幾種常用輔助線的做法

PAGE6常見輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．倍長中線法有以線段中點為端點的線段、有三角形中線時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例1.在△ABC中，已知AD為△ABC的中線，求證：AB+AC>2AD例2.CB，CD分別是鈍角△AEC和銳角△ABC的中線，且AC=AB．求證：CE=2CD。例3.已知：如圖，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，過D作DF∥BA交AE于點F，DF=AC．求證：AE平分∠BAC．例4.如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.

二、截長補短法

例1、如圖，已知在ΔABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，求證：AC=AB+BD練習(xí)、如圖，在中，，是的平分線，且，求的度數(shù).例2、如圖，AD是的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且.(1)求證：與互補；(2)若，請?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明。六、全等三角形綜合練習(xí)例1、如圖，已知△ABC中，AD平分∠BAC.M是BC的中點，ME∥AD交AB于F，交CA延長線于E，AB>AC，求證：BF=CE.例2、正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù)例3、（1）如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖），N是∠ACP的平分線上一點，則∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由．

例4、如圖①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N，連接MN．（1）探究BM、MN、NC之間的關(guān)系，并說明理由．（2）若△ABC的邊長為2，求△AMN的周長．（3）若點M、N分別是AB、CA延長線上的點，其它條件不變，在圖②中畫出圖形，并說出BM、MN、NC之間的關(guān)系．例5、如圖1，在△ABC中，,的平分線AO交BC于點D，點H為AO上一動點，過點H作直線于，分別交直線AB、AC、BC于點N、E、M（1）當(dāng)直線l經(jīng)過點C時（如圖2），證明：BN=CD(2)當(dāng)M是BC中點時，寫出CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）請直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系練習(xí)、已知點為線段上一點，分別以、為邊在線段同側(cè)作和，且,,,直線與相交于點．（1）如圖①，若,則=;如圖②，若,則=