高二上學(xué)期數(shù)學(xué)周測試卷

試卷第=page11頁，共=sectionpages44頁試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁高二數(shù)學(xué)周測試卷（6）一、單選題1．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．2．已知，為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的取值范圍是（）A． B． C． D．，3．函數(shù)，下列對函數(shù)的性質(zhì)描述正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B．若，則函數(shù)f（x）有極值點C．若，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減D．若函數(shù)有且只有3個零點，則a的取值范圍是4．設(shè)定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列滿足，且，若，則下面表述正確的是（

）A．為等差數(shù)列，為等比數(shù)列B．為等差數(shù)列，為等比數(shù)列C．為等差數(shù)列，為等比數(shù)列D．為等差數(shù)列，為等比數(shù)列6．設(shè)，分別為雙曲線：的左?右焦點，為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于，兩點，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．7．已知，，是函數(shù)（，）的零點，且，若，則當(dāng)，變化時，的最小值是（

）A． B． C． D．8．設(shè)，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項和為，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．公差C．當(dāng)時最大 D．使的n的最大值為1610．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，，則下面說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．C．是等比數(shù)列 D．11．已知是函數(shù)的極小值點，則以下判斷正確的是（

）A． B． C． D．12．已知，且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題13．?dāng)?shù)列中，已知，且（且），則此數(shù)列的通項公式為__________.14．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則的解集為_________.15．已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，且，，則在區(qū)間上的極大值為____________．16．已知數(shù)列前項和，數(shù)列滿足為數(shù)列的前項和．若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項和是，若，并且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記的前項和是，求．18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．19．已知數(shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若恒成立.求實數(shù)的最大值.20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．21．已知函數(shù)(1)若存在零點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若是的零點，求證：22．已知函數(shù)，（）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，在上恒成立．答案第=page1919頁，共=sectionpages1919頁答案第=page1818頁，共=sectionpages1919頁參考答案：1．D【分析】根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進行求解判斷，然后再用轉(zhuǎn)化法，通過構(gòu)造新函數(shù)比較之間的大小即可.【詳解】設(shè)函數(shù)，因為，所以，因此當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，因為，所以，即，于是有，之間的大小關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為之間的大小關(guān)系，設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，因此有，即，當(dāng)時，單調(diào)遞減，因此有，即，而，所以當(dāng)時，有（當(dāng)時取等號）成立，于是有，所以，即，所以，故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：通過構(gòu)造函數(shù)利用轉(zhuǎn)化法進行求解是解題的關(guān)鍵.2．C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求切點坐標(biāo)，再由切點在直線上可得，結(jié)合目標(biāo)式有，構(gòu)造并研究單調(diào)性，進而求值域即可.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則，∴切點為，代入，得，、為正實數(shù)，即，∴，令且，則，即為增函數(shù)，．故選：C．3．AD【分析】利用函數(shù)的對稱性即可判斷選項A是否正確；對函數(shù)求導(dǎo)，分別就和進行討論，即可判斷選項B、C是否正確；函數(shù)有三個不同的零點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)的極小值小于0，極大值大于0，列出不等式組，求出a的取值范圍，由此即可判斷選項D是否正確．