2024屆黑龍江哈爾濱市第十九中學高二上數(shù)學期末監(jiān)測試題含解析

2024屆黑龍江哈爾濱市第十九中學高二上數(shù)學期末監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.2．已知平面內(nèi)有一點，平面的一個法向量為，則下列四個點中在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.3．現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.154．已知動點滿足，則動點的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓5．曲線在處的切線的斜率為（）A.-1 B.1C.2 D.36．已知集合，則（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，若對任意的，，且，總有，則的取值范圍是（）A B.C. D.8．空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級指數(shù)越大說明污染的情況越嚴重，對人體危害越大，指數(shù)范圍在：，，，，分別對應“優(yōu)”、“良”、“輕中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五個等級，如圖是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，下面說法錯誤的是（）.A.這14天中有4天空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越差C.這14天中空氣質(zhì)量的中位數(shù)是103D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是9日到11日9．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.-4 B.4C.-2 D.210．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級的一位數(shù)學老師制作了一個如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左、右兩側的兩段曲線（曲線與曲線）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線與曲線中間最窄處間的距離為，點與點，點與點均關于該雙曲線的對稱中心對稱，且，則（）A. B.C. D.11．當圓的圓心到直線的距離最大時，（）A B.C. D.12．2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點.有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，，，，分別是大星中心點與四顆小星中心點的聯(lián)結線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設點是雙曲線上的一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，已知，且，則雙曲線的離心率為________14．“五經(jīng)”是《詩經(jīng)》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》的合稱，貴為中國文化經(jīng)典著作，所載內(nèi)容及哲學思想至今仍具有積極意義和參考價值.某校計劃開展“五經(jīng)”經(jīng)典誦讀比賽活動，某班有、兩位同學參賽，比賽時每位同學從這本書中隨機抽取本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則、兩位同學抽到同一本書的概率為______.15．在空間直角坐標系中，若三點、、滿足，則實數(shù)的值為__________.16．雙曲線的一條漸近線的一個方向向量為，則______（寫出一個即可）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某電腦公司為調(diào)查旗下A品牌電腦的使用情況，隨機抽取200名用戶，根據(jù)不同年齡段（單位：歲）統(tǒng)計如下表：分組頻率/組距0.010.040.070.060.02（1）根據(jù)上表，試估計樣本的中位數(shù)、平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表，結果精確到0.1）；（2）按照年齡段從內(nèi)的用戶中進行分層抽樣，抽取6人，再從中隨機選取2人贈送小禮品，求恰有1人在內(nèi)的概率18．（12分）已知直線和的交點為P，求：（1）過點P且與直線垂直的直線l的方程；（2）以點P為圓心，且與直線相交所得弦長為12的圓的方程；（3）從下面①②兩個問題中選一個作答，①若直線l過點，且與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積為，求直線l的方程②求圓心在直線上，與x軸相切，被直線截得的弦長的圓的方程注：如果選擇兩個問題分別作答，按第一個計分19．（12分）已知函數(shù)，且a0（1）當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：20．（12分）某微小企業(yè)員工的年齡分布莖葉圖如圖所示：（1）求該公司員工年齡的極差和第25百分位數(shù)；（2）從該公司員工中隨機抽取一位，記所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件，所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件，判斷事件與是否互相獨立，并說明理由；21．（12分）在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面積；（2）求的值.22．（10分）已如空間直角標系中，點都在平面內(nèi)，求實數(shù)y的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)空間向量的線性運算法則——三角形法，準確運算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.2、A【解析】設所求點的坐標為，由，逐一驗證選項即可【詳解】設所求點的坐標為，則，因為平面的一個法向量為，所以，，對于選項A，，對于選項B，，對于選項C，，對于選項D，故選：A3、D【解析】設該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進而求出結果.【詳解】設該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D4、C【解析】根據(jù)兩點之間的距離公式的幾何意義即可判定出動點軌跡.【詳解】由題意可知表示動點到點和點的距離之和等于，又因為點和點的距離等于，所以動點的軌跡為線段.故選：5、D【解析】先求解出導函數(shù)，然后代入到導函數(shù)中，所求導數(shù)值即為切線斜率.【詳解】因為，所以，所以切線的斜率為.故選：D.6、D【解析】由集合的關系及交集運算，逐項判斷即可得解.【詳解】因為集合，，所以，，.故選：D.