2023高一數(shù)學(xué)暑假精講精練2.2基本不等式新人教A版

2．2基本不等式知識點一基本不等式1．如果a>0，b>0，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．變形：ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．知識點二用基本不等式求最值用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值應(yīng)注意：一正二定三相等.(1)a，b是正數(shù)；(2)①如果ab等于定值P，那么當(dāng)a＝b時，和a＋b有最小值2eq\r(P)；②如果a＋b等于定值S，那么當(dāng)a＝b時，積ab有最大值eq\f(1,4)S2.(3)討論等號成立的條件是否滿足．題型一、基本不等式比較大小1．已知a，b>1且a≠b，下列各式中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為a，b>1，a≠b，由基本不等式得：，由不等式性質(zhì)得：，又，所以.故選：D2．(多選)當(dāng)a，時，下列不等關(guān)系不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】A：當(dāng)時，顯然不成立；B：當(dāng)時，不成立；C：由重要不等式知：當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；D：當(dāng)時，不成立.故選：ABD3．（多選）若，且，則在四個數(shù)中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由于，則，又，所以，又，即.故選：ABD題型二、基本不等式求和的最小值1．（1）若，求的最小值，并求此時的值．（2）若實數(shù)，求的最小值，并求此時的值．（3）求函數(shù)的最小值．（4）已知，求的最小值.（5）已知，求函數(shù)的最大值．【答案】（1）4，；（2）3，；（3）；（4）；（5）1【詳解】（1）由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，取等號，所以的最小值是，此時；（2）由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值是，此時.（3）因為，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為；（4）因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，取得最小值.（5），.，當(dāng)且僅當(dāng),時，.2．已知，求的最小值．【答案】．【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.題型三、基本不等式求積的最大值1．（1）已知，且，求的最大值；（2）已知，，且，求的最大值．（3）已知，，且滿足，求的最大值【答案】（1）32；（2）；（3）3.【詳解】（1）已知，且，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，mn的最大值為64．∴的最大值為32．（2）由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，解得，即的最大值為．（3）因為，且，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取得最大值．2．（1）已知，求函數(shù)的值域；（2）已知，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）因為，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以函數(shù)的值域為；（2）∵，∴．∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故當(dāng)時，．3．已知正數(shù)滿足，求下列式子的最大值．(1)(2)【答案】(1)8；(2)4.【詳解】(1)由題可知，，，，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為8.(2)由題可知，，，，則，則，由于，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為4.題型四、二次與二次（或一次）的商式的最值1．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值．（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值.（3）已知，求最小值.【答案】（1）；（2）；（3）9【詳解】（1）因為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.故答案為：.（2）當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以當(dāng)時，函數(shù)取最小值.（3），因為，所以，，由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為92．若，求函數(shù)的最小值.【答案】4.【詳解】因為，令，則，故原函數(shù)的最小值，即的最小值.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值4.題型五、基本不等式“1”的妙用求最值1．觀察下面的解答過程：已知正實數(shù)a，b滿足，求的最小值．解：∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合得，時等號成立，∴的最小值為．請類比以上方法，解決下面問題：(1)已知正實數(shù)x，y滿足，求的最小值；(2)已知正實數(shù)x，y滿足，求的最小值．【答案】(1)9；(2)【詳解】(1)由正實數(shù)x，y滿足得:，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合得，時等號成立，∴的最小值為9．(2)正實數(shù)x，y滿足,得，故，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合得，時等號成立，∴的最小值為．2．（1）若正數(shù)滿足，求的最小值.（2）已知，且，求的最小值．（3）已知且，求的最小值．【答案】(1)；（2）16；（3）2．【詳解】（1）因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.(2)因，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，由解得：，所以，當(dāng)時，取最小值16.（3）因為且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．