 7

3 7 21SCEFD

421

2221 78如圖，△ABC中，BD:DC=2:3，AE:EC=5:3,AF:FB=?【分析】燕尾模型52【解答】SABG

210SACGSABGSBCG

353

15S106

:SABG

:SACG

6:10:15SBCG

6S31

ABC

AFSACG

15315SACG

1531SABC

SBCG 6 2319如圖在ABCDCDB

EAEC

FBFA

1，求2

GHI的面積ABC的面積

的值。 【分析】燕尾模型17BGSABG

24SACG 1SACG2SBCG 1

2 2S 7S 7同理可證：S

ABH

SBCI

SACG

7

ABCSGHI

7

ABCSGHI1SABC 71如圖，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形GHI的面積是1，求三角形ABC的面積.【分析】燕尾模型【答案】19BG略10如圖，△ABC中，GAC的中點，D、E、F是邊上的四等分點，ADBGM，AF與BGN，已知△AMN1，求△ABC的面積.【分析】燕尾模型358【解答】MSABM

1S5ABC3NSABN7SABCSAMN

3181SABC 71SABC835

5 35358【挑戰(zhàn)題】如圖，三角形ABC的面積是1，BD=DE=EC，CF=FG=GA，三角形ABC被分成9部分，請求出中心四邊形的面積.【分析】燕尾模型970【解答】 H為結(jié)點，易算出S3K為結(jié)點，易算出S3

ABH512ABK712SAHK

7

35;SAGK

1213 7 212I為結(jié)點，易算出SABI7SBIH

217

35;SBDI313

1213 7 21J為結(jié)點，易算出SABJ2SHIJK

113392 5 35 35 705沙漏模型沙漏模型OECDOF ABOEOE CDEF h ABCD平行線分線段成比例定理lll

，如圖所示，求證：ABEF1 2 3

BC DE證明：SABESBEFSBCESBDESABESBCE

SBEFSBDE1ABEG2 1BCEG2ABEF

1EFBH2 1DEBH2BC DE引申：求證ACDFBC DEAB1EF1BC DEABBCEFDEBC DEACDFBC DEAB EF同理可證： ,AC DF：，，上上上下下下下全全全全：，，平行線分線段成比例定理推導(dǎo)AB已知，ACF中，BECF,求證：BC

AEEF解析：從運動變化角度證明沙漏模型推導(dǎo)證明：易證AGIJAJIGCI

CIBCLMAJAJCI

IG AB KLKLLMKLh

AJCIAJ15242個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃。那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？【分析】要求最大三角形的面積是多少，先求出較大的兩個三角形的面積是多少，較大的兩個三角形的面積和是526739平方厘米；根據(jù)三角形等高，面積比即三角形底邊的比，然后根據(jù)按比例分配知識進行解答即可.【答案】21公頃【解答】左下角兩個較小的三角形的面積比為6:7，因為這兩個三角形等高，所以底邊的比也為6:7，所以75267

21公頃典例2四邊形ABDCEGF與CD相交于H,已知CH:H=12,

SBCH

6,ABEFD【分析】考察沙漏模型、蝴蝶模型【答案】3【解答】SGHFSBCH6SBDHSDFH

SBCGSCFH

6

6SCFHSCFHSCDF

363916CE2CE3SABEFD

3663949.523ABCD10EADF為CEGBF中BDG的面積．【分析】考察比例模型【答案】6.25cm2【解答】S 陰 2

BDF

1S2

SBCF

SCDF

1S

2

2

CDE1502512.56.25cm224ABCD120平方厘米，EAB的中點，F(xiàn)BC的中點，四邊形BGHF的面積是多少平方厘米？【分析】沙漏模型【答案】14CEDAM點S CF2 12 1

