因式分解的十二種方法

因式分解的十二種方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOnel因式分解的十二種方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOnel因式分解的十二種方法01、提公因法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式?！纠?】分解因式x3-2x2-x(2003淮安市中考題)解：原式=x(x2-2x-1)02、應(yīng)用公式法：由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，那么就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式?！纠?】分解因式a2+4ab+4b2(2003南通市中考題)解：原式=(a+2b)203、分組分解法：要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可先把它前兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式a，把它后兩項(xiàng)分成一組并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式(m+n)，從而得到(a+b)(m+n)。解：原式=(x-3)(7x+2)05、配方法：對(duì)于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式，有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。【例5】分解因式x2+3x-40解：原式=x2+3x+2丫31

-40=x+—I2丿3 13Y2-9-40=1x+342-169-~4~【例3】分解因式m2+5n-mn-5m解：原式=m2-5m-mn+5n=m(m-5)-n(m-5)=(m-n)(m-5)對(duì)于mx2+px+q形式的多項(xiàng)式，若ab=m、cd=q學(xué)丿=(x+8)(x-5)06、拆、添項(xiàng)法：可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解?！纠?】分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：原式=bc(a+b+c-a)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(a+b)+bc(c-a)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(a+b)-ab(a+b)+bc(c-a)+ca(c-a)=(c-a)b(a+b)+(b+a)c(c-a)=(a+b)(b+c)(c-a)且且ac+bd=p，則mx2+px+q可因式分解為(ax+d)(bx+c)1-s【例4】分解因式7x2-19x-6丫?07、換元法：有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)?！纠?】分解因式2x4-x3-6x2-x+2

解：原式=2(x4+1)-x(x2+1)-6X2=2(x2+1)-x(x2+1)-10x2令y=x2+1，則原式=2y2-xy-10x2=(y+2x)(2y-5x)???原式=Cx2+1+2x)2Cx2+1)-5x=(x+1)^(x-2)(2???原式=08、求根法：令多項(xiàng)式f(x)=0，求出其根x、、、、、???、、，貝V多1 2 3 n項(xiàng)式f(x)可因式分解為f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)???(x-x)。1 2 3 n【例8】分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6解：令f(x)=2x4+7x3-2x2-13x+6=0，通過(guò)綜合除法可知f(x)=0的根分別為*、-3、-2、1,則原式=(2x—l)(x+3)(x+2)(x—1)09、圖象法：令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到它與x軸的交點(diǎn)x、、、???、、，則多項(xiàng)式f(x)可因式分解為1 2 nf(x)=(x-x)(x-x)??(x-x)1 2 n【例9】分解因式x3+2x2-5x-6解：令y=x3+2x2一5x一6,作出其圖象，如右圖所示，,/1-,1r\njV??,/1-,1r\njV

???原式=(x+3)(x+l)(x—2)10、主元法：先選定一個(gè)字母為主元，再把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，然后進(jìn)行因式分解?！纠?0】分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)分析：此題可選定a為主元，將其按a的次數(shù)從高到低排列解：原式=a2(b-c)+b2c-ab2+ac2-bc2=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)=(b-c)[a2-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法：將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。【例11】分解因式x3+9x2+23x+15解：令x=2，則原式=105，將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3x5x7；注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1、、+3、+5在x=2時(shí)的值，則原式=(x+1)(x+3)(x+5)12、待定系數(shù)法：首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。【例12】分解因式x4-x3-5x2-6x-4分析：易知該多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式(理由略)，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。解：?X4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)^x