2023-2024學(xué)年福建省廈門重點中學(xué)高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省廈門重點中學(xué)高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.在空間直角坐標系中，若點A(?1,6,8A.2 B.2 C.6 D.2.已知點A(?3,1,?4)，B(A.(?2,1,?2) 3.下列條件中，一定使空間四點P、A、B、C共面的是(

)A.OA+OB+OC=?4.已知四棱錐P?ABCD，底面ABCD為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點，CMCB=1A.a+13b+12c

5.已知平面α={P|n?P0P=A.(3,2,1) B.(6.已知正四面體ABCD，M為AB中點，則直線CM與直線A.23 B.36 C.7.定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA.55 B.77 C.8.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱BBA.若D1Q//平面A1PD，則動點Q的軌跡是一條線段

B.存在Q點，使得D1Q⊥平面A1PD

C.當且僅當Q點落在棱二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.下列四個結(jié)論正確的是(

)A.任意向量a,b，若a?b=0，則a=0或b=0或?a,b?=π2

B.已知A(3,1,0)，B(5,2,2)，10.在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P在棱DCA.2

B.3

C.2

11.如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1DA.AC1=6

B.AC1⊥BD

C.四邊形12.如圖的六面體中，CA=CB=CDA.CD⊥平面ABC

B.AC與BE所成角的大小為π3三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已用a=(?1,2,1)，b14.如圖，二面角α?l?β等于120°，A、B是棱l上兩點，BD、AC分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，B

15.在空間直角坐標系中，經(jīng)過P(x0,y0,z0)且法向量m=(a,b,c)的平面方程為a(x?x0)+b(y?16.盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝隸銘設(shè)計的，已成為巴黎的城市地標.盧浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長為a，高為23a，若該四棱錐的五個頂點都在同一個球面上，則球心到該四棱錐側(cè)面的距離為______．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

如圖，在底面為菱形的四棱錐E?ABCD中，BE⊥底面ABCD，F(xiàn)為CD的中點，且AB=BE=2，∠ABC=120°，以B18.(本小題12.0分)

已知向量a=(?2,?1,3)，b=(?1,1,2)，c=(x,2,2)19.(本小題12.0分)

如圖所示，在四棱錐M?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3，且∠MAB=∠MAD=60°，N是CM的中點，設(shè)a=AB，b=20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，M，N分別為棱PD，BC的中點，PA=AB=221.(本小題12.0分)

如圖，在三棱臺ABC?A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M為棱BC上一動點(不包含端點)．22.(本小題12.0分)

在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=a(0<

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由題意得|AB|=(?1?2.【答案】A

【解析】解：根據(jù)線段的中點坐標公式可得線段AB的中點坐標M(?3+72,1+12,?4+02)，即M(2,1,?3.【答案】D

【解析】解：對于A選項，OP=?OA?OB?OC，(?1)+(?1)+(?1)=?3≠1，所以點P與A、B、C三點不共面；

對于B選項，OP=OA+OB+OC，1+1+1=3≠1，所以點P與A、B、C三點不共面；

對于C選項，O4.【答案】D

【解析】解：由ABCD為平行四邊形，CMCB=13，PN=ND，

可得MC=13AD，DN=15.【答案】C

【解析】解：平面α={P|n?P0P=0}，其中點P0(1,2,3)，法向量n=(1,1,1)，

對于A，設(shè)P(3,2,1)，則P0P=(2,0,?2)，

∵P0P?n=2?2=0，∴(3,2,1)在平面α內(nèi)，故A錯誤；

6.【答案】B

【解析】解：如圖，設(shè)正四面體ABCD的棱長為2，取AD的中點F，連接MF、CF，

因為M、F分別為AB、AD的中點，則MF/?/BD且MF=12BD=1，

因此∠CMF或其補角為直線CM與直線BD所成的角，

因為△ABC為等邊三角形，M為AB的中點，

則CM⊥AB，且CM=A7.【答案】D

【解析】【分析】建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出所需點的坐標，然后再求出直線CA和BC1的公垂線的方向向量，利用異面直線AC與【解答】

解：以D為原點O建立空間直角坐標系如圖所示，

則A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，C1(0,1,3)，

所以CA=(2,?18.【答案】B

【解析】解：選項A，分別取B1C1，CC1中點E，F(xiàn)，連接D1E，D1F，EF，PF，

由PF與B1C1，A1D1平行且相等得平行四邊形A1PFD1，所以D1F//A1P，

又因為D1F?平面A1DP，A1P?平面A1DP，所以D1F//平面A1DP，

連接B1C，EF/?/B1C，B1C/?/A1D，所以EF//A1D，同理EF/?/平面A1DP，

又因為EF∩D1F=F，EF，D1F?平面D1EF，所以平面D1EF//平面A1DP，

當Q∈EF時，D1Q?平面D1EF，所以D1Q//平面A1DP，即Q點軌跡是線段EF，A正確；

選項B，以D1為原點，D1A1，D1C1，DC據(jù)直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則

A1(1,0,0)，D(0,0,1)，P(1,1,12)，

設(shè)Q(x,1,z)(0≤x,z≤1)，A1D=(?1,0,1)，A1P=(0,1,19.【答案】AB【解析】解：對于A，則a?b=|a||b|cos<a,b>=0，