SDHM

DM

4 16CFFH

1S

11606DM HD

5DCF 5 2如圖，S

23324

212020S12

BGHF

206145DBC的中點，ECD的中點，F(xiàn)ACADG的面積比EFG6ABC的面積是多少？【分析】比例模型48cm2【解答】E是CD的中點，F(xiàn)是AC的中點SADESACESDEFSCEFSAEFSDEFSADE設(shè)S

12x,即x

1x6S

12S

1248cm2DEF

x6 2

ADE

ABC 14典例6如下圖所示，將邊長8厘米和12厘米的兩個長方形并放在一起，那么圖形中陰影三角形的面積是 平方厘米.【分析】沙漏模型216【答案】5【解答】h1123h2

812

23

365S 11236216陰2 5 5【挑戰(zhàn)題】7如圖，ABCD72平方厘米，E、FAB、BC的中點．則圖形中陰影部分的面積為多少平方厘米? 【分析】沙漏模型【答案】48【解答】M、NAC72SADC72236平方厘米，SADM

SDMN

SDNC

3

ADC

13612平方厘米3SAEM

SNFC

2

ADM

1126平方厘米272126648平方厘米8ABCDE，F(xiàn)BC、CDABCD60，求陰影部分面積.G、HBD的三等分點，SAHG

1S3

ABD

1S6

109ABCFABAF=2FBEBCD是平行四邊形，那么FD:EFBEF1ABC的面積是多少？FD AF由沙漏模型得 2EF FBSADF4SADF

AFAD4SABC

AB AC 9SABC9習(xí)題如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的長度是多少？ABCD4FC=10

148如圖，DE平行BC,若AD:DB=2:3，那么SADE:SECB .由金字塔模型AD:AB=AE:AC=DE:BC=2：(2+3)=2：5，SADE:SABC22:524:25,SADE4SABC25SBEC255315份，SADESECB4151右圖中正方形的面積為1，E、FAB、BD的中點，GC=3

FC，求陰影部分的面積。 FHBCH，GIBCI。CI:CH=CG:CF=1：3，CH=HBCI:CB=1:6，BI:BC=（6-1）：6=5:6，SBGE

1155.2 2 6 24ABCD4，F(xiàn)BC邊的中點，E是DC邊上的點，且DE:EC=1：3，AFBEGSABG.法一：連接AE，延長AF，DC兩條線交于點M，構(gòu)造出兩個沙漏，AB:CM=BF:FC=1：1CM=4，據(jù)題意有CE=3，再據(jù)沙漏有GB:GE=AB:EM=4:7，SABG

4

,SABE

444232.11 11AE,EF，SABF4224,SAEF4441232247,SABFSAEFBGGE47,SABG

4

,SABE

444232.11 11ABCD中，EAD的中點，AFBE、BDG、H，OEADE，AFOAH=5cm，HF=3cmAG.由于AB平行DF，利用沙漏模型可得AB:DF=AH:HE=5：3，EADOE:FD=1:2，3AB:OE=5：2

=10：3，利用沙漏模型可以得到AG：GO=AB:OE=10：3，1AO=2

1534(cm)，2AG=41013

4013

(cm)。

ABC

DEFGMNPQBCAD=DF=FM=MP=PB ADE AFG SADE:S四邊形DEGF:S四邊形FGNM:S四邊形MNQP: ADE AFG 設(shè)S 1份，S :S AD2:AF21:4，因此S 4份，進而有S四邊形DEFG3S四邊形FGNM5S四邊形MNQP7S四邊形PQCB9份。SADE:S四邊形DEGF:S四邊形FGNM:S四邊形MNQP:S四邊形PQCB1:3:5:7:9如圖:MNBCSMPN:SBCP49，AM=4cmBM的長度.SMPN:SBCP49MN:BC=2：3，在金字塔模型中有：AM:AB=MN:BC=2：3AM=4cm，AB=4236cmBM=6-4=2cm如圖在ABCDEFG，G、FBC上，D、EAB，AC上，AH是ABC邊BC的高，交DEM，DG:DE=1:2，BC=12厘米，AH=8厘米，求長方形的長和寬。1、觀察圖中有金字塔模型5個，用與已知邊有關(guān)系的兩個金字塔模型，所以DEAD,DGBC ABAH