所以所求最小值為2．3．已知，，且，求的最小值．【答案】.【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為．題型六、條件等式求最值1．求解下列問題：(1)若，且，求的最小值；(2)若，且，求的最小值.【答案】(1)；(2)【詳解】(1)因為，且，所以，則.當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，也即時，上式取等號，故當(dāng)時.(2)因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)吋，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取等號，故當(dāng)時，.2．設(shè)x＞0，y＞0.(1)若x+2y＝4，求的最大值；(2)若x+2y＝5，求的最小值；(3)求的最小值.【答案】(1)2；(2)；(3)【詳解】(1)，由基本不等式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故的最大值為2；(2)因為，所以因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故的最小值為；(3)因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為.3．已知正數(shù)a，b滿足(1)求ab的最大值；(2)求的最小值．【答案】(1)1；(2).【詳解】(1)因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴當(dāng)時，有最大值1．(2)因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，的最小值.4．已知正實數(shù)，滿足，求的最小值.【答案】0.【詳解】由題意，正實數(shù)，滿足，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值.題型七、基本不等式的恒成立問題1．已知，．(1)若，，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)m的最小值；(3)若．且恒成立，求正實數(shù)a的最小值．【答案】(1)；(2)－4；(3)4【詳解】(1)∵，∴，∴恒成立等價于恒成立．又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時等號成立．∴，∴．故實數(shù)m的取值范圍是．(2)∵，，∴恒成立等價于恒成立．又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，∴，即．∴實數(shù)的最小值為－4．(3)∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．又恒成立，∴，∴或（舍去），∴．故正實數(shù)的最小值為4．2．已知，，且.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的最大值.【答案】（1）8；（2）4.【詳解】（1）因為，所以.因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，則.即當(dāng)且僅當(dāng)，時，取得最小值.（2）要使恒成立，只需恒成立.因為，所以.由（1）可知，所以，即，則，故的最大值是.題型八、對勾函數(shù)求最值1．(1)已知，求的最大值，并求此時x的值；(2)已知，求的最小值(提示：利用圖像助解)．【答案】(1)時，；(2)．【詳解】(1)，當(dāng)且僅當(dāng)時，；(2)作出的圖像，可知函數(shù)在時單調(diào)遞增，∴時，．2．已知，則的最值為（

）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3【答案】C【詳解】因為，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值3；令，對函數(shù)，其在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，無最大值.故時，無最大值.故選：C.3．（1）求函數(shù)在上的最小值；（2）若函數(shù)在上的最小值為6，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1），當(dāng)時，即時等號成立，所以函數(shù)在上的最小值是；（2）由（1）區(qū)間包含元素3，所以；（3）函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，若函數(shù)在上是減函數(shù)，則.4．求下列函數(shù)的最值：（1）已知函數(shù)，求此函數(shù)的最大值（2）已知，求的最小值．【答案】（1）；（2）12.【詳解】（1）因為，所以．則，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號．因此當(dāng)時，函數(shù)有最大值．（2）因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．所以的最小值為12題型九、有關(guān)基本不等式的應(yīng)用題1．某地政府為增加農(nóng)民收人，根據(jù)當(dāng)?shù)氐赜蛱攸c，積極發(fā)展農(nóng)產(chǎn)品加工業(yè).經(jīng)過市場調(diào)查，加工某農(nóng)產(chǎn)品需投入固定成本3萬元，每加工噸該農(nóng)產(chǎn)品，需另投入成本萬元，且已知加工后的該農(nóng)產(chǎn)品每噸售價為10萬元，且加工后的該農(nóng)產(chǎn)品能全部銷售完.(1)求加工后該農(nóng)產(chǎn)品的利潤（萬元）與加工量（噸）的函數(shù)關(guān)系式；(2)求加工后的該農(nóng)產(chǎn)品利潤的最大值.【答案】(1)(2)最大值6萬元【詳解】(1)當(dāng)時，.當(dāng)時，.故加工后該農(nóng)產(chǎn)品的利潤（萬元）與加工量（噸）的函數(shù)關(guān)系式為：(2)當(dāng)時，，所以時，取得最大值5萬元；當(dāng)時，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)時，取得最大值6萬元，因為，所以當(dāng)時，取得最大值6萬元.2．如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形生態(tài)種植園．設(shè)生態(tài)種植園的長為，寬為．(1)若生態(tài)種植園面積為，則為何值時，可使所用籬笆總長最??？(2)若使用的籬笆總長度為，求的最小值．【答案】(1)為，為；(2).