2022-2023學年天津市濱海新區(qū)塘沽濱海中學高三下學期數(shù)學試題統(tǒng)練(七)(期中模擬)_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年天津市濱海新區(qū)塘沽濱海中學高三下學期數(shù)學試題統(tǒng)練(七)(期中模擬)考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下列命題為真命題的個數(shù)是()(其中,為無理數(shù))①;②;③.A.0 B.1 C.2 D.32.已知,是兩條不重合的直線,,是兩個不重合的平面,則下列命題中錯誤的是()A.若,,則或B.若,,,則C.若,,,則D.若,,則3.函數(shù),,的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達式為()A. B.C. D.4.已知數(shù)列,,,…,是首項為8,公比為得等比數(shù)列,則等于()A.64 B.32 C.2 D.45.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A. B. C. D.6.一小商販準備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品,甲每件進價元,乙每件進價元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件7.已知集合,,若,則()A.或 B.或 C.或 D.或8.一袋中裝有個紅球和個黑球(除顏色外無區(qū)別),任取球,記其中黑球數(shù)為,則為()A. B. C. D.9.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示,俯視圖中的兩個小三角形全等,則()A.PA,PB,PC兩兩垂直 B.三棱錐P-ABC的體積為C. D.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為10.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9,若點,則的最大值為()A.3 B.6 C.9 D.1211.已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點,則()A. B. C. D.12.設(shè)為定義在上的奇函數(shù),當時,(為常數(shù)),則不等式的解集為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線(,)的左,右焦點分別為,,過點的直線與雙曲線的左,右兩支分別交于,兩點,若,,則雙曲線的離心率為__________.14.已知數(shù)列滿足,且,則______.15.已知,是互相垂直的單位向量,若與λ的夾角為60°,則實數(shù)λ的值是__.16.已知數(shù)列滿足,且恒成立,則的值為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)購買一輛某品牌新能源汽車,在行駛?cè)旰?,政府將給予適當金額的購車補貼.某調(diào)研機構(gòu)對擬購買該品牌汽車的消費者,就購車補貼金額的心理預(yù)期值進行了抽樣調(diào)查,其樣本頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計擬購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)將頻率視為概率,從擬購買該品牌汽車的消費群體中隨機抽取人,記對購車補貼金額的心理預(yù)期值高于萬元的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;(3)統(tǒng)計最近個月該品牌汽車的市場銷售量,得其頻數(shù)分布表如下:月份銷售量(萬輛)試預(yù)計該品牌汽車在年月份的銷售量約為多少萬輛?附:對于一組樣本數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.18.(12分)設(shè),函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)設(shè)函數(shù).①若,試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點;②求證:對任意的,直線都不是的切線;(2)設(shè)函數(shù),試判斷函數(shù)是否存在極小值,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.19.(12分)已知函數(shù).(1)當時,試求曲線在點處的切線;(2)試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.20.(12分)設(shè)直線與拋物線交于兩點,與橢圓交于兩點,設(shè)直線(為坐標原點)的斜率分別為,若.(1)證明:直線過定點,并求出該定點的坐標;(2)是否存在常數(shù),滿足?并說明理由.21.(12分)聯(lián)合國糧農(nóng)組織對某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:年份20102012201420162018需求量(萬噸)236246257276286(1)由所給數(shù)據(jù)可知,年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系,我們以“年份—2014”為橫坐標,“需求量”為縱坐標,請完成如下數(shù)據(jù)處理表格:年份—20140需求量—2570(2)根據(jù)回歸直線方程分析,2020年聯(lián)合國糧農(nóng)組織計劃向該地區(qū)投放糧食300萬噸,問是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求?參考公式:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.22.(10分)在中,角,,的對邊分別為,,,已知.(1)若,,成等差數(shù)列,求的值;(2)是否存在滿足為直角?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

