人教版數(shù)學(xué)八年級上冊 13.3.1 等腰三角形

13.3等腰三角形13.3.1等腰三角形第1課時等腰三角形的性質(zhì)1.理解掌握等腰三角形的性質(zhì).2.運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)算.3.觀察等腰三角形的對稱性、發(fā)展形象思維.4.通過實(shí)踐、觀察、證明等腰三角形的性質(zhì),發(fā)展學(xué)生推理能力.5.通過運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題,提高運(yùn)用知識和技能解決問題的能力.6.引導(dǎo)學(xué)生對圖形的觀察、發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,并在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解答問題的活動中取得成功的體驗(yàn).【教學(xué)重點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)及應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】等腰三角形的證明.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識問題1讓學(xué)生根據(jù)自己的理解,做一個等腰三角形.要求學(xué)生獨(dú)立思考,動手做圖后,再互相交流評價(jià).可按下列方法做出:作一條直線l,在l上取點(diǎn)A,在l外取點(diǎn)B,作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)C,連接AB,AC,CB,則可得到一個等腰三角形.問題2老師拿出事先準(zhǔn)備好的長方形紙片,按下圖方式折疊剪裁.觀察并討論:△ABC有什么特點(diǎn)?教師指導(dǎo),并介紹等腰三角形的相關(guān)概念,及等腰三角形是軸對稱圖形.【教學(xué)說明】教師講課前，先讓學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.二、思考探究，獲取新知教師依據(jù)學(xué)生討論發(fā)言的情況,歸納等腰三角形的性質(zhì):①∠B=∠C→兩個底角相等.②BD=CD→AD為底邊BC上的中線.③∠BAD=∠CAD→AD為頂角∠BAC的平分線.∠ADB=∠ADC=90°→AD為底邊BC上的高.指導(dǎo)學(xué)生用語言敘述上述性質(zhì).性質(zhì)1等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成:“等邊對等角”).性質(zhì)2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線,底邊上的高重合(簡記為:“三線合一”).教師指導(dǎo)對等腰三角形性質(zhì)的證明.1.證明等腰三角形底角的性質(zhì).教師要求學(xué)生根據(jù)猜想的結(jié)論畫出相應(yīng)的圖形,寫出已知和求證.在引導(dǎo)學(xué)生分析思路時強(qiáng)調(diào):(1)利用三角形全等來證明兩角相等.為證∠B=∠C,需證明以∠B,∠C為元素的兩個三角形全等,需要添加輔助線構(gòu)造符合證明要求的兩個三角形.(2)添加輔助線的方法可以有多種方式:如作頂角平分線,或作底邊上的中線,或作底邊上的高等.2.證明等腰三角形“三線合一”的性質(zhì).【教學(xué)說明】在證明中,設(shè)計(jì)輔助線是關(guān)鍵,引導(dǎo)學(xué)生用全等的方法去處理,在不同的輔助線作法中,由輔助線帶來的條件是不同的,重視這一點(diǎn)，要求學(xué)生板書證明過程,以體會一題多解帶來的體驗(yàn).例如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度數(shù).解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等邊對等角).設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教學(xué)說明】等腰三角形“等邊對等角”及“三線合一”性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)由邊到角的轉(zhuǎn)化，從而可求出相應(yīng)角的度數(shù).要在解題過程中,學(xué)會從復(fù)雜圖形中分解出等腰三角形,用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想解決幾何問題.三、運(yùn)用新知，深化理解第1組練習(xí):1.如圖,在下列等腰三角形中,分別求出它們的底角的度數(shù).2.如圖，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底邊BC上的高,標(biāo)出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度數(shù),指出圖中有哪些相等線段.3.如圖,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度數(shù).第2組練習(xí):1.如果△ABC是軸對稱圖形,則它一定是()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形2.等腰三角形的一個外角是100°,它的頂角的度數(shù)是()A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°3.已知等腰三角形的腰長比底邊多2cm,并且它的周長為16cm.求這個等腰三角形的邊長.4.如圖，在△ABC中，過C作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，DE∥AB交AC于E.求證:AE=CE.【教學(xué)說明】等腰三角形解邊方面的計(jì)算類型較多,引導(dǎo)學(xué)生見識不同類型,并適時概括歸納,幫學(xué)生形成解題能力,注意提醒學(xué)生分類討論思想的應(yīng)用.【答案】第1組練習(xí)答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠C=38.5°第2組練習(xí)答案:1.C2.C3.設(shè)三角形的底邊長為xcm,則其腰長為(x+2)cm,根據(jù)題意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三邊長為4cm,6cm和6cm.4.延長CD交AB的延長線于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠ACD.又∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可證:AE=DE.∴AE=CE.