【詳解】(1)由已知可得，而籬笆總長為，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，菜園的長為，寬為時，可使所用籬笆總長最?。?2)由已知得，，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，的最小值是．3．運貨卡車以千米/時的速度勻速行駛300千米，按交通法規(guī)限制(單位千米/時)，假設(shè)汽車每小時耗油費用為元，司機(jī)的工資是每小時元．（不考慮其他因所素產(chǎn)生的費用）(1)求這次行車總費用(元)關(guān)于(千米/時)的表達(dá)式；(2)當(dāng)為何值時，這次行車的總費用最低？求出最低費用的值．【答案】(1)(2)當(dāng)時，這次行車的總費用最低，最低費用為元【詳解】(1)行車所用時間，汽油每小時耗油費用為元，司機(jī)的工資是每小時元，所以行車總費用為：；(2)因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以當(dāng)時，這次行車的總費用最低，最低費用為元.題型十、證明不等式1．證明：(1)；(2)．【詳解】(1)，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；(2)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號﹒2．已知.證明：；【詳解】，所以，得證.3．已知正數(shù)，滿足，證明：【詳解】，則是正實數(shù)，，當(dāng)時等號成立，，當(dāng)時等號成立，，當(dāng)時等號成立，，所以.1．若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于選項A：∵，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴A錯誤；對于選項B：，，∴B錯誤；對于選項C：，因為∴C錯誤；對于選項D：∵，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，D正確；故選：D2．若，且，則下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】取滿足，且，此時，A錯誤；取滿足，且，此時，B錯誤；可得，C正確；取滿足，且，此時，D錯誤.故選：C.3．若，且，試找出2，2ab中的最大者．【答案】a＋b最大【詳解】∵，且，∴,，∴四個數(shù)中最大者應(yīng)從中選擇．而，∵，∴，∴，即最大.4．(1)當(dāng)x＞0時，求＋4x的最小值；(2)當(dāng)x＞1時，求2x＋的最小值.【答案】(1)；(2)10.【詳解】(1)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，當(dāng)時，的最小值為；(2)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.當(dāng)時，的最小值為10.5．已知，求最大值.【答案】.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，取得最大值6．（1）已知，求的最小值；（2）已知，，求的最大值.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.（2）因為，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為.7．當(dāng)x<時，求函數(shù)y＝x＋的最大值.【答案】【詳解】∵當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.于是，故函數(shù)有最大值.8．已知，且，求的最小值.【答案】16.【詳解】，且，，即的最小值為16，當(dāng)且僅當(dāng)，，時取等號.9．（1）已知，求的最大值．（2）已知，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）∵，∴．∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故當(dāng)時，．（2）∵，∴．根據(jù)基本不等式得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故當(dāng)時，．10．（1）若對成立，求a的取值范圍；（2）若x>-3，求函數(shù)最小值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）若對成立，恒成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，所以；（2）若，化簡函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時，得到最小值為.11．已知，，，求的最小值并求出此時a，b的值.【答案】的最小值為，此時.【詳解】由得：，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為，此時.12．已知，且，求ab的最大值.【答案】【詳解】因，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，即，于是得，所以當(dāng)時，ab取最大值.13．已知x，y都是正實數(shù)．(1)求證：；(2)若，求的最小值．【詳解】(1)∵，，∴，，∴，又，∴，∴．即得證.(2)∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時取等號．故的最小值為9.14．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）6；（2）或【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，（2）由（1）知的最小值為6，要使不等式恒成立，只需，所以，所以，解得或.15．已知.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，有最小值16.（2）∵，∴，，∴，當(dāng)時，有最大值，∵恒成立，∴.16．如圖，公園的管理員計劃在一面墻的同側(cè)，用彩帶圍成四個相同的長方形區(qū)域.若每個區(qū)域的面積為m，要使圍成四個區(qū)域的彩帶總長最小，則每個區(qū)域的長和寬分別是多少米？求彩帶總長的最小值.【答案】每個區(qū)域的長和寬分別是m和m時，彩帶總長最小，最小值為m【詳解】設(shè)每個區(qū)域的長為，寬為，由題意得，，，則彩帶總長==，當(dāng)且僅當(dāng)，即且等號成立，所以每個區(qū)域的長和寬分別是和時，彩帶總長最小，最小值為.17．某商廈欲在春節(jié)期間對某新上市商品開展促銷活動，經(jīng)測算該商品的銷售量為萬件與促銷費用萬元滿足.已知萬件該商品的進(jìn)價成本為萬元，商品的銷售價格定為元/件.(1)將該商品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù)；(2)促銷費用投入多少萬元時，商家的利潤最大？最大利潤為多少？【詳解】(1)由已知可得，其中.(2)（萬元），當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，當(dāng)促銷費用投入萬元時，商家的利潤最大，最大利潤為萬元.1．（多選）已知，則a，b滿足（