BDAB

DE DG,所以有BC AH

ADBDAB

1，設(shè)DG=x，則DE=2x，2x 所以有12

1x

24,2x7

48 ，因此長方形的長和寬分別是7 7

24厘米，7

厘米。ABCD中，EF=16，F(xiàn)G=9AG的長。DGDABE，根據(jù)沙漏模型性質(zhì)知GB

AG,GEDFABDGFG,FGAG,AG2GEFG25922515,

GB GA

GA GE6梅涅勞斯定理（梅氏線）、E、FD、E、F均不是ABC的頂點，則有ADBECFDB EC

1．證明CABEFG．CGAB，所以

CF

————（1）AD FACG ECAB，所以

————（2）DB BEDBBECF ADBECF1由（1）÷（2）可得AD EC FA，即得DB EC FA ．注再拆去“橋梁”（CG）使得命題順利獲證．4．梅涅勞斯定理的逆定理及其證明定理：在ABCAB、BCD、EACF，若ADBECFDB EC

1，那么，D、E、F三點共線．證明EFABD/，則據(jù)梅涅勞斯定理有AD/BECF1．D/B EC FAADBECF1

/ADAD因為DB EC

，所以有DB D/B．由于點ABDD/D、E、F三點共線．注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律．7塞瓦定理（賽瓦點）塞瓦定理及其證明定理：在ABCP，該點與ABC的三個頂點相連所在的三條直線分別交ABCAB、BC、CAD、E、FD、E、F三點均不是ABC的頂點，則有ADBECFDB EC

1．AD

SADP

SADCDB S 證明DB S BDP

．BDC根據(jù)等比定理有SADP

SADCSADC

SADPSAPCSBDP

SBDC

BDC

SBDP

，BPCAD DB 所以DB BPC

BE．同理可得EC

SAPBSAPC

，CFSBPC．FA SAPBADBECFDB EC FA

1．注樣就可以產(chǎn)生出“邊之比”．塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在ABCAB、BC、CAD、E、FD、E、F均不是ABC的頂點，若線共點．

CFDB EC

1CD、AE、BF三證明AEBFPCPAB于AD/BECFD/B EC

1．

/ADAD因為DB EC

所以有DB D/B．由于ABDD/D、E、F三點共線．注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證．8格點面積公式（皮克公式）9構(gòu)造新底新高巧求面積（萬底公式）10阿基米德折弦定理問題：已知M為的中點，B為上任意一點，且MDBC于D.求證：ABBDDC證法一：(補短法)如圖：延長DB至F，使BF=BA ∵M為 的中點 ∴AM=MC,∴∠MAC=∠MCA---① 又∵ , ∴MC=MA 又∵∠MBC+∠MBF=180---③ 由M,B,A,C四點共圓 ∴∠MCA+∠MBA=180---④MBA=∠MBF在△MBFMBABFBAMBAMBF∴△MBF△MBA(SAS) ∴MF=MA,又∵MC=MA ∴MF=MCMBMB又∵MD⊥CF ∴DF=DC ∴FB+BD=DC 又∵BF=BA∴AB+BD=DC（證畢）證法二：（截長法）如圖：在CD上截取DB=DG ∵MD⊥BG ∴MB=MG ∴∠MBG=∠MGB---①又∵ ，∴∠MBG=∠MAC 又∵∠MAC=∠MCA (已證)，∴∠MBG=∠MCA---② 由①②可得∠MGB=∠MCA=∠BCA+∠MCG而∠MGB=∠GMC+∠MCG∴∠GMC=∠BCA 又∵ ,∴∠BMA=∠BCAMBMG∴∠BMA=∠GMC,在△MBA與△MGC中BMAGMCMAMC

