L09-CH4 連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析

信號(hào)與系統(tǒng)SignalsandSystems信號(hào)的頻域分析

連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜常見連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜連續(xù)時(shí)間Fourier變換的性質(zhì)連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)周期信號(hào)的功率譜連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合

從信號(hào)分析的角度，將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較提供了途徑。

從系統(tǒng)分析角度，已知單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng),而且每個(gè)正弦分量通過系統(tǒng)后的變化。意義：一、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開1.周期信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)條件周期信號(hào)f

(t)應(yīng)滿足Dirichlet條件，即：(1)在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積，即滿足 (2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)有限的不連續(xù)點(diǎn)；(3)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值。注意：條件（1）為充分條件但不是必要條件； 條件（2）（3）是必要條件但不是充分條件。

Fourier，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡，被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時(shí)任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾省地方長官。1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會(huì)主席。主要貢獻(xiàn)是在研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。一、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開2.指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)表示為其中兩項(xiàng)的基波頻率為f0，兩項(xiàng)合起來稱為信號(hào)的基波分量的基波頻率為2f0，兩項(xiàng)合起來稱為信號(hào)的2次諧波分量的基波頻率為Nf0，兩項(xiàng)合起來稱為信號(hào)的N次諧波分量物理含義：周期信號(hào)f

(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和一、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開3.三角形式傅里葉級(jí)數(shù)若f(t)為實(shí)函數(shù)，則有利用這個(gè)性質(zhì)可以將指數(shù)Fourier級(jí)數(shù)表示寫為令由于C0是實(shí)的，所以b0=0，故一、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開3.三角形式傅里葉級(jí)數(shù)一、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開3.三角形式傅里葉級(jí)數(shù)純余弦形式傅里葉級(jí)數(shù)其中

a0/2稱為信號(hào)的直流分量，

Ancos(n

0

t

+

n)稱為信號(hào)的n次諧波分量。例1試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解:

該周期信號(hào)f

(t)顯然滿足狄里赫勒的三個(gè)條件，必然存在傅里葉級(jí)數(shù)展開式。因此，f

(t)的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式為例1試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解:可得，f(t)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式為若

=T/2，則有由例2

試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解:

該周期信號(hào)f

(t)顯然滿足狄里赫勒的三個(gè)條件，Cn存在例2

試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解:周期三角脈沖信號(hào)的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式為例2試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解:周期三角脈沖信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式為由例3

求Cn

。解:根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的定義可得二、傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

線性特性

時(shí)移特性

二、傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

卷積性質(zhì)

微分特性若f1(t)和

f2(t)均是周期為T0的周期信號(hào)，且二、傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

對(duì)稱特性

(1)若f(t)為實(shí)信號(hào)二、傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

對(duì)稱特性

(2)縱軸對(duì)稱信號(hào)f

(t)=f

(-t)

縱軸對(duì)稱周期信號(hào)其傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含有直流項(xiàng)與余弦項(xiàng)。二、傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

對(duì)稱特性

(3)原點(diǎn)對(duì)稱信號(hào)f

(t)=-f

(-t)

原點(diǎn)對(duì)稱周期信號(hào)其傅里葉級(jí)數(shù)展開式中只含有正弦項(xiàng)。二、傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

對(duì)稱特性

(4)半波重迭信號(hào)f

(t)=f

(t±T/2)

半波重疊周期信號(hào)只含有正弦與余弦的偶次諧波分量，而無奇次諧波分量。二、傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

對(duì)稱特性

(5)半波鏡像信號(hào)f

(t)=-f

(t±T/2)半波鏡像周期信號(hào)只含有正弦與余弦的奇次諧波分量，而無直流分量與偶次諧波分量。說明：某些信號(hào)波形經(jīng)上下或左右平移后，才呈現(xiàn)出某種對(duì)稱特性去掉直流分量后，