對于①中,根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)和不等式的性質(zhì),可判定值正確的;對于②中,構(gòu)造新函數(shù),利用導數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),進而得到,即可判定是錯誤的;對于③中,構(gòu)造新函數(shù),利用導數(shù)求得函數(shù)的最大值為,進而得到,即可判定是正確的.【詳解】由題意,對于①中,由,可得,根據(jù)不等式的性質(zhì),可得成立,所以是正確的;對于②中,設(shè)函數(shù),則,所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),因為,則又由,所以,即,所以②不正確;對于③中,設(shè)函數(shù),則,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,所以當時,函數(shù)取得最大值,最大值為,所以,即,即,所以是正確的.故選:C.【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì),以及導數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,其中解答中根據(jù)題意,合理構(gòu)造新函數(shù),利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與運算能力,屬于中檔試題.2、D【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),可判定A;由線面平行的判定定理,可判斷B;C中可判斷,所成的二面角為;D中有可能,即得解.【詳解】選項A:若,,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì),有或,故A正確;選項B:若,,,由線面平行的判定定理,有,故B正確;選項C:若,,,故,所成的二面角為,則,故C正確;選項D,若,,有可能,故D不正確.故選:D【點睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷,考查了學生邏輯推理,空間想象能力,屬于中檔題.3、A【解析】

根據(jù)圖像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊點求出,化簡即得所求.【詳解】由圖像知,,,解得,因為函數(shù)過點,所以,,即,解得,因為,所以,.故選:A【點睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)誘導公式,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)題意依次計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:,,故,,.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列值的計算,意在考查學生的計算能力.5、B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式,即可求解.【詳解】由題意,現(xiàn)有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為,故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用,以及古典概型及其概率的計算問題,其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù),利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由題意列出約束條件和目標函數(shù),數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別,利潤為元,由題意,畫出可行域如圖所示,顯然當經(jīng)過時,最大.故選:D.【點睛】本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題,解決此類問題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負數(shù),并準確的畫出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.7、B【解析】

因為,所以,所以或.若,則,滿足.若,解得或.若,則,滿足.若,顯然不成立,綜上或,選B.8、A【解析】

由題意可知,隨機變量的可能取值有、、、,計算出隨機變量在不同取值下的概率,進而可求得隨機變量的數(shù)學期望值.【詳解】由題意可知,隨機變量的可能取值有、、、,則,,,.因此,隨機變量的數(shù)學期望為.故選:A.【點睛】本題考查隨機變量數(shù)學期望的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖,然后再計算可得.【詳解】解:根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示,其中D為AB的中點,底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為,,,,,、不可能垂直,即不可能兩兩垂直,,.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選:C.【點睛】本題考查三視圖還原直觀圖,以及三棱錐的表面積、體積的計算問題,屬于中檔題.10、C【解析】

分析:先畫出滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域,利用平面區(qū)域的面積為9求出,然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂點,即求出邊界線的交點坐標,代入目標函數(shù)求得最大值.詳解:作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示:則,所以平面區(qū)域的面積,解得,此時,由圖可得當過點時,取得最大值9,故選C.點睛:該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題,在求解的過程中,首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域,之后根據(jù)目標函數(shù)的形式,判斷z的幾何意義,之后畫出一條直線,上下平移,判斷哪個點是最優(yōu)解,從而聯(lián)立方程組,求得最優(yōu)解的坐標,代入求值,要明確目標函數(shù)的形式大體上有三種:斜率型、截距型、距離型;根據(jù)不同的形式,應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.11、A【解析】

由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過點,則,.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由可得,所以,由為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),可知在上單調(diào)遞增,注意到,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數(shù).所以,解得,所以當時,,且時,單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,因為,故有,解得.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查學生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運用能力,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè),由雙曲線的定義得出:,由得為等腰三角形,設(shè),根據(jù),可求出,得出,再結(jié)合焦點三角形,利用余弦定理:求出和的關(guān)系,即可得出離心率.【詳解】解:設(shè),由雙曲線的定義得出:,,由圖可知:,又,即,則,為等腰三角形,,設(shè),,則,,即,解得:,則,,解得:,,解得:,,在中,由余弦定理得:,即:,解得:,即.故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用,以及余弦定理的應(yīng)用,求雙曲線離心率.14、【解析】

