與三角形高上任一點(diǎn)相關(guān)相等問題

(上海市格致中學(xué)

λc

+a

-1+μb

+h

-1=1994年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克有一道幾

取λ1,μ=-1DE 從△ABC的頂點(diǎn)A引BC的

xc

+ya

=1b1h,D,ADH,BH1b1h

DFACECH交ABFADEDDF所成的角1]

x1-

+y1-

=證明:如圖1,先建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A0,a)、Bb,0)、C(c0)、H(0,h).則ACBH 圖

kDE=-kDFADEDDF所成的角1及同一法易得 點(diǎn)EF分別在ACAB上,∠ADE=∠ADF.BECF的交點(diǎn)在高線AD上 當(dāng)點(diǎn)H在AD上變化時(shí),直x+y

=1,b

+h

=

EFBC上的一個(gè)定點(diǎn),E

:設(shè)EFBCP.由梅涅勞斯定理(PEFABC收稿日期:2005-10-

EAFB

EAFB,再次同中求異只有一個(gè)端點(diǎn)是紅色,所以,在上面統(tǒng)計(jì)一端為紅色的線段的數(shù)目中,只被計(jì)入了一次第統(tǒng)計(jì)中,被計(jì)入了兩次于是,可得出所有的紅一次至此,問題里的關(guān)系已全部理清.:根據(jù)題意可計(jì)算得出點(diǎn)陣中相鄰兩480條.x條紅線段.又已知黃線段196,根據(jù)上述分析有

2x+196=4+96+396=x,150條紅線段480-196-150134條,134條藍(lán)線段32個(gè)紅點(diǎn)在方陣的邊界上2個(gè)紅點(diǎn)在方196條黃線段這些具體的數(shù)字和數(shù)字之間的各種巧合關(guān)系,而在于怎樣分析性質(zhì)這些內(nèi)在規(guī)律,,上面列舉的這些數(shù)字無(wú)論怎么變動(dòng),解題的鑰匙始終握在我們的手中.

PF

BD-

PAB的高,P,EF恒過(guò)定點(diǎn) 若BC上存在點(diǎn)P滿足BP

1EFCFD1例 如圖3,在銳角△ABC中,AO平DCBDCP四點(diǎn)成調(diào)和點(diǎn)列)PEF,ADBECF,∠ADE=證明由梅涅勞斯定理直線PEF

∠BAC過(guò)點(diǎn)O分OPOQ其垂足分別為PQ線段CPBQ交于點(diǎn)W.延長(zhǎng)AW交 圖EAFB

F求證 ·CEAFBD= ·EAFBADBECF三線共點(diǎn).1ADE=1l的一側(cè)畫一個(gè)半圓Γ,CD是Γ,ΓCD的切線lBA半圓的圓心在線段EACBD,Fl上的,EF⊥l.求證:EFCFD[2].:2ADBC交PPF′⊥F.DO、四點(diǎn)共 F.FBO 平分線及PC=PD PC

1例3 設(shè)BC是⊙O直徑,在BC所在的直線上取兩點(diǎn)D(在BC間)P,滿足BDBP,POPEF求證∠BDF=∠CDE∠OFD=∠OED=∠FPO證明:1)4,BFCE交于A.由結(jié)論BECF知AD⊥BC, 圖,∠ADF=∠BDF=(2BFHDCEHD分別四點(diǎn)∠FDH=∠FBH=∠ECH=∠EDH.EDF=2∠FBE=∠EOF.ODEF四點(diǎn)共圓BDF=∠OPF+=∠OPF+∠EODCDE=∠EOD+∠OED,∠OFD=∠OED=∠FPO 324IMO2題例 已知A為平面上兩半徑不等⊙O1O2的一個(gè)交點(diǎn)兩外公切線P1P2Q1Q2分別切兩圓于P1P2Q1Q2,M1M2分別是P1Q1P2Q2的中點(diǎn).求證:∠O1AO2=∠M1AM25設(shè)P1P2Q1Q2交O1HO1O2DE111111

B1B2O1O2S4∠O1P1M1=∠O1SP11Q.SQA2=∠S1A1=∠SA1P1似),A1A2QP1四點(diǎn)共圓,P2Q重合O1P1M1=∠O1SP1=∠O2P2M2例 如圖7,在四邊形ABCD中,對(duì)ACF,DFBCG求證∠GAC=(1999全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽進(jìn)一步可得DM1M1 3O1AM1=∠AHO1∠AHO2=∠O2AM2∠O1AO2=∠M1AM231990年中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)15題3]例5 已知⊙O1和⊙O2外離,兩條公切線分別切⊙O1于A1B1,切⊙O2于A2、B2,弦A1B1A2B2分別交直線O1O2于M1M2⊙OA1A2O1O2P1P2求證:∠O1P1M1=∠O2P2M2:,命題顯然成立6當(dāng)兩圓半徑不等時(shí)設(shè)A1A2

:AB=AD,ABCD是箏,結(jié)論成立.AB≠ADAAC的垂線與2知,BAC=∠DACBNDMHAC上BNEDMG,BNDM的HBEDGFNEMG的交C,BD、MNEG三線共點(diǎn).34知∠GAC=注BGNDEM因?yàn)锽D、GENM三線共點(diǎn)由笛沙格定理知BNDMHBGDECGNEMAC.1得例 設(shè)H是銳角△ABC的高線CP圖 的任一點(diǎn),直線AHBH分別交BCAC于(1證明∠NPC=∠MPC(2設(shè)OMNCP,一條通過(guò)OCNHMD、E兩點(diǎn).證明:∠EPC=∠DPC.(2003保加利亞數(shù)學(xué)奧林匹克

OPABBFQT,OMQFS.求證:ETS三點(diǎn)共線.引理的證明:9FCB截△AED得(11即得

AFDC(2)8,延長(zhǎng)PEACG聯(lián)結(jié)PDAM交于K.在△

=1EOF 圖與△KDMGE與KD的 圖

FA=1

DP

P,ENBGNKMA,故由笛GKEDMN三線共點(diǎn)O.

PDOMPDOMGENDKMGEDK的交PENKMHGNDM

MSOQEF得

FOEC故由笛沙格定理的逆定理知GDEKMNMNQ,故由笛沙格定理知GK與DEOMKNEH,GMDN,即GMDNCP上.AGMBDNAGBD的交CAMBNH,GMDN的交點(diǎn)MNABQ.

FTSFTBETSFTB:10,OP交AEQ交BF于T,聯(lián)結(jié)QFODS由引理知E、TS三點(diǎn)共線.在△QEF=34GPC=8ABCD的兩組對(duì)邊的為P,過(guò)PPO⊥EFO.求證:

∠BOP=∠COP