勾股定理專(zhuān)題復(fù)習(xí)含答案

-.z.第一章"勾股定理"專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)專(zhuān)題一：勾股定理考點(diǎn)分析：勾股定理單獨(dú)命題的題目較少，常與方程、函數(shù)，四邊形等知識(shí)綜合在一起考察，在中考試卷中的常見(jiàn)題型為填空題、選擇題和較簡(jiǎn)單的解答題1801501801506060ABC圖1例1．〔1〕如圖1是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸〔單位：〕，計(jì)算兩圓孔中心和的距離為_(kāi)_____．〔2〕如圖2，直線(xiàn)上有三個(gè)正方形，abcl圖2假設(shè)abcl圖2Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．55分析：此題結(jié)合圖中的尺寸直接運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可．解：〔1〕由得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB2=902+1202=22500，所以AB=150〔mm〕〔2〕由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，應(yīng)選C．圖3點(diǎn)評(píng)：以上兩例都是勾股定理的直接運(yùn)用，當(dāng)直角三角形的兩邊，求第三邊時(shí)，往往要借助于勾股定理來(lái)解決．圖3例2．如圖3，正方形網(wǎng)格的每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，試求的度數(shù)．解：連結(jié)．，，〔SAS〕．．由勾股定理，得：，，，〔SSS〕．．由圖可知為等腰直角三角形．．即．點(diǎn)評(píng)：由于在正方形網(wǎng)格中，它有兩個(gè)主要特征：〔1〕任何格點(diǎn)之間的線(xiàn)段都是*正方形或長(zhǎng)方形的邊或?qū)蔷€(xiàn)，所以格點(diǎn)間的任何線(xiàn)段長(zhǎng)度都能求得．〔2〕利用正方形的性質(zhì)，我們很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上兩例就是根據(jù)網(wǎng)格的直觀性，再結(jié)合圖形特點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理進(jìn)展計(jì)算，易求得線(xiàn)段和角的特殊值，重點(diǎn)考察學(xué)生的直覺(jué)觀察能力和數(shù)形結(jié)合的能力．專(zhuān)練一：1、△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，則以下各等式中成立的是〔〕〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕2、假設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，4，*，則*的可能值有〔〕〔A〕1個(gè)；〔B〕2個(gè)；〔C〕3個(gè)；〔D〕4個(gè)3、一根旗桿在離底面4.5米的地方折斷，旗桿頂端落在離旗桿底部6米處，則旗桿折斷前高為〔〕〔A〕10.5米；〔B〕7.5米；〔C〕12米；〔D〕8米4、以下說(shuō)法中正確的有〔〕〔1〕如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，則△ABC是直角三角形；〔2〕如果∠A+∠B=∠C，則△ABC是直角三角形；〔3〕如果三角形三邊之比為6：8：10，則ABC是直角三角形；〔4〕如果三邊長(zhǎng)分別是，則ABC是直角三角形。〔A〕1個(gè)；〔B〕2個(gè)；〔C〕3個(gè)；〔D〕4個(gè)5、如圖4是*幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)，則判斷正確的選項(xiàng)是〔〕圖4A．a(chǎn)＞cB．b＞cC．4a2+b2=c2D．a(chǎn)2+b2=c2圖46、直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為3、4，則第三邊長(zhǎng)為．7、直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為10，則直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為．8、利用圖5〔1〕或圖5〔2〕兩個(gè)圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個(gè)十分著名的定理，這個(gè)定理稱(chēng)為，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式是．圖5〔2〕圖5〔1〕圖6圖5〔2〕圖5〔1〕圖69、一棵樹(shù)因雪災(zāi)于A處折斷，如下圖，測(cè)得樹(shù)梢觸地點(diǎn)B到樹(shù)根C處的距離為4米，∠ABC約45°，樹(shù)干AC垂直于地面，則此樹(shù)在未折斷之前的高度約為米〔答案可保存根號(hào)〕．