數(shù)列滿足知,數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列,再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值即可.【詳解】,數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列,又,,.故答案為:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列定義,考查了對數(shù)的運算性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項公式,是中檔題.15、【解析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義,列出方程解方程即可求出λ的值.【詳解】解:由題意,設(shè)(1,0),(0,1),則(,﹣1),λ(1,λ);又夾角為60°,∴()?(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【點睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運算問題,是中檔題.16、【解析】

易得,所以是等差數(shù)列,再利用等差數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知,,因,所以,所以數(shù)列是以為首項,3為公差的等差數(shù)列,故,所以.故答案為:【點睛】本題考查由遞推數(shù)列求數(shù)列中的某項,考查學生等價轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1.7;(2),見解析;(2)2.【解析】

(1)平均數(shù)的估計值為每個小矩形組中值乘以小矩形面積的和;(2)易得,由二項分布列的期望公式計算;(3)利用所給公式計算出回歸直線即可解決.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知,消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)的估計值為,所以方差的估計值為;(2)由頻率分布直方圖可知,消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值高于3萬元的頻率為,則,所以的分布列為,數(shù)學期望;(3)將2018年11月至2019年3月的月份數(shù)依次編號為1,2,3,4,5,記,,,,,,由散點圖可知,5組樣本數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系,因為,,,,則,,所以回歸直線方程為,當時,,預(yù)計該品牌汽車在年月份的銷售量約為2萬輛.【點睛】本題考查平均數(shù)、方差的估計值、二項分布列及其期望、線性回歸直線方程及其應(yīng)用,是一個概率與統(tǒng)計的綜合題,本題是一道中檔題.18、(1)①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點;②證明見解析;(2)且;【解析】

(1)①令,結(jié)合函數(shù)零點的判定定理判斷即可;②設(shè)切點橫坐標為,求出切線方程,得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;(2)求出的解析式,通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,確定的范圍即可.【詳解】解:(1)①當時,函數(shù),令,,則,,故,又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線,故函數(shù)在區(qū)間上有零點,故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點;②證明:假設(shè)存在,使得直線是曲線的切線,切點橫坐標為,且,則切線在點切線方程為,即,從而,且,消去,得,故滿足等式,令,所以,故函數(shù)在和上單調(diào)遞增,又函數(shù)在時,故方程有唯一解,又,故不存在,即證;(2)由得,,,令,則,,當時,遞減,故當時,,遞增,當時,,遞減,故在處取得極大值,不合題意;時,則在遞減,在,遞增,①當時,,故在遞減,可得當時,,當時,,,易證,令,,令,故,則,故在遞增,則,即時,,故在,內(nèi)存在,使得,故在,上遞減,在,遞增,故在處取得極小值.②由(1)知,,故在遞減,在遞增,故時,,遞增,不合題意;③當時,,當,時,,遞減,當時,,遞增,故在處取極小值,符合題意,綜上,實數(shù)的范圍是且.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問題,考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.19、(1);(2)見解析【解析】

(1)對函數(shù)進行求導,可以求出曲線在點處的切線,利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程;(2)對函數(shù)進行求導,對實數(shù)進行分類討論,可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】(1)當時,函數(shù)定義域為,,所以切線方程為;(2)當時,函數(shù)定義域為,在上單調(diào)遞增當時,恒成立,函數(shù)定義域為,又在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增當時,函數(shù)定義域為,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增當時,設(shè)的兩個根為且,由韋達定理易知兩根均為正根,且,所以函數(shù)的定義域為,又對稱軸,且,在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增【點睛】本題考查了曲線切線方程的求法,考查了利用函數(shù)的導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性問題,考

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