∴△BMA△GMC(SAS)∴AB=GC,∴AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC(證畢)證法三：（翻折）MB,MC,MA,AC,將△BAMBMAEME,BE∵△MBA與△MBE關(guān)于BM對稱，所以△MBE≌MBA ∴MA=ME, 又∵MA=MC,∴ME=MC, 又∵M,B,A,C四點共圓，∴∠MBA+∠MCA=180---②又∵MA=MC(已證)∴∠MAC=∠MCA又∵ ，∴∠MBC=∠MAC ∴∠MBC=∠MCA---③由①②③得:∠MBC+∠MBE=180∴E,B,C三點共線。又∵ME=MC,MD⊥CE∴DE=DCEB+BD=DCMBE≌MBA∴AB=EBAB+BD=DC(證畢)證法四：MB,MA,MC,AC,AB,MMH⊥ABH,∵M為 的中點 ∴AM=MC, 又∵,∴∠HAM=∠DCMMHAMDC又∵∠MHA=∠MDC=90 ∴在△MHA與△MDC中HAMDCMMCMA∴△MHA≌△MDCAAS) ∴CD=AH---① MD=MH RT△MHBRT△MDB中MHMDMBMB

∴△MDB≌△MHB(HL)∴BD=BH 又∵AH=AB+BH, ∴AH=AB+BD-②由①②可得DC=AB+BD (證畢)反思：在平時數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，尤其是幾何學(xué)的教學(xué)，它可以讓覺得數(shù)學(xué)課枯燥無味的學(xué)生頓時感興趣，更是師生互動的一個很好的媒體。老師與學(xué)生一起想辦法，也是一種數(shù)學(xué)情感的體現(xiàn)。在圓這一章節(jié)，很多學(xué)生反映難學(xué)，難在輔助線多，方法多，同一個問題靈活多變，不同的出發(fā)點會得到不同的解題方法。本題就是一個很好的例子。對于一個著名的平面幾何定理，我們的證明也僅僅是使用了非常常見的“截長補短”，“對稱變換”等方法。在以后的幾何教學(xué)過程中多總結(jié)出一些通用，常見的解題方法這會讓學(xué)生受益匪淺的，萬變不離其宗，才是數(shù)學(xué)的特點。阿基米德折弦定理例題：如圖，C是o的兩條弦（C是o的一條折弦），BCAB,MC的中點，過點M作MDBC垂足為D，求證：CD=AB+BD.(阿基米德折弦定理）變式訓(xùn)練如圖，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于o，AB2,點D為弧AC上一點,ABD45AEBDE,求BDC的周長。如圖，在o中BC,D上一動點（DCB重合）ABCBAC=120,(1)若AC=4,求o的半徑（2）探究DA、DB、DC之間的關(guān)系，并證明。 已知：如圖1，在o中，C是劣弧AB的中點，直線CDAB于E,易證得：AE=BE,從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦。如圖2，PA、PB組成o的一條折弦，C是劣弧AB的中點，直線CDPA于E,求證：AE=PE+PB如圖3，PA、PB組成o的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點，直線CDPA于E,則AE、PE、PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并證明。圖1 圖2 圖3內(nèi)接于oCC,點DCD2CCCD.11圓冪定理圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有PA·PB=PC·PD。統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2C、D（可重合）PA·PB=PC·PD。12巴布斯定理（中線定理）13斯庫頓定理14費馬點【問題12】“費馬點”做法圖形原理在△ACP+BPC值最小AB、AC為邊向外作等邊三角形P，點P求兩點之間線段最短，PA+PB+PCCD長破解策略費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點。這個最小距離叫做費馬距離。若三角形的內(nèi)角均小于120°，那么三角形的費馬點與各頂點的連線三等分費馬點所在的周角；若120°，則此鈍角的頂點就是到三個頂點距離之和最小的點。若三角形有一個內(nèi)角大于等于120°，則此鈍角的頂點即為該三角形的費馬點。如圖，?ABC中，∠BAC≥120°，則鈍角的頂點即為該三角形的費馬點。證明：如圖，在?ABCPBACAC=AC’,作CAPCAP,并且使得AP’=APPP’。則APCAPC.因為∠BAC≥120°，PAP中，AP≥PP’,所以PAPBPCPPPBPC＞BCABAC,AABC若三角形三個內(nèi)角均小于120°，則以三角形的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形外接圓在三角形內(nèi)的交點即為該三角形的費馬點。如圖，△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，分別以AB,AC為邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形的外接圓在△ABCOOABC證明：在?ABCOOA,OB,OC。將△AOCA60°，得到△AO'D,連接OO',則O'D=OC.所以△AOO'為等邊三角形，OO'=AO，所以O(shè)A+OB+OC=OO'+0B+0'D,則當點B,O,O',D四點共線時，OA+OB+OC最小，此時∠AOB=∠A0C=∠B0C=120°，即以AB,AC為邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形的外接圓在△ABC內(nèi)的交點即為點O。如圖，△ABC中，若∠BAC,∠ABC,∠ACB的度數(shù)均小于120°，O為費馬點，則有∠AOB=∠BOC=∠COA=120°。所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心。例題講解例1：如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（-6，0），點B的坐標為（6，0），點C1的坐標為（04

