2023-2024學(xué)年浙江省溫州市普通高中數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年浙江省溫州市普通高中數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“﹣3＜m＜4”是“方程表示橢圓”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要2．已知全集，集合，則（）A. B.C. D.3．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4．若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.5．在等差數(shù)列中，若，，則公差d=（）A. B.C.3 D.－36．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用萬(wàn)元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加萬(wàn)元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬(wàn)元.設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.7．與的等差中項(xiàng)是（）A. B.C. D.8．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A.1 B.2C.4 D.69．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A. B.C. D.10．設(shè)直線與雙曲線（，）的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.11．正數(shù)a,b滿足,若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A. B.C. D.12．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)到與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列、這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23則該數(shù)列的第100項(xiàng)為（）A.4862 B.4962C.4852 D.4952二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，，則數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為_(kāi)_________14．在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式__________15．函數(shù)定義域?yàn)開(kāi)__________.16．設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓，圓.（1）試判斷圓C與圓M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相切，求直線l的方程.18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ax－2lnx（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范圍19．（12分）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是與的等差中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）已知拋物線C：，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，其中.（1）若，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）是否存在正數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，若存在，請(qǐng)求出正數(shù)m，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，以F和準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，過(guò)的直線交拋物線E于A，B兩點(diǎn)（1）求拋物線E的方程；（2）是否存在常數(shù)，使得，如果存在，求的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）證明：內(nèi)切圓的面積小于22．（10分）在如圖三角形數(shù)陣中第n行有n個(gè)數(shù)，表示第i行第j個(gè)數(shù)，例如，表示第4行第3個(gè)數(shù).該數(shù)陣中每一行的第一個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，從第三行起每一行的數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中).已知.（1）求m及；（2）記，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出方程表示橢圓的充要條件是且,由此可得答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓的充要條件是,解得且,所以“﹣3＜m＜4”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了由方程表示橢圓求參數(shù)的范圍,考查了充要條件和必要不充分條件,本題易錯(cuò)點(diǎn)警示:漏掉,本題屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)題意先求出，再利用交集定義即可求解.【詳解】全集，集合，則，故故選：B3、B【解析】求得中的取值范圍，由此確定充分、必要條件.【詳解】，，所以“”是“”的充要條件.故選：B4、A【解析】求得圓心到直線的距離，根據(jù)題意列出的不等關(guān)系式，即可求得的范圍.【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.5、C【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，6、D【解析】設(shè)該設(shè)備第年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設(shè)該設(shè)備第年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設(shè)備使用年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)用總和為，設(shè)第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，注意根據(jù)題設(shè)條件概括出數(shù)列的類(lèi)型，另外用基本不等式求最值時(shí)注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.7、A【解析】代入等差中項(xiàng)公式即可解決.【詳解】與的等差中項(xiàng)是故選：A8、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，且，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：D9、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價(jià)于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價(jià)于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A.10、C【解析】先求出，的坐標(biāo)，再求中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)滿足，可得，從而求雙曲線的離心率.【詳解】解:由雙曲線方程可知，漸近線為，分別于聯(lián)立，解得：，，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，所以，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.11、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立的類(lèi)型，求解的最大值即可.【詳解】,，且a,b為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，，，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了恒成立問(wèn)題，基本不等式求最值，二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.12、D【解析】根據(jù)題意可得數(shù)列2，3，5，8，12，17，23，，滿足：，，從而利用累加法即可求出，進(jìn)一步即可得到的值【詳解】2，3，5，8，12，17，23，后項(xiàng)減前項(xiàng)可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】用累加法求出通項(xiàng)，再由通項(xiàng)表達(dá)式確定最大項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為故答案為:14、【解析】由已知可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】解：由在數(shù)列中，若，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法，即可求解.【詳解】解：,解得,故函數(shù)的定義域?yàn)?.故答案為：.16、【解析】，，利用橢圓的定義、結(jié)合余弦定理、已知條件，可得，解得，從而可得結(jié)果【詳解】橢圓，可得，設(shè)，，可得，化簡(jiǎn)可得：，，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）圓C與圓M相交，理由見(jiàn)解析（2）或【解析】（1）利用圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷結(jié)果；（2）討論，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)則方程為，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑計(jì)算即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】把圓M的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓心為，半徑.圓C的圓心為，半徑，因?yàn)椋詧AC與圓M相交，【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為到圓心C距離為2，滿足題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由題意得，解得，故直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.18、（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)a的正負(fù)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論求解即可；（2）利用常變量分離法，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)a≤0時(shí)，在(0，＋∞)上恒成立；當(dāng)a＞0時(shí)，令得；令得；綜上：a≤0時(shí)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；a＞0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】由題意知ax－2lnx≤x－2在(0，＋∞)上有解則ax≤x－2＋2lnx，令，xg'(x)＋0－g(x)↗極大值↘所以，因此有所以a的取值范圍為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用常變量分離法利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件列式求出數(shù)列的首項(xiàng)即可作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再借助裂項(xiàng)相消法計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且是與的等差中項(xiàng)，則有，即，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，則，即有，所以.20、（1）或（2）存在，【解析】（1）確定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合拋物線方程，求得答案;（2）假設(shè)存在正數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，可推得，由此可設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入到中，可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】依題意得為的焦點(diǎn),故，解得,故，則∴點(diǎn)的坐標(biāo)或;【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在正數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),∴，設(shè)直線：，，，由,得,則，,∵，,∴,解得或（舍去）所以存在正數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).21、（1）；（2）存在，1；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)幾何關(guān)系即可求p；(2)求解為定值1，即可求λ＝1；(3)先求的面積，再由(為三角周長(zhǎng))可求內(nèi)切圓半徑r.【小問(wèn)1詳解】由題意焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于該正三角形一條邊上的高線，因此，∴拋物線E的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的斜率為，直線方程為，記，，消去，得由，得且，，，，因此，即存在實(shí)數(shù)滿足要求【小問(wèn)3詳解】由(2)知，，點(diǎn)F到直線AB的距離，∴的面積記的內(nèi)切圓半徑為r，∵，∴∴內(nèi)切圓的面積小于2