北京市石景山2023年九年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試卷與參考答案

北京市石景山區(qū)2023年九年級(jí)上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試卷與參考答案一、選擇題共16分，每題2分。第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1.如果，那么的值是（）A. B. C. D.答案：C2.如圖，在中，．若，，則的長(zhǎng)為（）A.2 B. C. D.6答案：D3.如圖，點(diǎn)在上，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.答案：C4.如圖，在菱形中，點(diǎn)E在上，與對(duì)角線交于點(diǎn)F．若，，則為（）A. B. C. D.答案：D5.將拋物線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的拋物線的表達(dá)式為（）A. B.C. D.答案：A6.若圓的半徑為9，則的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（）A.3 B.6 C. D.答案：D7.若二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.答案：B8.如圖，線段，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)重合），以為邊作正方形，設(shè)，，正方形的面積為，則與，與滿足的函數(shù)關(guān)系分別為（）A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系C.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系 D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系答案：A二、填空題共16分，每題2分。9.如圖，在中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，若的面積是1，則的面積是______；答案：410.如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在邊上且．只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是___________（寫出一個(gè)即可）．答案：11.如圖，，分別與相切于A，B兩點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為___________．答案：12.拋物線的對(duì)稱軸為直線___________．答案：13.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，則___________（填“>”，“=”或“＜”）．答案：>14.如圖，線段，分別表示甲、乙建筑物的高，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，兩座建筑物間的距離為．若甲建筑物的高為，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C的仰角為，則乙建筑物的高為___________m．答案：5515.如圖，點(diǎn)A，B，C在上，．若點(diǎn)D為上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），則的度數(shù)為___________．答案：或16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，下面四個(gè)結(jié)論中，①②當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大③點(diǎn)B的坐標(biāo)為④若點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，則所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．答案：①④三、解答題共68分，第17-21題，每題5分，第22題6分，第23題5分，第24-26題，每題6分，第27-28題，每題7分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．17.計(jì)算：．答案：18.如圖，A是直線上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E．[1]求證：；[2]若，，求的長(zhǎng)．答案：[1]∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴[2]在中，，由勾股定理得，，∵，∴，∴∴19.已知：如圖1，P為上一點(diǎn)．求作：直線，使得與相切．作法：如圖2，①連接；②以點(diǎn)P為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與的一個(gè)交點(diǎn)為A，作射線；③以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交射線于點(diǎn)Q（不與點(diǎn)O重合）；④作直線．直線就是所求作的直線．[1]使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；[2]完成下面的證明．證明：連接．由作法可知，∴點(diǎn)P在以為直徑的上．∴___________°（___________）（填推理的依據(jù)）．∴．又∵是的半徑，∴是的切線（___________）（填推理的依據(jù)）．答案：[1]如圖，[2]證明：連接．由作法可知，∴點(diǎn)P在以為直徑的上．∴（直徑所對(duì)的圓周角是直角）．（填推理的依據(jù)）∴．又∵是的半徑，∴是的切線（過(guò)半徑的外端與半徑垂直的直線是圓的切線）（填推理的依據(jù)）．故答案為：90，直徑所對(duì)的圓周角是直角；過(guò)半徑的外端與半徑垂直的直線是圓的切線【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖，圓周角定理，切線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．20.《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用現(xiàn)代的語(yǔ)言表述如下，請(qǐng)解答：如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，寸，寸，求直徑的長(zhǎng)．答案：連接，

∵弦，為圓O的直徑，

∴E為的中點(diǎn)，

又∵寸，

∴寸，

設(shè)寸，則寸，寸，

由勾股定理得：，

即，

解得：，

∴寸，

即直徑的長(zhǎng)為26寸．21.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C．[1]直接寫出點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；[2]畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；[3]若點(diǎn)，在此二次函數(shù)的圖象上，則m的值為___________．答案：[1]∵二次函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，

∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)，點(diǎn)；[2]如圖所示．【小問(wèn)3詳解】∵點(diǎn)，∴直線軸，∴點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，∴，解得，故答案為：422.如圖，在中，，，，求的長(zhǎng)．答案：如圖所示：過(guò)作于，，，，，，，，，，，，∴的長(zhǎng)為4．23.在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B．[1]求反比例函數(shù)的表達(dá)式并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；[2]當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，都有，直接寫出的取值范圍．答案：[1]依題意，把點(diǎn)，代入得，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；由的圖象與y軸交于點(diǎn)B，令，得，∴；[2]如圖，令中，，解得：，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，解得：，根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，都有，∴24.為了在校運(yùn)動(dòng)會(huì)的推鉛球項(xiàng)目中取得更好的成績(jī)，小石積極訓(xùn)練，鉛球被推出后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從鉛球出手（點(diǎn)A處）到落地的過(guò)程中，鉛球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．小石進(jìn)行了兩次訓(xùn)練．[1]第一次訓(xùn)練時(shí)，鉛球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離012345678豎直高度1.62.12.42.52.42.11.60.90根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出滿足的函數(shù)關(guān)系，并直接寫出小石此次訓(xùn)練的成績(jī)（鉛球落地點(diǎn)的水平距離）；[2]第二次訓(xùn)練時(shí)，小石推出的鉛球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系．記小石第一次訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)?，第二次?xùn)練的成績(jī)?yōu)?，則___________（填“>”，“=”或“＜”）．答案：[1]根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，，，即該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)時(shí)，，代入得：，解得：，函數(shù)關(guān)系式為：，由表格數(shù)據(jù)可知：第一次訓(xùn)練時(shí)的水平距離為8m；[2]根據(jù)表格可知，第一次訓(xùn)練時(shí)的水平距離，第二次訓(xùn)練時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，（舍）水平距離，，故答案為：．25.如圖，是的直徑，C，D是上的點(diǎn)且，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．[1]求證：是的切線；[2]連接，若，，求的長(zhǎng)．答案：[1]證明：如圖，連接.∵，∴，∵，∴.∴，∴∵，∴，∵為的半徑，∴是的切線．[2]如圖，連接，∵，∴，∵是直徑，∴∴，∵，∴，26.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，其中．[1]當(dāng)時(shí)，求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；[2]點(diǎn)在拋物線上，若，求的取值范圍．答案：[1]當(dāng)，將點(diǎn)代入得：，解得：，故拋物線的解析式為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；[2]∵，是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，，∴，∵點(diǎn)在拋物線上，∴在拋物線上∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵時(shí)，y隨x增大而增大，，∴，∴，∴．27.如圖，四邊形是正方形，以點(diǎn)A為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．[1]求的度數(shù)；[2]過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，連接，依題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．答案：[1]在正方形ABCD中，AB=AD=BC，，，，，[2]，理由：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，連接BD，，，由[1]知，，，在中，，，又，，，，，，28.在平面直角坐標(biāo)系中，圖形上任意兩點(diǎn)間的距離若有最大值，將這個(gè)最大值記為．對(duì)于點(diǎn)和圖形給出如下定義：點(diǎn)是圖形上任意一點(diǎn)，若兩點(diǎn)間的距離有最小值，且最小值恰好為，則稱點(diǎn)為圖形的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．[1]如圖1，圖形是矩形，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則___________．在點(diǎn)，，，中，矩形的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是___________；[2]如圖2，圖形是中心在原點(diǎn)的正方形，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．若直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)為正方形的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求的取值范圍；[3]已知點(diǎn)，．圖形是以為圓心，1為半徑的，若線段上存在點(diǎn)，使點(diǎn)為的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．答案：[1]由題意得，，，，到矩形的最小距離為：1，，不符合題意；到矩形的最小距離為：，符合題意；到矩形的最小距離為：1，，不符合題意；到矩形的最小距離為：，符合題意，故是矩形“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；[2]根據(jù)題意可得，正方形