3）ACDCD=2

ACDDE∥ABBCE。設(shè)GyPy

3x6

3yMyGGAAPyGA2GPA例2：A,B,C,D四個城市恰好為一個正方形的四個頂點，要建立一個公路系統(tǒng)，使每兩個城市之間都有公路相通，并使整個公路系統(tǒng)的總長為最小，則這個公路系統(tǒng)應(yīng)當如何修建？進階訓(xùn)練如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=5，BC=3,P是△ABC內(nèi)一點，求PA+PB+PC的最小值，并確PA+PB+PCAPC1516古堡朝圣問題傳說：從前有一個虔誠的信徒，他是集市上的一個小販，每天他都從家所在的A點出發(fā)，到集市B點做買賣.到集市之前他要先拐彎兒到圓形古堡朝拜阿波羅神像.古堡是座圣城,阿波羅像供奉在古堡的圓心O上,而圓周上的點都是供信徒朝拜的頂禮點.這個信徒在想：我應(yīng)該選擇什么樣的頂禮點,才能從家到朝拜點,然后再到集市的路程最短呢?（感謝劉俊勇老師提供此傳說）這一題有一個一般的解答，如圖所示：P在圓周上找一點P,過P點作圓的切線MN，OL⊥MN，使得∠APL=∠BPL=α，則A者的最短路線.P下面我們證明這個結(jié)論：假設(shè)圓周上有另一個不同于點P的點P’，連接AP’,P’B.APMNRAR.AR=A’R，AP=A’P.AMNA’,∵∠APM=∠A’PM=∠BPN=90°-α，∴A’,P,BAP’+P’B=AR+RP’+P’B=A’R+RP’+P’B>A’P’+P’B>A’B=A’P+PB=AP+PB

B從上面的證明過程我們可以看出，這樣的P點時存在的，但是要想在一般情況下用尺規(guī)作圖講它做出來是不可能的。因此一般來說，這個問題是沒有初等解法的，不過因為本題的數(shù)據(jù)比較特殊，兩個定點離圓心的距離相等，因此我們才有下面的初等解法.簡解一作第一、三象限的平分線，它在一、三象限分別交○OP、QAP+PBAQ+QB大。證明如下：POPyxM、NP’（P）AP’,P’B,P’BMNR。BMNB’,連PB’,RB’,RB=RB’,PB=PB’.∵OA=OB，∠BOP=∠AOP，OP=OP，∴△BOP≌△AOP，于是∠APL=∠BPL，∴∠APN=∠BPM=∠B'PM∴A,P,B'共線.AP’+P’B=AR+RP’+P’B=A’R+RP’+P’B>A’P’+P’B>A’B=A’P+PB=AP+PBAQ+QB≥AP’+P’B.因為○O

