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2023-2024學(xué)年黑龍江省雞西市數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知下列四個命題,其中正確的是()A. B.C. D.2.設(shè),,,則,,大小關(guān)系是A. B.C. D.3.已知關(guān)于x的不等式的解集為空集,則的最小值為()A. B.2C. D.44.在等差數(shù)列中,,,則的值是()A.130 B.260C.156 D.1685.已知一個乒乓球從米高的高度自由落下,每次落下后反彈的高度是原來高度的倍,則當(dāng)它第8次著地時,經(jīng)過的總路程是()A. B.C. D.6.若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.7.將正整數(shù)1,2,3,4,…按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組,則第19行從左往右數(shù)第5個數(shù)是()A.381 B.361C.329 D.4008.在中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,,,則的面積為()A. B.1C. D.29.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,點(diǎn)P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn),且,則當(dāng)取最大值時的值為()A. B.C. D.10.如圖,在正三棱柱中,若,則C到直線的距離為()A. B.C. D.11.已知橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)是,則()A.5 B.2C.1 D.12.在的展開式中,的系數(shù)為()A. B.5C. D.10二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位:件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,且平均值也相等,則x=_____________,y=_____________14.在等差數(shù)列中,,公差,則_________15.若直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則__________16.已知數(shù)列滿足,且.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知命題:方程有實(shí)數(shù)解,命題:,.(1)若是真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若為假命題,且為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;(2)當(dāng)時,求函數(shù)的極值.19.(12分)已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.(1)求動點(diǎn)的軌跡方程;(2)若過點(diǎn)且斜率為的直線與動點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn),求三角形AOB的面積.20.(12分)如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是軸上一定點(diǎn),過的直線交與兩點(diǎn).(1)若過的直線交拋物線于,證明縱坐標(biāo)之積為定值;(2)若直線分別交拋物線于另一點(diǎn),連接交軸于點(diǎn).證明:成等比數(shù)列.21.(12分)已知函數(shù),,其中.(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若,證明:.22.(10分)某地從今年8月份開始啟動12-14歲人群新冠肺炎疫苗的接種工作,共有8千人需要接種疫苗.前4周的累計接種人數(shù)統(tǒng)計如下表:前x周1234累計接種人數(shù)y(千人)2.5344.5(1)求y關(guān)于的線性回歸方程;(2)根據(jù)(1)中所求的回歸方程,預(yù)計該地第幾周才能完成疫苗接種工作?參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可求解判斷.【詳解】,故A錯誤;,故B正確;,故C錯誤;,故D錯誤.故選:B.2、A【解析】構(gòu)造函數(shù),根據(jù)的單調(diào)性可得(3),從而得到,,的大小關(guān)系【詳解】考查函數(shù),則,在上單調(diào)遞增,,(3),即,,故選:【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想,屬基礎(chǔ)題3、D【解析】根據(jù)一元二次不等式的解集的情況得出二次項(xiàng)系數(shù)大于零,根的判別式小于零,可得出,再將化為,由和均值不等式可求得最小值.【詳解】由題意可得:,,可以得到,而,可以令,則有,當(dāng)且僅當(dāng)取等號,所以的最小值為4.故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題主要考查均值不等式,關(guān)鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關(guān)系,再將所求的式子運(yùn)用不等式的性質(zhì)降低元的個數(shù),運(yùn)用均值不等式,是中檔題.4、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)計算得到,進(jìn)而利用求和公式,變形求出答案.【詳解】由題意得:,故故選:A5、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經(jīng)過的路程為,第2次著地到第3次著地經(jīng)過的路程為,組成以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,所以第1次著地到第8次著地經(jīng)過的路程為,所以經(jīng)過的總路程是.故答案為:C.6、D【解析】函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增等價于在上恒成立,即在上恒成立,然后易得,最后求出范圍即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?,在定義域上單調(diào)遞增等價于在上恒成立,即在上恒成立,即在上恒成立,分離參數(shù)得,所以,即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的通解:若在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在區(qū)間上恒成立;若在區(qū)間上單調(diào)遞減,則在區(qū)間上恒成立;然后再利用分離參數(shù)求得參數(shù)的取值范圍即可.7、C【解析】觀察規(guī)律可知,從第一行起,每一行最后一個數(shù)是連續(xù)的完全平方數(shù),據(jù)此容易得出答案.【詳解】由圖中數(shù)字排列規(guī)律可知:第1行從左往右最后1個數(shù)是,第2行從左往右最后1個數(shù)是,第3行從左往右最后1個數(shù)是,……第18行從左往右最后1個數(shù)為,第19行從左往右第5個數(shù)是故選:C.8、C【解析】由余弦定理求出,利用正弦定理將邊化角,再根據(jù)二倍角公式得到,即可得到,最后利用面積公式計算可得;【詳解】解:因?yàn)?,又,所以,因?yàn)椋?,所以,因?yàn)?,所以,即,所以或,即或(舍去),所以,因?yàn)?,所以,所以;故選:C9、D【解析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得,,的關(guān)系,由此可得,再利用重要不等式求最值,并求此時的的值.