2023-2024學(xué)年新疆烏魯木齊市十中高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2023-2024學(xué)年新疆烏魯木齊市十中高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓柱的底面半徑是1，高是2，那么該圓柱的側(cè)面積是（）A.2 B.C. D.2．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.3．已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前項和為（）A. B.C. D.4．已知橢圓(a>b>0)的離心率為，則＝（）A. B.C. D.5．2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射升空，這標(biāo)志著中國空間站在軌組裝建造全面展開，我國載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略成功邁出第三步.到今天，天和核心艙在軌已經(jīng)九個多月.在這段時間里，空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段完成了5次發(fā)射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務(wù).一般來說，航天器繞地球運(yùn)行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個橢圓的一個焦點，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠(yuǎn)）的一點稱作近（遠(yuǎn)）地點，近（遠(yuǎn)）地點與地球表面的距離稱為近（遠(yuǎn)）地點高度.已知天和核心艙在一個橢圓軌道上飛行，它的近地點高度大約351km，遠(yuǎn)地點高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（）A. B.C. D.6．某校開展研學(xué)活動時進(jìn)行勞動技能比賽，通過初選，選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績，回答者對說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種7．已知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的最小項，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點與兩定點的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點為軸上一點，定點的坐標(biāo)為，若點，則的最小值為（）A. B.C. D.9．已知等差數(shù)列中，，則（）A.15 B.30C.45 D.6010．設(shè)雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.811．已知集合，集合或，是實數(shù)集，則（）A. B.C. D.12．已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是，則點到另一個焦點的距離為（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等比數(shù)列的前n項和，則的通項公式為___________.14．曲線的一條切線的斜率為，該切線的方程為________.15．?dāng)?shù)列的前項和為，則_________________.16．用1，2，3，4排成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，其中1和2不能相鄰的四位數(shù)的個數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點，且過點M（）（1）求圓C的方程；（2）已知點P是圓C上的動點，試求點P到直線的距離的最小值；18．（12分）已知橢圓一個頂點恰好是拋物線的焦點，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點P，若橢圓C上有兩個點A，B使得的平分線垂直于坐標(biāo)軸，且點B與點A的橫坐標(biāo)之差為，求直線AP的方程.19．（12分）已知空間內(nèi)不重合的四點A，B，C，D的坐標(biāo)分別為，，，，且（1）求k，t的值；（2）求點B到直線CD的距離20．（12分）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大小；（2）計算，，，由此推測計算的公式，并給出證明；21．（12分）某微小企業(yè)員工的年齡分布莖葉圖如圖所示：（1）求該公司員工年齡的極差和第25百分位數(shù)；（2）從該公司員工中隨機(jī)抽取一位，記所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件，所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件，判斷事件與是否互相獨立，并說明理由；22．（10分）設(shè)：，：.（1）若命題“，是真命題”，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由圓柱的側(cè)面積公式直接可得.【詳解】故選：D2、D【解析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，結(jié)合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.3、A【解析】求出通項，利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和.【詳解】因為等差數(shù)列，，，所以，所以，所以數(shù)列的前項和為故B，C，D錯誤.故選：A.4、D【解析】由離心率得，再由轉(zhuǎn)化為【詳解】因為，所以8a2＝9b2，所以故選：D.5、A【解析】根據(jù)遠(yuǎn)地點和近地點，求出軌道即橢圓的半長軸和半焦距，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓的半長軸為a，半焦距為c.則根據(jù)題意得;解得，故該軌道即橢圓的離心率為，故選：A6、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個元素在4個位置全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計數(shù)原理知有種情況故選：D.7、D【解析】利用最值的含義轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決即可【詳解】解：由題意可得，整理得，當(dāng)時，不等式化簡為恒成立，所以，當(dāng)時，不等式化簡為恒成立，所以，綜上，，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D8、D【解析】設(shè)，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標(biāo)求出即可.【詳解】設(shè)，，所以，由，所以，因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值，當(dāng)M在位置或時等號成立.故選：D9、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知，從而可求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)題意，可知等差數(shù)列中，，則，所以.故選：D.10、C【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，此時點為雙曲線的右頂點，即的最小值為，故選：C.11、A【解析】先化簡集合，再由集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可【詳解】，或，故故選：A12、C【解析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，故可得，又到橢圓一個焦點的距離是，故點到另一個焦點的距離為.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用的關(guān)系，結(jié)合是等比數(shù)列，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，故當(dāng)時，，則，又當(dāng)時，，因為是等比數(shù)列，故也滿足，即，故，此時滿足，則.故答案為：.14、【解析】使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得切點處的導(dǎo)數(shù)值，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義等于切線斜率求得切點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切點坐標(biāo)，然后利用點斜式求出切線方程即可.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點為，可得，解得，即有切點，則切線的方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，和求切線方程，難度不大，關(guān)鍵是正確的使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得切點處的導(dǎo)數(shù)值，15、【解析】利用計算可得出數(shù)列的通項公式.【詳解】當(dāng)時，;而不適合上式，.故答案：.16、【解析】利用插空法計算出正確答案.【詳解】先排，形成個空位，然后將排入，所以符合題意的四位數(shù)的個數(shù)為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由圓C的圓心在坐標(biāo)原點，且過點，求得圓的半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；（2）由點到直線的距離公式，求得圓心到直線l的距離為，進(jìn)而得到點P到直線的距離的最小值為，得出答案.【詳解】（1）由題意，圓C的圓心在坐標(biāo)原點，且過點，所以圓C的半徑為，所以圓C的方程為.（2）由題意，圓心到直線l的距離為，所以P到直線的距離的最小值為.【點睛】本題主要考查了圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系合理轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點坐標(biāo)，同理可得B點坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)之差為，可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線方程可得焦點為，則橢圓C的一個頂點為，即.由，解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）由題可知點，設(shè)直線AP的斜率為k，由題意知，直線BP的斜率為，設(shè)，，直線AP的方程為，即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P，A為直線AP與橢圓C的交點，∴，即.把換成，得.∴，解得，當(dāng)時，直線BP的方程為，經(jīng)驗證與橢圓C相切，不符合題意；當(dāng)時，直線BP的方程為，符合題意.∴直線AP得方程為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：兩條直線關(guān)于直線對稱，兩直線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù).19、（1），（2）【解析】（1）由，可得存在唯一實數(shù)，使得，列出方程組，解之即可得解；（2）設(shè)直線與所成的角為，求出，再根據(jù)點B到直線CD的距離為即可得解【小問1詳解】解：，，因為，所以存在唯一實數(shù)，使得，所以，所以，解得，所以，；【小問2詳解】解：，則，設(shè)直線與所成的角為，則，所以點B到直線CD的距離為.20、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）詳見解析【解析】（1）求出的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，得到，取即可得出答案.（2）由，變形求得，，，由此推測：然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【小問1詳解】的定義域為，當(dāng)，即時，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，單調(diào)遞減故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時，，即令，得，即【小問2詳解】；；由此推測：①下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①（1）當(dāng)時，左邊右邊，①成立（2）假設(shè)當(dāng)時，①成立，即當(dāng)時，，由歸納假設(shè)可得所以當(dāng)時，①也成立根據(jù)（1）（2），可知①對一切正整數(shù)都成立21、（1）極差為；第25百分位數(shù)為（2）事件和相互獨立，理由見解析【解析】（1）根據(jù)定義直接計算極差和百分位數(shù)得到答案.（2）計算