【詳解】對于選項A，因為，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故選項A正確；對于選項B，由，當(dāng)時，，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，此時函數(shù)沒有極值點，故選項B錯誤；對于選項C，當(dāng)時，由，解得．又∵時，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，故選項C錯誤；對于選項D，由，當(dāng)時，，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故不存在三個零點，不符合題意；當(dāng)時，由，解得．又∵時，，時，，時，，∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，∴函數(shù)的極小值和極大值．∵函數(shù)有三個不同的零點，∴，即，解得，故選項D正確．故選：AD.【點睛】方法點睛：(1)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值．4．A【分析】根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可判斷出該函數(shù)在上為增函數(shù)，然后將所求不等式轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)值的關(guān)系，根據(jù)單調(diào)性得出自變量值的關(guān)系從而解出不等式即可．【詳解】解：，（3），（3），定義在的函數(shù)，，令，不等式（3），即為（3），，，，，，，單調(diào)遞增，又因為由上可知（3），，，．故選：．【點睛】本題主要考查不等式的解法：利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．5．B【分析】由可得到，結(jié)合即可判斷為等比數(shù)列；通過累加法可得到，即可判斷；通過等差數(shù)列的定義即可判斷；通過反例即可判斷【詳解】由可得，即，且，則數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則；又，則有，所以，所以，又滿足上式，故，則為等比數(shù)列；所以（定值），故為等差數(shù)列.由可得，所以，故不為等差數(shù)列，故選：B6．D【分析】聯(lián)立與求出，進而的正切可求，得出的關(guān)系，從而進一步解出答案.【詳解】依題意得,以線段為直徑的圓的方程為,雙曲線的一條漸近線的方程為.由以及解得或不妨取,則.因為,所以,又,所以,所以,所以該雙曲線的離心率.故選：D.7．A【分析】由和函數(shù)的單調(diào)性可知，，再根據(jù)可求得，構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)即可求得最小值.【詳解】由題知：，易知的兩根為0和，的三個零點，，，滿足：，即函數(shù)在極值點右側(cè)有兩個零點，，即，且，又解得，（），，設(shè)（），，時，，時，，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，時，，.故選：A.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(3)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故9．ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出，，逐項判斷即可.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知，，，又，所以，所以，B項正確；又，所以，A項正確；根據(jù)，，，，可知，等差數(shù)列前8項均為正數(shù)，從第9項起為負數(shù)，所以當(dāng)時最大，C項正確；，，所以使的n的最大值為15.故選：ABC.10．AC【分析】根據(jù)已知得出可判斷A，求得，利用累加法可求出，即可判斷BC，再分組求和即可判斷D.【詳解】因為，所以，則是首項為，公比為2的等比數(shù)列，故A正確；則，所以，故B錯誤；，所以是等比數(shù)列，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.11．CD【分析】求導(dǎo)數(shù)，由極小值點得，即可代入判斷符號；再化簡得，用二分法分析的范圍即可判斷D【詳解】，則，存在唯一的零點，即滿足，∴，A、B錯，C正確；，數(shù)形結(jié)合是即兩個初等函數(shù)的交點橫坐標(biāo)，易觀察，用二分法檢驗，，∴，∴，D正確；故選：CD．12．BC【分析】利用特殊值法可判斷AD選項的正誤；構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，分、兩種情況討論，利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項的正誤；證明對數(shù)平均不等式：對任意的、且，，利用對數(shù)平均不等式可判斷C選項的正誤.【詳解】對于A選項，取，，則，但不成立，A選項錯誤；對于B選項，由可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，①若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，且，故；②若，則.綜上，，B選項正確；先證明對任意的、且，，不妨設(shè)，即證，令，即證，令，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，所以，對任意的、且，，因為，則，所以，，可得，C選項正確.對于D選項，取，，則，但，D選項不正確.故選：BC.【點睛】思路點睛：解答比較函數(shù)值大小問題，常見的思路有兩個：（1）判斷各個數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.13．【分析】將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進而得出通項，再進一步驗證得出通項公式.【詳解】由得：（且）（且）即（且）數(shù)列是第二項起公比為的等比數(shù)列，（且）又不滿足上式，14．【解析】構(gòu)造新函數(shù)，利用已知可以判斷出新函數(shù)的單調(diào)性，最后利用單調(diào)性進行求解即可.【詳解】設(shè)，因為，所以是上的減函數(shù)，因為，所以，因此.所以的解集為.故答案為：15．