武漢宏圖藝考 函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)的奇偶、周期性(一)

武漢宏圖藝考武昌徐東大街岳家嘴東湖春樹里小區(qū)4棟1單元2004室函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)的奇偶、周期性（一）函數(shù)的單調(diào)性（一）●知識梳理1.增函數(shù)、減函數(shù)的定義一般地，對于給定區(qū)間上的函數(shù)f（x），如果對于屬于這個區(qū)間的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就說f（x）在這個區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)）.如果函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)），就說f（x）在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做f（x）的單調(diào)區(qū)間.如函數(shù)是增函數(shù)則稱區(qū)間為增區(qū)間，如函數(shù)為減函數(shù)則稱區(qū)間為減區(qū)間.2.函數(shù)單調(diào)性可以從三個方面理解（1）圖形刻畫：對于給定區(qū)間上的函數(shù)f（x），函數(shù)圖象如從左向右連續(xù)上升，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)圖象如從左向右連續(xù)下降，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）定性刻畫：對于給定區(qū)間上的函數(shù)f（x），如函數(shù)值隨自變量的增大而增大，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，如函數(shù)值隨自變量的增大而減小，則稱函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）定量刻畫，即定義.上述三方面是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑.●點擊雙基1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是A.y=－x+1 B.y=C.y=x2－4x+5 D.y=答案：B2.函數(shù)y=loga（x2＋2x－3），當x=2時，y＞0，則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A.（－∞，－3） B.（1，＋∞）C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）解析：當x=2時，y=loga5＞0，∴a＞1.由x2＋2x－3＞0x＜－3或x＞1，易見函數(shù)t＝x2＋2x－3在（－∞，－3）上遞減，故函數(shù)y=loga（x2＋2x－3）（其中a＞1）也在（－∞，－3）上遞減.答案：A3.（2003年北京朝陽區(qū)模擬題）函數(shù)y=log|x－3|的單調(diào)遞減區(qū)間是__________________.解析：令u=|x－3|，則在（－∞，3）上u為x的減函數(shù)，在（3，+∞）上u為x的增函數(shù).又∵0＜＜1，∴在區(qū)間（3，＋∞）上，y為x的減函數(shù).答案：（3，+∞）4.有下列幾個命題：①函數(shù)y=2x2+x+1在（0，＋∞）上不是增函數(shù)；②函數(shù)y=在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是減函數(shù)；③函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間是［－2，+∞）；④已知f（x）在R上是增函數(shù)，若a+b＞0，則有f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b）.其中正確命題的序號是___________________.解析：①函數(shù)y=2x2+x+1在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴①錯；②雖然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y=的單調(diào)減區(qū)間，但求并集以后就不再符合減函數(shù)定義，∴②錯；③要研究函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間，首先被開方數(shù)5+4x－x2≥0，解得－1≤x≤5，由于［－2，+∞）不是上述區(qū)間的子區(qū)間，∴③錯；④∵f（x）在R上是增函數(shù)，且a＞－b，∴b＞－a，f（a）＞f（－b），f（b）＞f（－a），f（a）+f（b）＞f（－a）+f（－b），因此④是正確的.答案：④●典例剖析【例1】如果二次函數(shù)f（x）=x2－（a－1）x+5在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，求f（2）的取值范圍.剖析：由于f（2）=22－（a－1）×2+5=－2a+11，求f（2）的取值范圍就是求一次函數(shù)y=－2解：二次函數(shù)f（x）在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，由于其圖象（拋物線）開口向上，故其對稱軸x=或與直線x=重合或位于直線x=的左側(cè)，于是≤，解之得a≤2，故f（2）≥－2×2+11=7，即f（2）≥7.【例2】討論函數(shù)f（x）=（a＞0）在x∈（－1，1）上的單調(diào)性.解：設－1＜x1＜x2＜1，則f（x1）－f（x2）=－==.∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2+1＞0，（x12－1）（x22－1）＞0.又a＞0，∴f（x1）－f（x2）＞0，函數(shù)f（x）在（－1，1）上為減函數(shù).【例3】求函數(shù)y=x+的單調(diào)區(qū)間.剖析：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（亦即判斷函數(shù)的單調(diào)性），一般有三種方法：（1）圖象法；（2）定義法；（3）利用已知函數(shù)的單調(diào)性.但本題圖象不易作，利用y=x與y=的單調(diào)性（一增一減）也難以確定，故只有用單調(diào)性定義來確定，即判斷f（x2）－f（x1）的正負.解：首先確定定義域：{x|x≠0}，∴在（－∞，0）和（0，+∞）兩個區(qū)間上分別討論.任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，則f（x2）－f（x1）=x2+－x1－=（x2－x1）+=（x2－x1）（1－），要確定此式的正負只要確定1－的正負即可.這樣，又需要判斷大于1，還是小于1.由于x1、x2的任意性，考慮到要將（0，+∞）分為（0，1）與（1，+∞）（這是本題的關(guān)鍵）.（1）當x1、x2∈（0，1）時，1－＜0，∴f（x2）－f（x1）＜0，為減函數(shù).（2）當x1、x2∈（1，+∞）時，1－＞0，∴f（x2）－f（x1）＞0，為增函數(shù).同理可求（3）當x1、x2∈（－1，0）時，為減函數(shù)；（4）當x1、x2∈（－∞，－1）時，為增函數(shù).評述：解答本題易出現(xiàn)以下錯誤結(jié)論：f（x）在（－1，0）∪（0，1）上是減函數(shù)，在（－∞，－1）∪（1，+∞）上是增函數(shù)，或說f（x）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù).排除障礙的關(guān)鍵是要正確理解函數(shù)的單調(diào)性概念：函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，而不是兩個或兩個以上不相交區(qū)間的并.深化拓展求函數(shù)y=x+（a＞0）的單調(diào)區(qū)間.提示：函數(shù)定義域x≠0，可先考慮在（0，+∞）上函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系得到在（－∞，0）上的單調(diào)性.答案：在（－∞，－］，（，+∞）上是增函數(shù)，在（0，］，（－，0）上是減函數(shù).【例4】定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求證：f（0）=1；（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范圍.（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）證明：當x＜0時，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.∴f（－x）=＞0.又x≥0時f（x）≥1＞0，∴x∈R時，恒有f（x）＞0.（3）證明：設x1＜x2，則x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的