ABC圖710、如圖6，如果以正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF，再以對(duì)角線(xiàn)AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH，如此下去，…，正方形ABCD的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為，…，〔nABC圖7則第8個(gè)正方形的面積＝_______。11、如圖7，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=8．用尺規(guī)作圖作BC邊上的中線(xiàn)AD〔保存作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法、證明〕，并求AD的長(zhǎng)．12、一個(gè)等腰三角形的底邊和腰的長(zhǎng)分別為12cm和10cm，求這個(gè)三角形的面積.13、在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm〔1〕求這個(gè)三角形的斜邊AB的長(zhǎng)和斜邊上的高CD的長(zhǎng).〔2〕求斜邊被分成的兩局部AD和BD的長(zhǎng).14、如圖8：要修建一個(gè)育苗棚，棚高h(yuǎn)=1.8m,棚寬a=2.4m,棚的長(zhǎng)為12m,現(xiàn)要在棚頂上覆蓋塑料薄膜，試求需要多少平方米塑料薄膜？圖8圖815、如圖9，長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng).圖9圖9專(zhuān)題二：能得到直角三角形嗎考點(diǎn)分析：本局部容是勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，它在中考試卷中不單獨(dú)命題，常與其它知識(shí)綜合命題典例剖析例1．如圖10，A、B兩點(diǎn)都與平面鏡相距4米，且A、B兩點(diǎn)相距6米，一束光線(xiàn)由A射向平面鏡反射之后恰巧經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，求B點(diǎn)到入射點(diǎn)的距離.分析：此題要用到勾股定理，全等三角形，軸對(duì)稱(chēng)及物理上的光的反射的知識(shí).圖10圖10解：作出B點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連結(jié)AB′，交CD于點(diǎn)O，則O點(diǎn)就是光的入射點(diǎn)，因?yàn)锽′D=DB，所以B′D=AC，∠B′DO=∠OCA=90°，∠B′=∠CAO所以△B′DO≌△ACO(SSS)，則OC=OD=AB=×6=3米，連結(jié)OB，在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2，所以O(shè)B2=32+42=52，即OB=5(米)，所以點(diǎn)B到入射點(diǎn)的距離為5米.評(píng)注：這是以光的反射為背景的一道綜合題，涉及到許多幾何知識(shí)，由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)物理的根底例2．如果只給你一把帶刻度的直尺，你是否能檢驗(yàn)∠MPN是不是直角，簡(jiǎn)述你的作法．分析：只有一把刻度尺，只能用這把刻度尺量取線(xiàn)段的長(zhǎng)度，假設(shè)∠P是一個(gè)直角，∠P所在的三角形必是個(gè)直角三角形，這就提示我們把∠P放在一個(gè)三角形中，利用勾股定理的逆定理來(lái)解決此題．ＰＡＭＮＰＡＭＮ圖11在射線(xiàn)PN上量取PB=4㎝，確定B點(diǎn)．②連結(jié)AB得△PAB．③用刻度尺量取AB的長(zhǎng)度，如果AB恰為5㎝，則說(shuō)明∠P是直角，否則∠P不是直角．理由：PA=3㎝，PB=4㎝，PA+PB=3+4=5，假設(shè)AB=5㎝，則PA+PB=AB，根據(jù)勾股定理的逆定理得△PAB是直角三角形，∠P是直角．說(shuō)明：這是一道動(dòng)手操作題，是勾股定理的逆定理在現(xiàn)實(shí)生活中的一個(gè)典型應(yīng)用．學(xué)生既要會(huì)動(dòng)手操作，又必須能夠把操作的步驟完整的表述出來(lái)，同時(shí)要清楚每個(gè)操作題的理論根底．專(zhuān)練二：1．做一做：作一個(gè)三角形，使三邊長(zhǎng)分別為3cm,4cm,5cm,哪條邊所對(duì)的角是直角？為什么？2．?dāng)嘁粩啵涸O(shè)三角形的三邊分別等于以下各組數(shù)：①7，8，10②7，24，25③12，35，37④13，11，10〔1〕請(qǐng)判斷哪組數(shù)所代表的三角形是直角三角形，為什么？〔2〕把你判斷是Rt△的哪組數(shù)作出它所表示的三角形，并用量角器來(lái)進(jìn)展驗(yàn)證.3算一算：．一個(gè)零件的形狀如圖12，AC=3㎝，AB=4㎝，BD=12㎝，圖12A圖12ABCD4．