2，∴P（1,1），Q（-1，-1）2626AP+PB=210，AQ+QB=22626這樣我們不僅計算出了AP+PB的最小值為2

10，也算出了其最大值為2x2x2(y4)2簡解二設(shè)AP

(x4)2y2，BP188x188x8y

(188x)(188y)

(取等條件x=y)于是問題轉(zhuǎn)換為在x2+y2=2條件下，求(9-4x)(9-4y)的最小值。(9-4x)(9-4y)=81-36(x+y)+16xy繼續(xù)轉(zhuǎn)換：在在x2+y2=2條件下，求4xy-9(x+y)的最小值。-2≤x+y≤2x+y=t,-2≤t≤24xy-9(x+y)=2[(x+y)2-(x2+y2)]-9(x+y)=2t2-9t-42(t9)2-81-44 82(29)2-81-44 8-14t=2x=y=1(9-4x)(9-4y)=81-36(x+y)+16xy=81+4[4xy-9(x+y)]≥25）1010

，當x=y=1時等號成立.(AP+PB)2≤2(AP2+PB2)26=2[(x2+y2)+32-8(x+y)]=72-16(x+y)≤10426∴AP+PB≤2

，當x=y=-1時等號成立.AOB2，A=O=d,P=rd>r),求(A+PB.注意我們保留了核心條件兩個定點到圓心的距離相等，只不過改成了一般的數(shù)據(jù)，另外，兩線的夾角變成了一般的角度。從簡解一的角度來看，這個問題的解法是顯然的，就不再贅述了。17四點共圓證明四點共圓的基本方法：1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓．2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）3角時，即可肯定這四點共圓．4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．（割線定理的逆定理）5證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點，即可肯定這四點共圓．上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．五個基本判斷方法：若四個點到一個定點的距離相等，則這四個點共圓。若一個四邊形的一組對角互補（和為180°），則這個四邊形的四個點共圓。若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個點共圓。若兩個點在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線的兩個端點共圓。同斜邊的直角三角形的頂點共圓。已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°.求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓（A，B，C，D四點共圓）證明：用反證法A，B，DOCOCCBC交圓O于C’，DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ADCB=180°，∵∠A+∠C=180°∴DC'B=∠C這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)?！郈OA，B，C，D四點共圓。已知：同側(cè)△ABC和△CBD，共有底邊CB，∠A=∠D，求證：A、B、C、D四點共圓證明：假設(shè)四點不在同一圓上，作△ABCD點不在圓上，因二角共用AB弧，則∠A≠∠D，與實際不符，D點在△ABC外接圓上，A、B、C、D四點共圓。課堂練習(xí)題1.已知∠ABC=∠ADC=90°，∠DAC=25°，則∠ABD= .矩形ABCD中，E是BD上一點，EF⊥AE交BC于F，sin∠ADB= ，則EF

