培優(yōu)班下振動(dòng)和波動(dòng)參考答案01

./練習(xí)十已知一個(gè)諧振子的振動(dòng)曲線如圖所示?！?求和a,b,c,d,e各狀態(tài)相應(yīng)的相；〔2寫(xiě)出振動(dòng)表達(dá)式；〔3畫(huà)出相量圖。解：〔1由參考圓可得,各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相位,；,；,；,；,〔2由參考圓可知時(shí),；時(shí),,則振動(dòng)的表達(dá)式為〔3相量圖如右圖所示作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的小球,速度最大值為=3cm/s,振幅A＝2cm,若從速度為正的最大值的某時(shí)刻開(kāi)始計(jì)算時(shí)間?！?求振動(dòng)的周期；〔2求加速度的最大值；〔3寫(xiě)出振動(dòng)表達(dá)式。解：<1>由,可得〔2〔3由于時(shí),,可知,而,所以有一質(zhì)量為10g的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其振幅為24cm,周期為4s,當(dāng)t＝0時(shí),位移為＋24cm。求：〔1t＝0.5s時(shí),物體所在位置和物體所受的力；〔2由起始位置運(yùn)動(dòng)到x＝12cm處所需最少時(shí)間。解：由題給條件可以知道,于是有〔1時(shí),,〔2時(shí),物體的相的最小值為,由,可得兩個(gè)諧振子作同頻率、同振幅的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。第一個(gè)振子的振動(dòng)表達(dá)式為,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)振子從振動(dòng)的正方向回到平衡位置時(shí),第二個(gè)振子恰在正方向位移的端點(diǎn)。求第二個(gè)振子的振動(dòng)表達(dá)式和二者的相差；若t＝0時(shí),x1＝－A/2,并向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng),畫(huà)出二者的x－t曲線及相量圖。解：〔1第一諧振子的相為時(shí),第二諧振子的相為零,于是第二諧振子的振動(dòng)表達(dá)式為ωxxA2π/6ωxxA2π/6OOA-Ax2x1t可知。則兩諧振子的x－t曲線和相量圖如右圖所示。一彈簧振子,彈簧勁度系數(shù)為k＝25N/m,當(dāng)物體以初動(dòng)能0.2J和初勢(shì)能0.6J振動(dòng)時(shí),試回答：〔1振幅是多大？〔2位移是多大時(shí),勢(shì)能和動(dòng)能相等？〔3位移是振幅的一半時(shí),勢(shì)能多大？解：〔1〔2時(shí),<3>有一輕彈簧,下面掛一質(zhì)量為10g的物體時(shí),伸長(zhǎng)量為4.9cm。用此彈簧和一質(zhì)量為80g的小球構(gòu)成一彈簧振子,將小球由平衡位置向下拉開(kāi)1.0cm后,給予向上的初速度＝5.0cm/s。試求振動(dòng)的周期及振動(dòng)表達(dá)式。解：由平衡條件,可得此彈簧陣子的周期為以豎直向下為x軸,并以平衡位置為原點(diǎn),則,,由此可得由,,取。于是有一物體放在水平木板上,物體與板面間的最大靜摩擦系數(shù)為0.50?！?當(dāng)此板沿水平方向作頻率為2.0Hz的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí),要使物體在板上不致滑動(dòng),振幅的最大值應(yīng)是多大？〔2若令此板改作豎直方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),振幅為5.0cm,要使物體一直保持與板面接觸,則振動(dòng)的最大頻率是多少？解：〔1物體不沿板滑動(dòng),要求<2>物體總與板保持接觸,要求練習(xí)十一一單擺在空氣中擺動(dòng),擺長(zhǎng)為1.00cm,初始振幅為θ0＝5o。經(jīng)過(guò)100s,振幅減為θ1＝4o。再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,它的振幅減為θ2＝2o。此單擺的阻尼系數(shù)多大？Q值多大？解：由,得阻尼系數(shù)為又,所以從到經(jīng)過(guò)的時(shí)間為ObCθ一質(zhì)量為m的剛體在重力力矩的作用下繞固定的水平軸O作小幅度無(wú)阻尼自由擺動(dòng),如圖所示。設(shè)剛體質(zhì)心C到軸線O的距離為b,剛體對(duì)軸線O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I。試用轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫(xiě)出此剛體繞軸O的動(dòng)力學(xué)方程,并證明OC與豎直線的夾角ObCθ解：如圖所示,剛體所受的對(duì)軸線的力矩為,于是由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得對(duì)小幅度的振動(dòng),,則有：所求振動(dòng)周期為：一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其表達(dá)式為試寫(xiě)出合振動(dòng)的表達(dá)式。