一個(gè)零件的形狀如圖13所示，工人師傅按規(guī)定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假設(shè)這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎？圖13Ｂ圖1圖13Ｂ圖1Ｂ5．如圖14，等邊三角形ABC一點(diǎn)P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度數(shù).圖14Ｂ圖1圖14Ｂ圖1Ｂ6．假設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c，根據(jù)以下條件判斷△ABC的形狀.〔1〕a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2)a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b7．請(qǐng)?jiān)谟蛇呴L(zhǎng)為1的小正三角形組成的虛線(xiàn)網(wǎng)格中，畫(huà)出1個(gè)所有頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且至少有一條邊為無(wú)理數(shù)的等腰三角形．圖158．為籌備迎新生晚會(huì)，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖15，圓筒高108㎝，其截面周長(zhǎng)為36㎝，如果在外表纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長(zhǎng)油紙．圖15專(zhuān)題三：螞蟻怎樣走最近考點(diǎn)分析：勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用較為廣泛，它常常單獨(dú)命題，有時(shí)也與方程、函數(shù)，四邊形等知識(shí)綜合在一起考察，在中考試卷中的常見(jiàn)題型為填空題、選擇題和較簡(jiǎn)單的解答題典例剖析圖16〔2〕圖16〔１〕例1．如圖16〔1〕所示，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5圖16〔2〕圖16〔１〕頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE位置上，如圖10〔2〕所示，測(cè)得得BD=0.5米，求梯子頂端A下落了多少米？分析：梯子頂端A下落的距離為AE，即求AE的長(zhǎng)．AB和BC，根據(jù)勾股定理可求AC，只要求出EC即可。解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2∴EC=1.5，，所以，梯子頂端下滑了0.5米．點(diǎn)評(píng)：在實(shí)際生活、生產(chǎn)及建筑中，當(dāng)人們自身高度達(dá)不到時(shí)，往往要借助于梯子，這時(shí)對(duì)梯子的選擇，及梯子所能到達(dá)的高度等問(wèn)題，往往要用到勾股定理的知識(shí)來(lái)解決．但要注意：考慮梯子的長(zhǎng)度不變．例2．有一根竹竿,不知道它有多長(zhǎng).把竹竿橫放在一扇門(mén)前,竹竿長(zhǎng)比門(mén)寬多4尺；把竹竿豎放在這扇門(mén)前,竹竿長(zhǎng)比門(mén)的高度多2尺；把竹竿斜放,，竹竿長(zhǎng)正好和門(mén)的對(duì)角線(xiàn)等長(zhǎng).問(wèn)竹竿長(zhǎng)幾尺"分析：只要根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，然后利用勾股定理，列出方程解之解：設(shè)竹竿長(zhǎng)為*尺。則：〔*―4〕2+〔*―2〕2=*2*1=10，*2=2〔不合題意舍去〕答：竹竿長(zhǎng)為10尺。北東北東圖17D例3．如圖17，客輪在海上以30km/h的速度由向航行，在處測(cè)得燈塔的方位角為北偏東，測(cè)得處的方位角為南偏東，航行1小時(shí)后到達(dá)處，在處測(cè)得的方位角為北偏東，則到的距離是〔〕A．km；B．km；C．km；D．km分析：此題是一道以航海為背景的應(yīng)用題，由條件分析易知△ABC不是直角三角形，這就需要作三角形的高，將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，問(wèn)題便可得到解決．解：由條件易得：∠C=450，∠ABC=750，則∠A=600，過(guò)B作BD⊥AC，垂足為D，∴△BCD是等腰直角三角形，又∵BC=30km，由勾股定理得：2CD2=302，∴CD=，∴BD=，設(shè)AD=*，則AB=2*，由勾股定理得：BD=，∴=，∴*=，∴AC=+，應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：在航海中，有時(shí)需要求兩船或船與*地方的距離，以保證航海的平安，有時(shí)就需要用勾股定理及判定條件來(lái)加以解決，熟練應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．家郵家郵局書(shū)店圖181．