【點睛】本題考查了集合關系的判斷及集合的交集運算，考查了運算求解能力，屬于基礎題.7、B【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義、二次函數(shù)性質(zhì)及對稱軸方程，即可求解參數(shù)取值范圍.【詳解】依題意可得，在上為減函數(shù)，則，即的取值范圍是故選：B【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性定義，二次函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎題.8、C【解析】根據(jù)題圖分析數(shù)據(jù)，對選項逐一判斷【詳解】對于A，14天中有1，3，12，13共4日空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”，故A正確對于B，從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來越高，故空氣質(zhì)量越來越差，故B正確對于C，14個數(shù)據(jù)中位數(shù)為：，故C錯誤對于D，觀察折線圖可知D正確故選：C9、B【解析】根據(jù)，利用等比數(shù)列的通項公式求解.【詳解】因為，所以，則，解得，所以.故選：B10、D【解析】依題意以雙曲線的對稱中心為坐標原點建系，設雙曲線的方程為，根據(jù)已知求得，點縱坐標代入計算即可求得橫坐標得出結果.【詳解】以雙曲線的對稱中心為坐標原點，建立平面直角坐標系，因為雙曲線的離心率為2，所以可設雙曲線的方程為，依題意可得，則，即雙曲線的方程為.因為，所以的縱坐標為18.由，得，故.故選：D.11、C【解析】求出圓心坐標和直線過定點，當圓心和定點的連線與直線垂直時滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因為圓的圓心為,半徑，又因為直線過定點A(-1,1),故當與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有，即，解得.故選：C.12、C【解析】由五角星的內(nèi)角為，可知，又平分第三顆小星的一個角，過作軸平行線，則，即可求出直線的傾斜角.【詳解】都為五角星的中心點，平分第三顆小星的一個角，又五角星的內(nèi)角為，可知，過作軸平行線，則，所以直線的傾斜角為，故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線傾斜角，解題的關鍵是通過做輔助線找到直線的傾斜角，通過幾何關系求出傾斜角，考查學生的數(shù)形結合思想，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由雙曲線的定義可求得、，利用勾股定理可得出關于、的齊次等式，進而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】由雙曲線定義可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：.14、##【解析】計算出、兩位同學各隨機抽出一本書的結果種數(shù)，以及、兩位同學抽到同一本書的結果種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】、兩位同學抽到的結果都有種，由分步乘法計數(shù)原理可知，、兩位同學各隨機抽出一本書，共有種結果，而、兩位同學抽到同一本書的結果有種，故所求概率為.故答案為：.15、##【解析】分析可知，結合空間向量數(shù)量積的坐標運算可求得結果.【詳解】由已知可得，，因為，則，即，解得.故答案為：.16、(答案不唯一)【解析】寫出雙曲線的漸近線方程，結合方向向量的定義求即可.【詳解】由題設，雙曲線的漸近線方程為，又是一條漸近線的一個方向向量，所以或或或，所以或.故答案為：(答案不唯一)三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）中位數(shù)為38.6，平均數(shù)為38.5歲；（2）.【解析】（1）由中位數(shù)分數(shù)據(jù)兩邊的頻率相等，列方程求中位數(shù)；根據(jù)各組數(shù)據(jù)的中點數(shù)乘以頻率即可得平均數(shù)；（2）由分層抽樣確定從中各抽4人、2人，列舉出隨機選取2人的所有組合，得到恰有1人在的組合數(shù)，即可求概率.【詳解】（1）中位數(shù)在中，設為，則，解得.平均數(shù)為歲.所以樣本的中位數(shù)約為38.6，平均數(shù)為38.5歲.（2）根據(jù)分層抽樣法，其中位于中的有4人，記為，，，；位于中的有2人，記為，.從6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，恰有1人在內(nèi)的有，，，，，，，，共8種情況，∴恰有1人在內(nèi)的概率為.【點睛】關鍵點點睛：由中位數(shù)的性質(zhì)以及平均數(shù)與各組數(shù)據(jù)中點值、頻率的關系求中位數(shù)、平均數(shù)；根據(jù)分層抽樣確定各組選取人數(shù)，利用列舉法求概率.18、（1）（2）（3）答案見解析【解析】（1）聯(lián)立方程組求得交點的坐標，結合直線與直線垂直，求得直線的斜率為，利用直線的點斜式，即可求解；（2）先求得點到直線的距離為，由圓的的垂徑定理列出方程求得圓的半徑，即可求解；（3）若選①：設直線l的的斜率為，得到，結合題意列出方程，求得的值，即可求解；若選②，設所求圓的圓心為，半徑為，得到，利用圓的垂徑定理列出方程求得的值，即可求解.【小問1詳解】解：由直線和的交點為P，聯(lián)立方程組，解得，即，因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為，所以過點且與直線垂直的直線方程為，即.【小問2詳解】解：因為點到直線的距離為，設所求圓的半徑為，由圓的的垂徑定理得，弦長，解得，所以所求圓的方程為.【小問3詳解】解：若選①：直線l過點，且與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形面積為，設直線l的的斜率為，可得直線的方程為，即，則直線與坐標軸的交點分別為，由，解得或，所以所求直線的方程為或.若選②，設所求圓的圓心為，半徑為，因為圓與x軸相切，可得，又由圓心到直線的距離為，利用圓的垂徑定理可得，即，解得，即圓心坐標為或，所以所求圓的方程為或.19、（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減（2）①；②證明見解析【解析】（1）求導，求解可得導函數(shù)恒小于等于0,即得證；（2）①分析函數(shù)的單調(diào)性，由有兩個實數(shù)根可求解；②由（1）得2lnxx?，再利用其放縮可得，由此有，問題得證.【小問1詳解】當a=1時，函數(shù)因為所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減；【小問2詳解】（i）由已知可得方程有兩個實數(shù)根記，則．當時，，函數(shù)k(x)是增函數(shù)；當時，，函數(shù)k(x)是減函數(shù)，所以，故（ii）易知，當x1時，，故．由（1）可知，當0x1時，，所以2lnxx?由，得，所以因為，所以20、（1）極差為；第25百分位數(shù)為（2）事件和相互獨立，理由見解析【解析】（1）根據(jù)定義直接計算極差和百分位數(shù)得到答案.（2）計算得到，，，即，得到答案.【小問1詳解】員工年齡的極差為，，故第25百分位數(shù)為.【小問2詳解