2024屆江蘇省張家港市外國(guó)語學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

2024屆江蘇省張家港市外國(guó)語學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列有關(guān)命題的表述中，正確的是（）A.命題“若是偶數(shù)，則，都是偶數(shù)”的否命題是假命題B.命題“若為正無理數(shù)，則也是無理數(shù)”的逆命題是真命題C.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”D.若命題“”，“”均為假命題，則，均為假命題2．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.3．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.4．已知直線，若圓C的圓心在軸上，且圓C與直線都相切，求圓C的半徑（）A. B.C.或 D.5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓C相交P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.6．函數(shù)的圖象如圖所示，則下列大小關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.7．已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，是它們一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為A.3 B.2C. D.8．方程表示的曲線是（）A.一個(gè)橢圓和一條直線 B.一個(gè)橢圓和一條射線C.一條射線 D.一個(gè)橢圓9．已知直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且直線l與圓相切，則的面積的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.410．若直線與互相平行，且過點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C. D.11．已知直線方程為，則其傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°12．已知直線過點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________.15．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和______16．已知數(shù)列中，，且數(shù)列為等差數(shù)列，則_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)，為雙曲線：（，）的左、右頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)點(diǎn)距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線傾斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由18．（12分）已知拋物線上的點(diǎn)M（5，m）到焦點(diǎn)F的距離為6.（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，求直線l方程.19．（12分）已知圓：與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過A的直線交拋物線于B，C兩點(diǎn)，且.（1）證明：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為定值；（2）若點(diǎn)C在圓內(nèi)，且過點(diǎn)C與垂直的直線與圓交于D，E兩點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積的最大值.20．（12分）已知橢圓C：的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-.（1）求橢圓C的離心率（2）點(diǎn)M（，）在橢圓C上，橢圓的左頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），過點(diǎn)D的直線L與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，與直線AB交于點(diǎn)Q設(shè)L的斜率為k，若，求k的值.21．（12分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l方程22．（10分）已知圓：，過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，，，為切點(diǎn)，設(shè)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)偶數(shù)性質(zhì)即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：通過舉例即可判斷，對(duì)于選項(xiàng)C：利用逆否命題的概念即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)且、或和非的關(guān)系即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：原命題的否命題為：若不是偶數(shù)，則，不都是偶數(shù)，若，都是偶數(shù)，則一定是偶數(shù)，從而原命題的否命題為真命題，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：原命題的逆命題：若是無理數(shù)，則也為正無理數(shù)，當(dāng)，即為無理數(shù)，但是有理數(shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由逆否命題的概念可知，C正確；選項(xiàng)D：由為假命題可知，，至少有一個(gè)為假命題，由為假命題可知，和均為假命題，故為假命題，為真命題，故D錯(cuò)誤.故選：C.2、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,C.當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)D，故選：B3、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得到函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以A選項(xiàng)和C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，先增，再減，然后再增，則先正，再負(fù)，然后再正，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.一般地，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù)；函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個(gè)區(qū)間是減函數(shù).4、C【解析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離相等列方程，求得圓心坐標(biāo)并求得圓的半徑.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則或，所以圓的半徑為或.故選：C5、B【解析】設(shè)，由橢圓的定義及，結(jié)合勾股定理求參數(shù)m，進(jìn)而由勾股定理構(gòu)造橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】設(shè)，橢圓的焦距為，則，由，有，解得，所以，故得：故選：B.6、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值表示的是此點(diǎn)處切線的斜率，所以由圖可得，故選：C7、D【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)a2，焦距2c．根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到，利用基本不等式可得結(jié)論【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設(shè)|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡(jiǎn)得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長(zhǎng)，考查利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題8、A【解析】根據(jù)題意得到或，即可求解.【詳解】由方程，可得或，即或，所以方程表示的曲線為一個(gè)橢圓或一條直線.故選：A.9、A【解析】由直線與圓相切可得，再利用基本不等式即求.【詳解】由已知可得，，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，所以面積的最小值為1.故選：A10、D【解析】由題意設(shè)直線的方程為，然后將點(diǎn)代入直線中，可求出的值，從而可得直線的方程【詳解】因?yàn)橹本€與互相平行，所以設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，得，所以直線的方程為，故選：D11、D【解析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設(shè)，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D12、A【解析】設(shè)直線方程，利用圓與直線的關(guān)系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【詳解】如下圖：設(shè)直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先計(jì)算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標(biāo)為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因?yàn)镸在橢圓上,.因?yàn)镸在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標(biāo)為.因?yàn)镸為橢圓C：上一點(diǎn)且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標(biāo)為.故答案為：14、【解析】根據(jù)題意求得，得到，利用等差數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合裂項(xiàng)法求和法，即可求解.【詳解】由，可得，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，可得，所以，所?故答案為：.15、【解析】先求出，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以數(shù)列為公差d=2的等差數(shù)列，所以，所以所以.故答案為：.16、【解析】由題意得:考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①；②定點(diǎn)有兩個(gè)，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據(jù)已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設(shè)有，結(jié)合（1）求雙曲線參數(shù)，寫出雙曲線方程即可；②由題設(shè)可設(shè)為，，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理求，，，，再由、的方程求，坐標(biāo)，若在為直徑的圓上點(diǎn)，由結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由題設(shè)，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問2詳解】由題設(shè)，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線方程為.②由①知：，且直線的斜率不為0，設(shè)為，，，聯(lián)立直線與雙曲線得：，∴，，則，∴，∴直線為；直線為；∴，，若在為直徑的圓上點(diǎn)，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的②，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，，，進(jìn)而根據(jù)、的方程求，坐標(biāo)，再由圓的性質(zhì)及向量垂直的坐標(biāo)表示求定點(diǎn)坐標(biāo).18、（1）（2）【解析】（1）由拋物線定義有求參數(shù)，即可寫出拋物線方程.（2）由題意設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)k，即可得直線l方程【小問1詳解】由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線方程為，∴拋物線定義知：可得，故【小問2詳解】由題設(shè)，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)聯(lián)立方程，得，整理得，則.又P是線段AB的中點(diǎn)，∴，即故l19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合，得到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可解得答案；（2）根據(jù)（1）所設(shè)，表示出弦長(zhǎng)，再求出，進(jìn)而表示出四邊形ADBE的面積，據(jù)此求其最大值,【小問1詳解】由題意知點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線：，，，聯(lián)立，得，則，即，由韋達(dá)定理得，由，即，得，即，代入，得或，又拋物線開口向右，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【小問2詳解】由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在圓內(nèi)，得，解得，又，得的斜率，故的方程為，即，故圓心到直線的距離為，由垂徑定理得，故，（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，所以四邊形的面積的最大值為.20、（1）（2）1【解析】（1）根據(jù)橢圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-，由求解；（2）根據(jù)點(diǎn)M（，）在橢圓C上，頂點(diǎn)，再由，求得橢圓方程，由，結(jié)合，得到，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由，求得Q的坐標(biāo)，代入求解.【小問1詳解】解：設(shè)橢圓C：的上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-,所以，即，又所以，解得；【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M（，）在橢圓C上，所以，又，解得，所以橢圓方程為，，則，因?yàn)?，所以，又，所以，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)直線方程為，與題意方程聯(lián)立，消去y得：則，所以，則，因?yàn)椋?，得，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，因，則.21、（1）（2）或【解析】（1）將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得，進(jìn)而求得離心率；（2）設(shè)直線，，，與橢圓聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得，從而求得直線方程.【小問1詳解】由題知，橢圓