= .已知，在△ABCAB＝ACAaACA轉(zhuǎn)角θaBCP（PBC），△BMNMNa（點MN）BM＝BNCN．（1）當∠BAC＝∠MBN＝90°時，a，當θ＝45°時，∠ANC；②如圖b，當θ≠45°時，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？說明理由；（2）如圖c，當∠BAC＝∠MBN≠90°時，請直接寫出∠ANC與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系，不必證明閱讀下面材料：小紅遇到這樣一個問題，如圖1：在△ABC中，AD⊥BC，BD＝4，DC＝6，且∠BAC＝45°，求線段AD小紅是這樣想的：作△ABC的外接圓⊙O，如圖2：利用同弧所對圓周角和圓心角的關(guān)系，可以知道∠BOC＝90OOE⊥BCEOF⊥ADFRt△BOCOOE，Rt△AOFAFAD＝AF＋DF請你回答圖2中線段AD的長 參考小紅思考問題的方法，解決下列問題：如圖3：在△ABC中，AD⊥BC，BD＝4，DC＝6，且∠BAC＝30°，則線段AD的長 ．已知：A、B、C三點不在同一直線上．A、B、CRO(i）如圖①，當∠A＝45°，R＝1時，求∠BOC的度數(shù)和BC的長；BC(ii）如圖②，當∠A為銳角時，求證：sinA＝2R若定長線段BC的兩個端點分別在∠MAN的兩邊AM、AN（B、C均與A不重合）滑動，如圖③，當∠MAN＝60°，BC＝2時，分別作BP⊥AM，CP⊥AN，交點為P，試探索在整個滑動過程中，P、A兩點間的距離是否保持不變？請說明理由．18阿波羅尼定理19三角形中線長定理斯特瓦爾特定理推論2 設(shè)AP為△ABC的BC邊上的中線，則AP21AB21AC21BC2．2 2 420廣義勾股定理1廣勾股定理的兩個推論：推論1：平行四邊形對角線的平方和等于四邊平方和。12a22c2b212a212a22c2b212a22b2c212b212b22c2a2

；mb=2

；mc=221三角形高線長定理22三角形內(nèi)、外角平分線模型、角平分線長定理三角形內(nèi)、外角平分線定理：BDAB內(nèi)角平分線定理：如圖：如果∠1=∠2，則有DC AC外角平分線定理：如圖，AD是△ABC中∠ABC的延長線與D，BDAB則有DC AC一、 托勒密定理

23MEMEABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有AB·CD+BC·AD=AC·BD．BDBD上找一點，使得DAEBAM．因為ADBACB，即ADEACB，所以ADEACB，即得AD

DE

————（1）AC BC由于DAEBAM，所以DAMBAE，即DACBAE。而ABDACD，即ABEACD，所以ABEACD．即得AB

BEABCDACBE

————（2）AC CD得ADBCABCDACDEACBEACBD．+BC·ADAC·BD．注容易想到，需要認真分析題目并不斷嘗試．托勒密定理的逆定理及其證明圓．證法1（同一法）：在凸四邊形ADEBCEBACAB∽DAC．BE×AC———（1）AEAB且 AD AC

———（2）則由DAECAB及（2）DAECAB．于是有AD×BC=DE×AC———（3）由（1）+（3）AB×CDBC×ADACBEDE．據(jù)條件可得BD=BE+DEEBDEBADCA，得DBADCAA、B、C、D四點共圓．證法2（構(gòu)造轉(zhuǎn)移法）DCC/B、、B/四點共圓．（A/、B/、C/共線，則命題獲證）A、C、C/、A/四點也共圓．A/B/

B/C/

C/D

AB BD，

BC BD．/ / / / ABA/DBCC/D可得AB

BC

BD .A/C/

/ / ACA/D

AC

，即AC CD ．欲證 BD

ACA/D= CD

，即證ABCDA/DBCCDC/DACBDA/D即BCCDCDACBDABCDAD．據(jù)條件有ACBDABCDADBC，所以需證BCCDC/DADBCA/D，CDCDADADAB/

B/C/

A/C/，A/、B/、C/共線．所以ABB與BBC/ABBDAB，BB/C/

DCB，所以DAB與DCBA、B、C、D四點共圓．托勒密定理的推廣及其證明定理ABCD的四個頂點不在同一個圓上，那么就有AB×CD+BC×AD>AC×BD：如圖，在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點EEABDACEBADCA，則EAB∽DAC．BE×AC————（1）AEAB且 AD