小明從家走到郵局用了8分鐘，然后右轉(zhuǎn)彎用同樣的速度走了6分鐘到達(dá)書(shū)店(如圖18),書(shū)店距離郵局640米，則小明家距離書(shū)店米．2．一根新生的蘆葦高出水面1尺，一陣風(fēng)吹過(guò)，蘆葦被吹倒一邊，頂端齊至水面，蘆葦移動(dòng)的水平距離為5尺，則水池的深度和蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是．3．小明叔叔家承包了一個(gè)矩形養(yǎng)魚(yú)池，其面積為48m，其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為10m，為建起柵欄，要計(jì)算這個(gè)矩形養(yǎng)魚(yú)池的周長(zhǎng)，你能幫助小明算一算，周長(zhǎng)應(yīng)該是．圖194．求圖19所示〔單位mm〕矩形零件上兩孔圖19中心A和B的距離〔準(zhǔn)確到0．lmm〕．5．假期，小王與同學(xué)們?cè)诠珗@里探寶玩游戲，按照游戲中提示的方向，他們從A出發(fā)先向正東走了800米，再向正北走了200米，折向正西走300米，再向正北走600米，再向正東走100米，到達(dá)了寶藏處B，問(wèn)A、B間的直線(xiàn)距離是米．圖206．如圖20所示，為修鐵路需鑿?fù)ㄋ淼繟C，測(cè)得∠A=53°，圖20∠B=37°．AB=5km，BC=4km，假設(shè)每天鑿0.3km，試計(jì)算需要幾天才能把隧道AC鑿?fù)ǎ畧D217．如圖21，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線(xiàn)AD折疊，使它落在斜邊AB上,且與AE重合,你能求出CD的長(zhǎng)嗎？圖218．觀察以下表格：列舉猜測(cè)3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+25…………13、b、c132=b+c請(qǐng)你結(jié)合該表格及相關(guān)知識(shí)，求出b、c的值。圖229．如圖22所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積．圖22參考答案專(zhuān)練一：1．；2．12，13；3．28；5、10006．解：因?yàn)椤螦=53°，∠B=37°∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=AB-BC=5-4=9，所以AC=3，需要的時(shí)間〔天〕答：需要10天才能把隧道AC鑿?fù)ā?．由勾股定理得：AB=10，設(shè)CD=*，則DE=*，BD=8-*，BE=4，由勾股定理得：42+*2=(8-*)2，解得*=3，即CD=38．12，59．連結(jié)AC，在Rt△ADC中，，，在△ABC中，AB2=1521，答：這塊地的面積是216平方米。專(zhuān)練二：1．做一做：5cm所對(duì)的角是直角，因?yàn)樵谥苯侨切沃兄苯撬鶎?duì)邊最長(zhǎng).2．?dāng)嘁粩啵?1)②③∵72+242=252,122+352=372(2)略3．解：在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理：BC=AC+AB=3+4=25，在直角三角形CBD中，根據(jù)勾股定理：CD=BC+BD=25+12=169，∴CD=13．4．∵42+32=52,52+122=132,即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°,同理，∠ACD=90°∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36.AD=AP.∠1=∠2，AB=AC∴△ADB≌△ADC(SAS)∴BD=PC=5，又PD=AP=3，BP=4∴BP2+PD2=42+32=25=BD2∴∠BPD=90°∴∠APB=∠APD+∠BPD=150°6．(1)∵a2+b2+c2+100=12a+16b+20c，∴(a2－12a+36)+(b2－16b+64)+(c2即(a－6)2+(b－8)2+(c－10)2=0∴a－6=0,b－8=0,c－10=0，即a=6,b=8,c=10，而62+82=100=102，∴a2+b2=c2，∴△ABC為直角三角形.(2)(a3－a2b)+(ab2－b3)－(ac2－bc2)=0，a2(a－b)+b2(a－b)－c2(a－b)=0，∴(a－b)(a2+b2－c2)=0∴a－b=0或a2+b2－c2=0，∴此三角形ABC為等腰三角形或直角三角形.7．解：此題答案不惟一，只要符合要求都可以，以下答案供參考．8．解：將圓筒展開(kāi)后成為一個(gè)矩形，如圖，ＡＣＡＣ即可，在Rt△ABC中，AB=36，BC=∴由勾股定理得AC=AB+BC=36+27∴AC=45，故整個(gè)油紙的長(zhǎng)為45×4=180〔㎝〕．專(zhuān)練三：1、C；2、B；3、B；4、C；5、D；6、5，；7、6，8；8、勾股定理，；9、；10、128；11、〔1〕作圖略；〔2〕在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中線(xiàn)，∴AD⊥BC，.在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝4，，.12、如圖：等邊△ABC中BC