）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】由，則,則所以，所以選項A不正確.,所以選項B不正確.由，因為，故等號不成立，則，故選項C正確.因為，故等號不成立，故選項D正確.故選：CD2．（多選）設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且時取等號，故A一定成立由做差比較法,，可知成立故B一定成立．因為所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以不一定成立，故C不成立．因為4，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D一定成立.故選：ABD3．（多選）若，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】A.因為，所以，所以，則，故正確；B.，而，取不到等號，故正確；C.因為，所以，故錯誤；D.因為，所以，所以，故正確；故選：ABD4．（多選）設(shè)a＞0，b＞0，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】A.，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故正確；B.因為，正負(fù)不定，故錯誤；C.，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，故正確；D.，故正確；故選：ACD5．（多選）已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ABCD【詳解】A.由不等式可知，，故A正確；B.，由，，且，可知，，，所以，故B正確；C.，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，故C成立；D.，即，故D正確.故選：ABCD6．（多選）若a＞b＞0＞c，則(

)A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】A：，∵，，，，故A正確；B：，∵，∴，，故B正確；C：時，在單調(diào)遞減，∵，故C錯誤；D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等號取不到，故，故D正確.故選：ABD.7．若正數(shù)，滿足，求的最小值.【答案】5【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為5．8．（1）求函數(shù)的最小值；（2）解關(guān)于的不等式：.【詳解】(1)由題意知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故函數(shù)的最小值為.(2)由題意知，原不等式可變形為：，不等式對應(yīng)的方程為：，解得，當(dāng)時，不等式的解集為：，當(dāng)時，不等式的解集為：，當(dāng)時，不等式的解集為:.9．（1）已知，求函數(shù)的值域；（2）已知，，且，求：的最小值．【詳解】（1）設(shè)，因為，可得，且，故，因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立．所以函數(shù)的值域為．（2）由，可得，即，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，等號成立，所以的最小值為．10．若，求的最小值；【詳解】設(shè)，則，所以，當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為12.11．已知，，且.(1)求的最大值.(2)若，求的最小值.【答案】(1)；(2)9【詳解】(1)由正數(shù)x，y滿足，平方作差可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴由，，且可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取等號，所以的最大值為.(2)因為，，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值是9.12．已知正數(shù)滿足.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【答案】(1)；(2)【詳解】(1)，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，，故當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值，為；(2)由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立，的最小值為9；故答案為：，9.13．已知，求函數(shù)的最小值．【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為3．14．（1）已知，，，求的最小值，及此時x、y的值；（2）已知，，，求的最小值，及此時x、y的值．【詳解】（1）因為，即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時取等號．所以的最小值為18，此時，（2）因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時取等號．所以的最小值為64，此時，15．（1）比較與的大小.（2）當(dāng)，，且滿足時，有恒成立，求的取值范圍.【詳解】（1）作差得：（i）當(dāng)時，，故；（ii）當(dāng)時，，故；（iii）當(dāng)時，，故.2故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立依題意必有，即，得，所以k的取值范圍為．16．求下列函數(shù)的最值(1)已知，求的最小值；(2)已知0＜x＜1，求的最大值；(3)已知，且，求的最小值.【詳解】(1)∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，∴的最小值為9.(2)因為0＜x＜1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最大值為.(3)因為，且，所以，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即b＝，a＝時取等