解：合振動(dòng)的表達(dá)式為：日光燈電路中的燈管相當(dāng)于一個(gè)電阻R,鎮(zhèn)流器是一個(gè)電感L,二者串聯(lián)。若燈管兩端電壓和鎮(zhèn)流器兩端電壓分別為：,試求總電壓u的表達(dá)式。解：總電壓為和的合成,質(zhì)量為0.1kg的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與互相垂直的兩個(gè)振動(dòng)：,試寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程,畫(huà)出圖形,并指明是左旋還是右旋。解：。由垂直振動(dòng)的合成軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程將相關(guān)數(shù)值帶入化簡(jiǎn)可得所求軌跡方程為xy〔-0.03,0.03-0.03xy〔-0.03,0.03-0.030.03〔0,0.026〔-0.06,0.015〔-0.052,0-0.060.06〔0,-0.026〔0.03,-0.03〔0.06,-0.015〔0.052,0O練習(xí)十二1．一簡(jiǎn)諧橫波以0.8m/s的速度沿一長(zhǎng)弦線傳播。在x＝0.1m處,弦線質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系為y=0.05sin<1.0-4.0t>。試寫(xiě)出波函數(shù)。解：由處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)可得,任意處的質(zhì)元振動(dòng)的相和的相之差為這樣,波函數(shù)可以是這表示的是沿軸正向傳播的波。波函數(shù)也可以是2．一橫波沿繩傳播,其波函數(shù)為求此橫波的波長(zhǎng)、頻率、波速和傳播方向；求繩上質(zhì)元振動(dòng)的最大速度并與波速比較。解：〔1將所給波函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)式比較,即可得,,,由于和的系數(shù)反號(hào),知波沿軸正向傳播?！?由于振動(dòng)速度為,所以3．一平面簡(jiǎn)諧波在t＝0時(shí)的波形曲線如圖所示。已知u＝0.08m/s,寫(xiě)出波函數(shù)；畫(huà)出t＝T/8時(shí)的波形曲線。解：〔1由圖可知,由圖知,,時(shí),因而有：代入可得波函數(shù)為〔2的波形曲線可以將原曲線向正向平移而得,如圖所示4．已知波的波函數(shù)為y=Acosπ<4t+2x>。<1>寫(xiě)出t＝4.2s時(shí)各波峰位置的坐標(biāo)表示式,并計(jì)算此時(shí)離原點(diǎn)最近一個(gè)波峰的位置,該波峰何時(shí)通過(guò)原點(diǎn)？<2>畫(huà)出t＝4.2s時(shí)的波形曲線。解：〔1時(shí)波峰的位置由波函數(shù)中決定,即要求,將代入可得波峰的位置為離原點(diǎn)最近要求為最小。據(jù)此,應(yīng)取8,而。此波峰通過(guò)原點(diǎn)的時(shí)刻應(yīng)是對(duì)應(yīng)于而的時(shí)刻,即由此得〔2此波長(zhǎng)為。按此值和波峰在即可畫(huà)出波形曲線如圖所示。-A-A1.6AOy/mx/m0.6-0.45．頻率為500Hz的簡(jiǎn)諧波,波速為350m/s。〔1沿波的傳播方向,相差為60o的兩點(diǎn)間相距多遠(yuǎn)？〔2在某點(diǎn),時(shí)間間隔為10－3s的兩個(gè)振動(dòng)狀態(tài),其相差為多大？解：〔1由和可得〔2練習(xí)十三1．根據(jù)原書(shū)〔2.17式,氣體的體積模量為。在由原書(shū)〔2.23式,空氣中聲波波速應(yīng)為。試證明：對(duì)于等溫變化,；對(duì)于絕熱變化,。用此二式分別計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)狀況下空氣中聲速的數(shù)值并與實(shí)測(cè)值332m/s比較。你如何解釋從比較中得出的結(jié)論？〔空氣的γ＝1.4,M＝29g/mol。解：對(duì)于等溫變化,,,代入波速公式中,可得對(duì)于絕熱變化,,,代入波速公式中,可得將給定數(shù)據(jù)代入,可得在標(biāo)準(zhǔn)情況下,,很明顯,us和實(shí)際空氣中聲速相近。因而,設(shè)想空氣中聲波傳播時(shí),空氣質(zhì)元的壓縮和膨脹的過(guò)程為絕熱過(guò)程更符合實(shí)際。所以絕熱,是因?yàn)槁曇纛l率相當(dāng)高,在壓縮和膨脹的短時(shí)間每一空氣質(zhì)元還來(lái)不及和周?chē)諝獍l(fā)生熱交換所致。2．一彈性波在介質(zhì)中傳播的速度u＝103m/s,振幅A＝1.010－4m,頻率υ＝103Hz。若該介質(zhì)的密度為ρ＝800kg/m3,求：〔1該波的平均能流密度；〔2一分鐘垂直通過(guò)一面積S＝410-4m2的總能量。解：3．