【詳解】設(shè)為第一象限的交點(diǎn),、,則、,解得、,在中,由余弦定理得:,∴,∴,∴,∴,∴,,即,當(dāng)且僅當(dāng),即,時等號成立,此時故選:D10、D【解析】取AC的中點(diǎn)O,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)點(diǎn)到線距離的向量求法和投影的定義計算即可.【詳解】由題意知,,取AC的中點(diǎn)O,則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,所以,所以在上的投影的長度為,故點(diǎn)C到直線距離為:.故選:D11、C【解析】根據(jù)題意橢圓焦點(diǎn)在軸上,且,將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,從而得出,得出答案.【詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)是,則橢圓焦點(diǎn)在軸上,且將橢圓化為,則由,焦點(diǎn)坐標(biāo)是,則,解得故選:C12、C【解析】首先寫出展開式的通項(xiàng)公式,然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為:,令可得:,則的系數(shù)為:.故選:C.【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式,求解此類問題可以分兩步完成:第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式,建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負(fù)整數(shù),且n≥r,如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求解的項(xiàng)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①.3②.5【解析】根據(jù)莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,列方程求出x、y.【詳解】由題意,甲組數(shù)據(jù)為56,62,65,70+x,74;乙組數(shù)據(jù)為59,61,67,60+y,78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等,有65=60+y,所以y=5.又平均數(shù)相同,則,解得x=3.故答案為:3;5.14、15【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式直接可得.【詳解】.故答案為:1515、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,結(jié)合待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)曲線的切點(diǎn)為:,由,所以過該切點(diǎn)的切線斜率為:,于切線方程為:,因此有:,設(shè)曲線的切點(diǎn)為:,由,所以過該切點(diǎn)的切線斜率為:,于是切線方程為:,因此有:,因?yàn)?,,即,因此,故答案為:【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.16、【解析】倒數(shù)型求數(shù)列通項(xiàng)公式,第一步求倒數(shù),第二步構(gòu)造數(shù)列,求通項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,所以,所以?shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)或;(2)【解析】(1)由方程有實(shí)數(shù)根則,可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)為真命題,即從而得出的取值范圍,由(1)可得出為假命題時實(shí)數(shù)的取值范圍.即可得出答案.【詳解】解:(1)方程有實(shí)數(shù)解得,,解之得或;(2)為假命題,則,為真命題時,,,則故.故為假命題且為真命題時,.【點(diǎn)睛】本題考查命題為真時求參數(shù)的范圍和兩個命題同時滿足條件時,求參數(shù)的范圍,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)2(2)當(dāng)時,沒有極值;當(dāng)時,極大值為,極小值為.【解析】(1)當(dāng)時,,可得:.,,得或,列出函數(shù)單調(diào)性表格,即可最大值;(2),令,得或,分別討論和,即可求得的極值.【詳解】(1)當(dāng)時,,所以.令,得或,列表如下:-2-11+0-0+極大值極小值由于,,所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2.(2),令,得或.當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,無極值.當(dāng)時,列表如下:+0-0+極大值極小值函數(shù)的極大值為,極小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和極值,解題關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的方法和極值定義,考查分析能力和計算能力,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】小問1:由拋物線的定義可求得動點(diǎn)的軌跡方程;小問2:可知直線的方程為,設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,求出的值,利用拋物線的定義可求得的值,結(jié)合面積公式即可求解小問1詳解】由題意點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,所以,則,所以動點(diǎn)的軌跡方程是.【小問2詳解】由已知直線的方程是,設(shè)、,由得,,所以,則,故,20、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)設(shè)直線方程為,聯(lián)立拋物線方程用韋達(dá)定理可得;(2)借助(1)中結(jié)論可得各點(diǎn)縱坐標(biāo)之積,進(jìn)而得到F、T、Q三點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系,然后可證.【小問1詳解】顯然過T的直線斜率不為0,設(shè)方程為,聯(lián)立,消元得到,.【小問2詳解】由(1)設(shè),因?yàn)锳P與BQ均過T(t,0)點(diǎn),可知,又AB過F點(diǎn),所以,如圖:,,設(shè)M(n,0),由(1)類比可得.,且,成等比數(shù)列.21、(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】(1)先求出函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,(2)要證,只要證,由于時,,當(dāng)時,令,再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可【小問1詳解
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