四、師生互動，課堂小結(jié)這節(jié)課主要探討了等腰三角形的性質(zhì),并對性質(zhì)作了簡單的應(yīng)用.請學(xué)生表述性質(zhì),提醒每個學(xué)生要靈活應(yīng)用它們.學(xué)生間可交流體會與收獲.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題13.3”中選取.2.完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí).本課時應(yīng)把重點(diǎn)放在逐步展示知識的形成過程上，先讓學(xué)生通過剪紙認(rèn)識等腰三角形；再通過折紙猜測、驗(yàn)證等腰三角形的性質(zhì)；然后運(yùn)用全等三角形的知識加以論證.由特殊到一般、由感性上升到理性，邏輯演繹，層層展開，步步深入.第2課時等腰三角形的判定1.理解掌握等腰三角形的判定.2.運(yùn)用等腰三角形判定進(jìn)行證明和計(jì)算.3.通過推理證明等腰三角形的判定定理,發(fā)展學(xué)生的推理能力,培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納問題的能力.4.引導(dǎo)學(xué)生觀察,發(fā)現(xiàn)等腰三角形的判定方法,獲得成功的感受，并在這個過程中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣.【教學(xué)重點(diǎn)】等腰三角形的判定定理.【教學(xué)難點(diǎn)】等腰三角形判定定理的證明.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識先請學(xué)生回憶等腰三角形的性質(zhì),再向?qū)W生提出下列問題.問題1如圖,位于海上A,B兩處的兩艘救生船接到O處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警,當(dāng)時測得∠A=∠B.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā),能不能大約同時趕到出事地點(diǎn)(不考慮風(fēng)浪因素).引導(dǎo)學(xué)生作如下思考:(1)應(yīng)該能同時趕到出事地點(diǎn),因?yàn)閮伤揖壬乃俣认嗤?同時出發(fā),在相同的時間內(nèi)走過的路程應(yīng)該相同,也就是OA=OB,所以兩船能同時趕到出事地點(diǎn).(2)能同時趕到O點(diǎn)位置的一個很重要的因素是∠A=∠B,也就是說如果∠A不等于∠B,那么同時以同樣的速度出發(fā)就不能同時趕到出事地點(diǎn).【教學(xué)說明】教師講課前，先讓學(xué)生完成“自主預(yù)習(xí)”.問題2根據(jù)上述探究,考慮:“在一個三角形中，如果兩個角相等，那么它們所對的邊也相等”，并證明這個結(jié)論.1.指導(dǎo)學(xué)生表述結(jié)論并寫出證明過程.2.指出表述要嚴(yán)謹(jǐn),如不能說成：“如果一個三角形的兩個底角相等，那么它是等腰三角形”.二、思考探究，獲取新知例1求證：如果一個三角形的一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.【教學(xué)說明】本題是文字?jǐn)⑹龅淖C明題,先應(yīng)將文字語言轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)語言,再根據(jù)題意畫出相應(yīng)的幾何圖形.要證明這個問題,由特征結(jié)論聯(lián)想“等角對等邊”，而等角由已知的平行線和角平分線可推得.例2如圖,標(biāo)桿AB高5m,為了將它固定,需要由它的中點(diǎn)C向地面上與點(diǎn)B距離相等的D,E兩點(diǎn)拉兩條繩子,使得D,B,E在一條直線上,量得DE=4m,繩子CD和CE要多長?【教學(xué)說明】這是一個與實(shí)際生活相關(guān)的問題,要解決這類問題,需要將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型.本題的實(shí)質(zhì)是已知等腰三角形的底邊和底邊上的高,求腰長的問題.解：如圖(2),選取比例尺為1∶100.①作線段DE=4cm.②作線段DE的垂直平分線MN,與DE交于點(diǎn)B.③在MN上截取BC=2.5cm.④連接CD,CE,△CDE就是所求的等腰三角形,量出CD的長,就可以計(jì)算出要求的繩長.例3如圖,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE分別是兩腰上的中線.求證:BD=CE.證明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角).又∵CD=AC,BE=AB,∴CD=BE.在△BEC和△CDB中,∵BE=CD,∠ABC=∠ACB,BC=CB,∴△BEC≌△CDB(SAS).∴BD=CE.三、運(yùn)用新知，深化理解1.如圖,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分別計(jì)算∠1,∠2的度數(shù),并說明圖中有哪些等腰三角形.2.如圖，把一張矩形的紙沿對角線折疊,重合部分是一個等腰三角形嗎?為什么?3.如圖,AC和BD相交于點(diǎn)O,AB∥DC,OA=OB.求證:OC=OD.4.如圖,在△ABD中,C是BD上的一點(diǎn),且AC⊥BD,AC=BC=CD.(1)求證:△ABD是等腰三角形.(2)求∠BAD的度數(shù).【教學(xué)說明】上述習(xí)題要引導(dǎo)學(xué)生邊做題邊總結(jié),熟悉等腰三角形的性質(zhì)與判定常與哪些知識在一起應(yīng)用,等腰三角形性質(zhì)與判定間有什么區(qū)別與聯(lián)系,并鼓勵學(xué)生探究一題多解的方法.【答案】1.∠1=72°,∠2=36°;等腰三角形有:△ABC、△ABD、△BCD2.是等腰三角形,可證得∠1=∠23.∵OA=OB,∴∠A=∠B.又∵AB∥DC,∴∠A=∠C,∠B=∠D.∴∠C=∠D,∴OC=OD(等角對等邊).4.(1)證明:∵AC⊥BD,∴∠ACB=∠ACD=90°.又∵AC=AC,BC=CD,∴△ACB≌△ACD(SAS).∴AB=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等).∴△ABD是等腰三角形.(2)由(1)可知AB=AD,∴∠B=∠D.又∵AC=BC,∴∠B=∠BAC,∴AC=CD.∴∠D=∠DAC.在△ABD中,∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°.∴2(∠BAC+∠DAC)=180°,∴∠BAC+∠DAC=90°,即∠BAD=90°.四、師生互動，課堂小結(jié)利用問題指導(dǎo)學(xué)生總結(jié):問題1你學(xué)會了幾種判定等腰三角形的方法?問題2等腰三角形性質(zhì)與判定有哪些聯(lián)系和區(qū)別?【總