行波中能量的傳播是后面介質(zhì)對(duì)前面介質(zhì)做功的結(jié)果。參照原書(shū)圖2.13,先求出棒的一段長(zhǎng)度Δx的左端面ΔS受后方介質(zhì)的推力表示式,再寫(xiě)出此端面的振動(dòng)速度表示式,然后求出此推力的功率。此結(jié)果應(yīng)與原書(shū)〔2.30式相同。解：在棒中有縱波向右傳播時(shí),棒的一段長(zhǎng)度的左端面受后方介質(zhì)的推力為該端面的振動(dòng)速度為后方介質(zhì)推動(dòng)該端面的功率為由于,,所以又有4．一線波源發(fā)射柱面波,設(shè)介質(zhì)為不吸收能量的各向同性均勻介質(zhì),試求波的強(qiáng)度以及振幅和離開(kāi)波源的距離有何關(guān)系？解：由能量守恒可知,通過(guò)以線波源為軸的同一長(zhǎng)度而半徑分別為和的兩個(gè)圓柱面的能流相等,即,由此得,即波的強(qiáng)度與成正比,又因和成正比,所以振幅應(yīng)與成反比。5．據(jù)報(bào)道,1976年震時(shí),當(dāng)?shù)啬尘用裨幻偷叵蛏蠏伷?m高。設(shè)地震橫波為簡(jiǎn)諧波,且頻率為1Hz,波速為3km/s,它的波長(zhǎng)為多大？振幅多大？解：人離地的速度即地殼上下振動(dòng)的最大速度,為地震波的振幅為地震波的波長(zhǎng)練習(xí)十四春節(jié)播放鐘聲的是一種氣流揚(yáng)聲器,它發(fā)聲的總功率為2104W。這聲音傳到12km遠(yuǎn)的地方還可以聽(tīng)到。設(shè)空氣不吸收聲波能量并按球形波計(jì)算,這聲音傳到12km處的聲強(qiáng)級(jí)是多大？約相當(dāng)于原書(shū)表2.3中的哪種聲音？解：在處的聲強(qiáng)級(jí)為約相當(dāng)于鬧市車(chē)聲。一日本婦女的喊聲創(chuàng)吉尼斯世界記錄,達(dá)到115dB。這喊聲的聲強(qiáng)多大？解：在海岸拋錨的船因海浪傳來(lái)而上下振蕩,振蕩周期為4.0s,振幅為60cm,傳來(lái)的波浪每隔25m有一波峰。求海波的速度。求海面上水的質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的線速度,并和波速比較。由此可知波傳播能量的速度可以比介質(zhì)質(zhì)元本身運(yùn)動(dòng)的速度大得多。解：〔1〔2P,Q為兩個(gè)振動(dòng)方向和頻率都相同的同相波源,它們相距,R為PQ連線上Q外側(cè)的任意一點(diǎn),求自P,Q發(fā)出的兩列波在R點(diǎn)處引起的振動(dòng)的相差。解：由于兩波源同相,即,而,因此位于A,B兩點(diǎn)的兩個(gè)波源,振幅相等,頻率都是100Hz,相差為π,若A,B相距30m,波速為400m/s,求AB連線上二者之間疊加而靜止的各點(diǎn)的位置。解：考慮AB間距離A為的一點(diǎn),兩波由A和B傳到此點(diǎn)的相差為兩波疊加而質(zhì)點(diǎn)靜止的條件是,因而有為整數(shù),,所以有一駐波波函數(shù)為求：〔1形成此駐波的兩行波的振幅和波速各為多少？〔2相鄰兩波節(jié)間的距離多大？〔3t＝2.010－3s時(shí),x＝5.010－2m處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度多大？解：<1>與比較,可得〔2由于,相鄰兩波節(jié)之間的距離為〔3xO分界面uxO分界面u波疏3λ/4P波密反射面〔1t＝0時(shí),在原點(diǎn)O處的質(zhì)元由平衡位置向x軸正方向運(yùn)動(dòng),試寫(xiě)出此波的波函數(shù)；〔2若經(jīng)分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等,試寫(xiě)出反射波的波函數(shù),并求出在x軸上因入射波和反射波疊加而靜止的各點(diǎn)的位置。解：〔1原點(diǎn)O處質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式為入射波的波函數(shù)為,〔2由于反射時(shí)有的相位躍變,所以反射波波函數(shù)為和疊加,P點(diǎn)肯定是波節(jié),另一波節(jié)與P點(diǎn)相距,即處。練習(xí)十五1．一聲源的頻率為1080Hz,相對(duì)地面以30m/s<u向右運(yùn)動(dòng)。在其右方有一反射面相對(duì)地面以65m/s的速率向左運(yùn)動(dòng)。設(shè)1080空氣中聲速為331m/s。求：聲源在空氣中發(fā)出的聲音的波長(zhǎng)；反射回的聲音的頻率和波長(zhǎng)。解：<1>在聲源運(yùn)動(dòng)的前方,在聲源運(yùn)動(dòng)的后方<2>反射面接收到的頻率為,反射后聲音的頻率為波長(zhǎng)為2．海面上波浪的波長(zhǎng)為120m,周期為10s。一只快艇以24m/s的速度迎浪開(kāi)行。它撞擊浪峰的頻率是多大？多長(zhǎng)時(shí)間撞擊一次？如果它順浪開(kāi)行,它撞擊浪峰的頻率又是多大？多長(zhǎng)時(shí)間撞擊一次？解：波浪的速度,快艇迎浪開(kāi)行時(shí),撞擊浪峰的頻率為周期為順浪開(kāi)行時(shí),撞擊浪峰的頻率為周期為3．一驅(qū)逐艦停在海面上,它的水下聲納向一駛近的