則|a|=0或|b|=0或cos<a,b>=0，

即a=0或b=0或<a,b>=π2，故A正確；

對于B，因為AB=(2,1,2)，AC=(?1,?1,3)，所以AB?AC|AB|=1，

設(shè)點C到直線AB的距離為d，則d=|AC|2?1=10，故B正確；

對于C，a?b=?2+x+410.【答案】CD【解析】解：當P與D重合時點B到平面AD1P的距離最大，易知最大為3；

當P與C重合時點B到平面AD1P的距離最小，設(shè)最小距離為d，

易知△ACD1是邊長為32的等邊三角形，則由等體積法思想可得：

VB?ACD1=VD1?ABC，

∴13×S△ACD1×d=1311.【答案】AB【解析】解：AC1=AB+AD+AA1，

則AC12=AB2+AD2+AA12+2AB?AD+2AB?AA1+2AD?AA1=12+12+12+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°=6，

故|AC1|=6，A正確；

AC112.【答案】AC【解析】解：∵CA=CB=CD=1，BD=AD=2，

∴CA2+CD2=AD2，CB2+CD2=BD2，

即CD⊥CA，CD⊥CB，又CA∩CB=C，

∴CD⊥平面ABC，故A正確；

以點C為坐標原點，分別以CA，CB，CD為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示：

∵CA=CB=CD=1，∴四面體C?ABD是正三棱錐，

∵AB=BD=AD=AE=BE=DE=2，∴四面體E?ABD是正四面體，

在正三棱錐C?ABD中過點C作底面的垂線，垂足為正三角形ABD的中心，

同理，在正四面體E13.【答案】(?【解析】解：b在a方向上的投影向量為a?b|a|?a|a|=2?4+14.【答案】4

【解析】解：∵A、B是棱l上兩點，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，

又∵二面角α?l?β的平面角θ等于120°，且AB=AC=BD=2，

∴CA?CB=AB?BD=0，<CA，BD>=60°15.【答案】(1,2【解析】解：因為平面α的方程3x+y?z?5=0，不妨令x=0，y=0，則z=?5，故其過點Q(0,0,?5)，

設(shè)其法向量為m=(a,b,c)，

根據(jù)題意ax+by+c(z+5)=0，即ax+by+cz+5c=0，

又平面α的方程為3x+y?z?5=0，則a3=b=c16.【答案】1740【解析】解：連接AC、BD，交于點O′，連接PO′，則球心O在PO′的延長線上，如圖，

∵正四棱錐的底面邊長為a，高為23a，∴O′A⊥O′B，且O′A=O′B=22a，

設(shè)OO′=x，∵OA=OP=r，∴(22a)2+x2=(23a+x)2，解得x=a24，

以O(shè)′為坐標原點，O′A為x軸，O′B為y軸，O′P為z軸，建立空間直角坐標系，

則A(22a,0,0)，B(017.【答案】解：(1)由題意，可得△BCD為正三角形，

∵AB=2，∴BF=3，

以B為坐標原點，分別以BA，BF，BE所在的直線為x、y、z軸建立的空間直角坐標系，

【解析】(1)根據(jù)△BCD為正三角形，由AB18.【答案】解：(1)∵向量a=(?2,?1,3)，b=(?1,1,2)，c=(x,2,2)，

∴當|c|=22時，x2+22+22=22，解得x=0，

∴ka+b【解析】(1)由|c|=22時，能求出x=0，利用向量坐標運算法則求出ka+b=(?2k?1,1?k19.【答案】(1)解：因為N是CM的中點，底面ABCD是正方形，

所以BN=BC+CN=AD+12CM=AD+12(AM?AC)

=AD+12[AM?(AD+AB)]=?12AB+12AD+12AM

=?12a+【解析】(1)根據(jù)空間向量的線性運算進行轉(zhuǎn)換即可表示出BN，再利用數(shù)量積運算可求得BN的長；

(2)根據(jù)向量法與幾何法綜合應(yīng)用，可判定20.【答案】證明：(Ⅰ)在四棱錐P?ABCD中，

取PA的中點E，連接EB、EM，

因為

M是PD的中點，

所以

EM/?/AD，且EM=12AD，

又因為底面ABCD是正方形，N是BC的中點，

所以BN//AD，且BN=12AD，

所以EM/?/BN，且EM=BN，

所以四邊形MNBE是平行四邊形．

所以MN//EB．

由于EB?平面PAB，MN?平面PAB，

所以MN/?/平面PAB．

解：(

II)因為底面ABCD是正方形，所以

AB⊥AD．

又因為

PA⊥平面ABCD．

【解析】(Ⅰ)取PA的中點E，連接EB、EM，證明四邊形MNBE是平行四邊形，然后證明MN/?/平面P21.【答案】解：(1)在三棱臺ABC?A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，

AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M為棱BC上一動點(不包含端點)，

由題意，

我們需要保證平面α的兩條相交直線平行于平面C1MA的兩個相交直線，

我們過點A1作C1A，C1M的平行線，連接DE，即可得到平面α，

作出圖像，如圖，

(2)由題意，在三棱臺ABC?A1B1C1中，

建立空間直角坐標系，如圖：

A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，【解析】(1)根據(jù)面面平行的定義即可得出平面α；

(2)設(shè)出點M的位置，表達出平面C1MA與平面A22.【答案】解：(1)在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形