2023-2024學(xué)年江蘇省江門中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析

2023-2024學(xué)年江蘇省江門中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．以橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個(gè)橢圓的長軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是（）A. B.C. D.2．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.3．在平面直角坐標(biāo)系中，線段的兩端點(diǎn)，分別在軸正半軸和軸正半軸上滑動(dòng)，若圓上存在點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則線段長度的最小值為（）A.4 B.6C.8 D.104．直線l的方向向量為，且l過點(diǎn)，則點(diǎn)到l的距離為()A B.C. D.5．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A B.C. D.6．圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直線方程為（）A. B.C. D.7．函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C D.8．已知，，則等于（）A.2 B.C. D.9．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)＝，＝，＝，則＝（）A.++ B.+C.++ D.+10．化學(xué)中，將構(gòu)成粒子（原子、離子或分子）在空間按一定規(guī)律呈周期性重復(fù)排列構(gòu)成的固體物質(zhì)稱為晶體.在結(jié)構(gòu)化學(xué)中，可將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個(gè)個(gè)包含等同內(nèi)容的基本單位，這個(gè)基本單位叫做晶胞.已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點(diǎn)位置，O原子位于棱的中點(diǎn)）.則圖中原子連線BF與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12．2021年7月，某文學(xué)網(wǎng)站對該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿足讀者需要進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查部門隨機(jī)抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計(jì)如下表所示：滿意程度學(xué)生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設(shè)命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應(yīng)抽取人；命題：樣本中上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則P滿足性質(zhì)：點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點(diǎn)Q，使得Q到左焦點(diǎn)的距離等于它到直線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是______14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則___________，___________.15．如圖：雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，其中P在右支上，且，則的面積為___________.16．已知數(shù)列滿足，，的前項(xiàng)和為，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，設(shè)平面與平面的交線為.（1）證明：；（2）已知，為直線上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.18．（12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知直線l：，圓C：.（1）當(dāng)時(shí)，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若直線l被圓C截得的弦長恰好為，求k的值.20．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為A（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（均與A，不重合），過點(diǎn)與軸垂直的直線分別交直線，于點(diǎn)，，證明：點(diǎn)，關(guān)于軸對稱21．（12分）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA與QB的斜率分別為，，且，那么直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請說明理由.22．（10分）某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通過”者，則考試“通過”，并給予錄取.甲、乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為，在面試中“通過”的概率依次為，筆試和面試是否“通過”是獨(dú)立的，那么（1）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰獲得錄取的可能性大？（2）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和長軸端點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得雙曲線的a，b，c，再求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵橢圓的方程為＋＝1，∴橢圓的長軸端點(diǎn)坐標(biāo)為，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴雙曲線方程為，故選：B.2、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.3、C【解析】首先求點(diǎn)的軌跡，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有交點(diǎn)，即根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，問題轉(zhuǎn)化為圓與圓有交點(diǎn)，所以，，即，解得：，所以線段長度的最小值為.故選：C4、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可計(jì)算.【詳解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距離故選：C.5、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于，原函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于，原函數(shù)單調(diào)遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得：時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)A、B，當(dāng)時(shí)，先正后負(fù)，所以在先增后減，因選項(xiàng)C是先減后增再減，故排除選項(xiàng)C，故選：D.6、B【解析】兩圓的方程消掉二次項(xiàng)后的二元一次方程即為公共弦所在直線方程.【詳解】由x2＋y2－4＝0與x2＋y2－4x＋4y－12＝0兩式相減得：，即.故選：B7、D【解析】函數(shù)|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，因?yàn)?，所以排除選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，有一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)故選：D.8、D【解析】利用兩角和的正切公式計(jì)算出正確答案.【詳解】.故選：D9、B【解析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理即可得出【詳解】如圖所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故選：B10、C【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)立方體的棱長為，求出的值，即可得到答案；【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)立方體的棱長為，則，，，，連線與所成角的余弦值為故選：C.11、D【解析】當(dāng)時(shí)，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點(diǎn)：等比數(shù)列12、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應(yīng)抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分，由方差公式計(jì)算方差可判斷，再由復(fù)合命題的真假判斷四個(gè)選項(xiàng)，即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橥诵葑鍛?yīng)抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】若Q到的距離為有，由題設(shè)有，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)，即可求離心率的范圍.【詳解】由題意，，即，整理有，所以或，若Q到的距離為，則Q到左、右焦點(diǎn)的距離分別為、，又Q在C的右支上，所以，則，又，綜上，雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若Q到的距離為，根據(jù)給定性質(zhì)有Q到左、右焦點(diǎn)的距離分別為、，再由雙曲線性質(zhì)及已知條件列不等式組求離心率范圍.14、①.②.【解析】第一空：由，代入已知條件，即可解得結(jié)果；第二空：由與關(guān)系可推導(dǎo)出之間的關(guān)系，再由遞推公式即可求出通項(xiàng)公式.【詳解】，可得由，可知時(shí)，故時(shí)即可化為又故數(shù)列是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式故答案為：①；②15、24【解析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出，，再利用雙曲線的對稱性計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，又，解得，，則有，即，連接，如圖，因過原點(diǎn)O的直線與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知，P，Q關(guān)于原點(diǎn)O對稱，因此，四邊形是平行四邊形，，所以的面積為24.故答案為：2416、【解析】分析出當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，可求得的值，再分析出當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，可求得的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】由題知，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，于是,，，，，所以.又因?yàn)楫?dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，且，所以兩式相加可得，于是，兩式相減得.所以，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于分析出當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，以及當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，找出規(guī)律，結(jié)合并項(xiàng)求和法求出以及的值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由可證得平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用線面角的向量求法可表示出，分別在、和三種情況下，結(jié)合基本不等式求得所求最大值.【小問1詳解】四邊形為正方形，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由（1）知：，則可設(shè)，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號）；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：直線與平面所成角正弦值的最大值為.18、（1），；（2）.【解析】（1）由，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得、的值，即可得的通項(xiàng)公式，再根據(jù)列出關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）可得，根據(jù)錯(cuò)位相減法，利用等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】（1）等比數(shù)列的公比，所以，設(shè)等差數(shù)列公差為因?yàn)?，，所以，即所以?）由（1）知，，因此從而數(shù)列的前項(xiàng)和,,,兩式作差可得,,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)、等比數(shù)列的求和公式以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用“錯(cuò)位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解,在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.19、（1）相離，理由見解析；（2）0或【解析】（1）求出圓心到直線的距離和半徑比較即可判斷；（2）求出圓心到直線的距離，利用弦長計(jì)算即可得出.【詳解】（1）圓C：的圓心為，半徑為2，當(dāng)時(shí)，線l：，則圓心到直線的距離為，直線l與圓C相離；（2）圓心到直線的距離為，弦長為，則，解得或.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，證明出，即可證明關(guān)于軸對稱.【小問1詳解】由題意得，，所以直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得解得或，當(dāng)時(shí)，，所以【小問2詳解】設(shè)，，的方程為，聯(lián)立消去得，則，直線的方程為，設(shè)，則，直線的方程為，設(shè)，則，因?yàn)?，即，所以點(diǎn)，關(guān)于軸對稱21、（1）（2）恒過點(diǎn)【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，再根據(jù)的取值范圍，得到，再根據(jù)離心率求出、，最后根據(jù)，求出，即可得解；（2）設(shè)、，表示出、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而得到，再將、代入計(jì)算可得；【小問1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，又，所以、，因?yàn)?，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：設(shè)、，依題意可得、，所以、，聯(lián)立得，則即，所以、，因?yàn)椋裕矗傻茫矗裕?/p>