2024屆浙江省名校新高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

2024屆浙江省名校新高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從直線上動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則最大時(shí)，四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積是（）A. B.C. D.2．已知橢圓及以下3個(gè)函數(shù)：①；②；③，其中函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個(gè)數(shù)有（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)3．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（）A.30 B.C. D.30或4．如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是面對(duì)角線與的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.5．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)＝，＝，＝，則＝（）A.++ B.+C.++ D.+6．中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則等于（）A. B.C. D.7．已知雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，其虛軸長(zhǎng)為（）A.16 B.8C.2 D.18．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.9．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A. B.C. D.10．雙曲線（，）的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（）A. B.C.2 D.411．已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且實(shí)半軸長(zhǎng)為4，虛半軸長(zhǎng)為5，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝112．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.64 B.72C.80 D.144二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.14．若向量滿足，則_________.15．已知雙曲線與橢圓有公共的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于M，N兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在另一條漸近線上，則的面積為___________.16．圓錐的高為1，底面半徑為，則過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值為____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，m為實(shí)數(shù)（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)，求m的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限時(shí)，求m的取值范圍18．（12分）已知滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）若，的前項(xiàng)和是，求證：.19．（12分）已知橢圓的離心率是，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最大值.20．（12分）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)正數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列前n項(xiàng)的乘積為，試問(wèn)：是否有最大值？如果是，請(qǐng)求出此時(shí)n以及最大值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.22．（10分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，與直線交于點(diǎn)Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若．證明：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析可知當(dāng)時(shí)，最大，計(jì)算出、，進(jìn)而可計(jì)算得出四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積.【詳解】圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接、、，則，設(shè)，則，，則，當(dāng)取最小值時(shí)，，此時(shí)，，，，故，此時(shí)，.故選：B.2、C【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)可得橢圓的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù),函數(shù)為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則①②滿足題意,對(duì)于函數(shù)在軸右側(cè)時(shí)，，只有時(shí)，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，得解.【詳解】解：因?yàn)闄E圓的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于①，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對(duì)于②，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對(duì)于③，對(duì)于函數(shù)在軸右側(cè)時(shí)，，只有時(shí)，，即函數(shù)在軸右側(cè)的圖像（如圖）顯然不能等分橢圓在軸右側(cè)的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則函數(shù)在軸左側(cè)的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側(cè)的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，即函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個(gè)數(shù)有2個(gè)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的對(duì)稱性，重點(diǎn)考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【詳解】由得，則等比數(shù)列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A4、D【解析】由空間向量運(yùn)算法則得,利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，分別是面對(duì)角線與的中點(diǎn)，，，，所以故選:D.5、B【解析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理即可得出【詳解】如圖所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故選：B6、A【解析】由題得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：依題意，即，所以，所以，由于，所以故選：A7、C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程的特點(diǎn)，結(jié)合虛軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，所以，因此該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，故選：C8、B【解析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個(gè)法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B9、B【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，，.故選：B10、C【解析】根據(jù)雙曲線方程寫出漸近線方程，得出，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，又其中一條漸近線的傾斜角為，所以，則，所以該雙曲線離心率為.故選：C.11、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且實(shí)半軸長(zhǎng)為4，虛半軸長(zhǎng)為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.12、B【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，求得，再用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，，解得，.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求解定義域，由導(dǎo)函數(shù)小于0得到遞減區(qū)間，進(jìn)而得到不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】顯然，且，由，以及考慮定義域x>0，解得:.在區(qū)間，上單調(diào)遞減，∴，解得:.故答案為：14、【解析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.15、【解析】求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，即雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)，即雙曲線的半焦距，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在漸近線上得出的關(guān)系式，從而求得，然后可計(jì)算面積【詳解】由題意橢圓中，即，以線段為直徑的圓的方程為，由，解得（取第一象限交點(diǎn)坐標(biāo)），，雙曲線的不在第一象限的漸近線方程為，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，它在漸近線上，所以，化簡(jiǎn)得，又，所以，雙曲線方程為，則得，所以故答案為：16、2【解析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值【詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線，設(shè)軸截面頂角為，因?yàn)閳A錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，則，截面的面積為，因?yàn)?，所以時(shí)，故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）4（2）【解析】（1）根據(jù)純虛數(shù)，實(shí)部為零，虛部不為零列式即可；（2）根據(jù)第三象限，實(shí)部小于零，虛部小于零，列式即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù),所以解得或，且且綜上可得,當(dāng)為純虛數(shù)時(shí);【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,解得或，且即,故的取值范圍為.18、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）在等式兩邊同時(shí)除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得的表達(dá)式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法求得，即可證得原不等式成立.【小問(wèn)1詳解】解：在等式兩邊同時(shí)除以可得且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，因此，.【小問(wèn)2詳解】證明：，所以，.故原不等式得證.19、（1）；（2）2.【解析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l和x軸垂直時(shí)，根據(jù)已知條件求出此時(shí)△AOB面積；直線l和x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為點(diǎn)斜式y(tǒng)＝kx＋t，代入橢圓方程得二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)得k和t關(guān)系，表示出△AOB的面積，結(jié)合基本不等式即可求解三角形面積最值.【小問(wèn)1詳解】由題知，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)軸時(shí)，位于軸上，且，由可得，此時(shí)；當(dāng)不垂直軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓交于，，由，得.得，，從而已知，可得.∵.設(shè)到直線的距離為，則，結(jié)合化簡(jiǎn)得此時(shí)的面積最大，最大值為2.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，綜上，的面積的最大值為2.20、（1）（2）當(dāng)或時(shí)，有最大值.【解析】（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；（2）求出數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【小問(wèn)1詳解】由已知得，數(shù)列首項(xiàng)，，設(shè)數(shù)列的公比為，即∴即，【小問(wèn)2詳解】，即當(dāng)或5時(shí)，有最大值.21、（1）（2），【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷f(x)的單調(diào)性，根據(jù)其單調(diào)性即可求最大值和最小值.【小問(wèn)1詳解】，切點(diǎn)為(1，－2)，∵，∴切線斜率，切線方程為；【小問(wèn)2詳解】令，解得，1200極大值極小值2∵，，∴當(dāng)時(shí)，，.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出