————（2）則由DAECAB（2）DAECAB是AD×BC=DE×AC————（3）由（1）+（3）AB×CDBC×ADACBEDE因為A、B、C、D四點不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知AC×BDBDBEDEBD．BC×ADAC×BD．24清宮定理P、Q為△ABCA、B、C的兩點，PBC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上25西姆松定理（西姆松線）定理：從ABCPBC、CA、AB或其延長線引垂線，垂足分E、FD、E、F三點共線．PC，連接EFBCD/PD/．PEAE，PFAFA、F、P、E四點共圓，可得FAEFEP．A、B、P、C四點共圓，所以BACBCP，即FAEBCP．FEP，即D/EPCD/E四點共圓．==CD/P900PDBC．PBCD與D、E、F三點共線．意運用同一法證明時的唯一性．26九點圓三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點（連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓。通常稱這個圓為九點圓（nine-pointcircle），或歐拉圓、費爾巴哈圓。九點圓具有許多有趣的性質(zhì)，例如：三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點；三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓，三個旁切圓均相切（費爾巴哈定理）；九點圓是一個垂心組（即一個三角形三個頂點和它的垂心，共四個點，每個點都是其它三點組成的三角形的垂心，共4個三角形）共有的九點圓，所以九點圓共與四個內(nèi)切圓、十二個旁切圓相切。九點圓心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四點共線，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。27莫利定理（摩萊三角形）莫利定理：將任意三角形的各角三等分，則每兩個角的相鄰三等分線的交點構(gòu)成一個正三角形。28蝴蝶定理蝴蝶定理：AB是圓的一條弦，中點記為S，圓心為O，過S作任意兩條弦CD、EF，分C、D、E、FCF,EDABM、N，求證：MS=NS。蝴蝶定理及其證明定理ABMP、QPMMQ．證明：MABlCFlC/、ABQ/FF/、DF/、Q/F/、DQ/．據(jù)圓的性質(zhì)和圖形的對稱性可知：FFAB，PMMQ/．D、F/、F四點共圓，所以CFF/=1800，F(xiàn)FAB可得Q/PFCFF1800，所以CDFQ/PF，即MDFQ/PF．又因為Q/PFPQ/F/，即Q/PFMQ/F/．所以有MQ/F/．Q/、D、F/、M四點共圓，即得MF/QQ/DM．因為MF/Q/MFP，所以MFP=Q/DM．而MFP=EDM，所以EDMQQ/PMMQ．此定理還可用解析法來證明：DECFx軸上的截距互為相反數(shù)．證ABxABy軸建立直角坐標系，M點是坐標原點．DE、CF的方程分別為=+CD、EF的方程分別為y=k1x，y=k2x．則經(jīng)過C、D、E、F四點的曲線系方程為x)(y–k2x)+(x–m1y–n1)(x–m2y–n2)=0．整理得C、D、E、F四點在一個圓上，說明上面方程表示的是一個圓，所以必須+k1k2=1+m1m2≠0，且 若k1k2=1，k1+k2=0，這是不可能的，故≠0；yABy軸上，故有(n1+n2)=0，從而n1n20．DE、CFxPMMQ．注：利用曲線系方程解題是坐標法的一大特點，它可以較好地解決直線與曲線混雜在一起的問題．如本題，四條直線方程一經(jīng)組合就魔術(shù)般地變成了圓方程，問題瞬息間得以解決，真是奇妙．運用它解題，不拘泥于小處，能夠從整體上去考慮問題．另外，待定系數(shù)法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．29正弦定理、余弦定理定理1 正弦定理ABC中，設(shè)外接圓半徑為R，則證明:1-11-2

asinA

b

csinC

2RBBA，則AA,BCA90，故BCaBA 2R

sinAsinA,即

asinA

2R；同

asinA

b

csinC

2R當A為鈍角時，可考慮其補角A.當A為直角時，sinA1，故無論哪種情況正弦定理成立。定理2 余弦定理ABCa2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC有時也用它的等價形式abcosCccosBbacosCccosAcacosBbcosA30斯特瓦爾特（Stewart）定理【基礎(chǔ)知識】斯特瓦爾特定理P為△ABCBC邊