1【分析】由題意可得，構(gòu)造函數(shù)，可得，可得解析式，結(jié)合的值，可得解析式，求導(dǎo)，令，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性和最值，根據(jù)特殊值和，分析可得的單調(diào)性和極值，即可得答案.【詳解】由題意得，令，所以，則，且c為常數(shù)，所以，所以，解得，所以，則．令，則．當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以在處取得最大值．又，所以，使．又，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極大值．【點睛】關(guān)鍵點點睛：合理變形得，并適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，求得解析式，并利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和極值，難點在于求導(dǎo)得，無法判斷其正負時，需再次求導(dǎo)，根據(jù)其導(dǎo)函數(shù)值的正負，可得的正負，可得的單調(diào)性和極值，屬中檔題.16．【分析】利用與的關(guān)系，求得，由題意，求得并裂項，利用裂項相消，求得，分為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況，利用函數(shù)求最值研究不等式恒成立問題，可得答案.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，將代入上式，可得，則；，，代入不等式，可得，整理可得，當(dāng)為偶數(shù)時，不等式為，令，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，由于，故，此時；當(dāng)為奇數(shù)時，不等式為，令，（為奇數(shù)且），易知在單調(diào)遞增，則，此時，綜上所述，.故答案為：.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及等比中項的性質(zhì)求解方程即可；（2）錯位相減法求解數(shù)列的前項和.【詳解】（1）因為，，成等比數(shù)列且，所以得，化簡得，所以或者?1，當(dāng)時，，所以，，不是等比數(shù)列，與已知矛盾，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以；（2）（2），所以，，所以，∴.18；(2)【分析】（1）分析定義域并求解導(dǎo)函數(shù)，分類討論與時的正負，從而可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）結(jié)合（1）的答案判斷得時，存在兩個零點，需，再結(jié)合，可得函數(shù)在上有零點，再求解，并構(gòu)造新函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性求解得，從而可得函數(shù)在上有零點，從而可得的取值范圍為.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，∵，∴．①當(dāng)時，在上恒成立，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．②當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上可知：①當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)至多有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，又函數(shù)有兩個零點，∴，∴．又，∴，使得，又，設(shè)，則，∵，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴，使得，綜上可知，實數(shù)的取值范圍為【點睛】關(guān)鍵點點睛：通過函數(shù)單調(diào)性列不等式，然后分別在的兩側(cè)取值判斷對應(yīng)函數(shù)值小于，即取小于，通過構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性與最大值的方式，從而得函數(shù)在和上存在零點.19．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用“當(dāng)時，”探求數(shù)列相鄰兩項的關(guān)系，再構(gòu)造數(shù)列求解作答.（2）由已知結(jié)合（1）的結(jié)論分離參數(shù)，再構(gòu)造新數(shù)列，借助單調(diào)性求解作答.【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，，兩式相減得，因此，則，則是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，有，顯然滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可知，，因，整理得：，令，則，顯然，當(dāng)時，，即，因此當(dāng)時，數(shù)列是遞增的，于是得，依題意，恒成立，即有，所以實數(shù)的最大值為.20．(1)在上是單調(diào)遞增的(2)【分析】（1）對求導(dǎo)，從而確實為正及的單調(diào)性；（2）令，然后分和兩種情況討論的單調(diào)性及最值，即可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域為，所以，所以在上是單調(diào)遞增的.（2）當(dāng)時，，等價于，則，，令，則，當(dāng)時，，則在上是單調(diào)遞增的，則①當(dāng)時，，在上是單調(diào)遞增的，所以，滿足題意．②當(dāng)時，，，所以，使，因為在上是單調(diào)遞增的所以當(dāng)時，，所以在上是單調(diào)遞減的，又，即得當(dāng)時，，不滿足題意．綜上①②可知：實數(shù)的取值范圍.(1)【分析】（1）令，變形得，令，求出函數(shù)的值域，即可求得實數(shù)a的范圍；（2）由題意可得，，得，要證，即證，先證，只需證，令，求出函數(shù)的最小值即可得證；再證，令，證明即可得證.【詳解】（1）令，變形得，令，問題轉(zhuǎn)化成與有交點，令，解得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，又當(dāng)時，，，故實數(shù)a的取值范圍為.（2）由題意可得，，得，要證，即證，即證，先