安徽六校教育研究會(huì)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

安徽六校教育研究會(huì)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為，則此直線的方程為（）A. B.C. D.2．設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.3．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A.6 B.36C.10 D.4．拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（）A.1 B.2C. D.45．方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A. B.C. D.6．拋物線上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于（）A. B.C. D.7．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)中相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數(shù) D.中位數(shù)8．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A. B.C. D.9．定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對(duì)恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則A.B.C.D.10．已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為（）A. B.C. D.11．為調(diào)查參加考試的高二級(jí)1200名學(xué)生的成績(jī)情況，從中抽查了100名學(xué)生的成績(jī)，就這個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，下列說(shuō)法正確的是（）A.1200名學(xué)生是總體 B.每個(gè)學(xué)生是個(gè)體C.樣本容量是100 D.抽取的100名學(xué)生是樣本12．在數(shù)列中，，則等于A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.14．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則______15．已知數(shù)列滿足0，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)___，則數(shù)列的前項(xiàng)和______16．已知函數(shù)f（x）=ex-2x+a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)（稱為B類工人）.現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類，B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）（1）A類工人中和B類工人各抽查多少工人？（2）從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2：表1：生產(chǎn)能力分組人數(shù)48x53表2：生產(chǎn)能力分組人數(shù)6y3618①先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更??？（不用計(jì)算，可通過(guò)觀察直方圖直接回答結(jié)論）②分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）圖1A類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖圖2B類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖18．（12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說(shuō)明理由19．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點(diǎn)，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值20．（12分）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求n的最小值21．（12分）已知展開(kāi)式中，第三項(xiàng)的系數(shù)與第四項(xiàng)的系數(shù)相等（1）求n的值；（2）求展開(kāi)式中有理項(xiàng)的系數(shù)之和（用數(shù)字作答）22．（10分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上（1）若，證明：與平面不垂直；（2）若平面，求平面與平面的夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】求出直線的斜率，利用斜截式可得出直線的方程.【詳解】直線的斜率為，由題意可知，所求直線的方程為.故選：D.2、D【解析】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結(jié)果.【詳解】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，即，，漸近線方程為，進(jìn)而得到雙曲線方程為.故選：D.3、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切，由此可得的關(guān)系，從而點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，由求得的最小值，平方后即得結(jié)論【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，半徑為，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，所以，即，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓上，記，，所以，所以的最小值為故選：B4、B【解析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.5、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進(jìn)而得到焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)求解.【詳解】∵方程，表示平面內(nèi)到定點(diǎn)、的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡(jiǎn)的結(jié)果故選：D6、C【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)求得參數(shù)，再由焦半徑公式得結(jié)論【詳解】由題意，解得，所以，故選：C7、C【解析】根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，可直接判斷方差不同；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算極差、中位數(shù)、平均數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】由莖葉圖可得：甲的數(shù)據(jù)更集中，乙的數(shù)據(jù)較分散，所以甲與乙的方差不同；甲的極差為；乙的極差為，所以甲與乙的極差不同；甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，所以中位數(shù)不同；甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，所以甲、乙的平均數(shù)相同；故選：C.8、B【解析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)9、D【解析】分別構(gòu)造函數(shù)，，，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出【詳解】令，，，，恒成立，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，令，，，，恒成立，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，．綜上可得：，故選：D【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,本題考查的是利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問(wèn)題,通過(guò)題目中給定的不等式,分別構(gòu)造兩個(gè)不同的函數(shù)求導(dǎo)判出單調(diào)性從而比較函數(shù)值得大小關(guān)系．在討論函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，必須堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則．對(duì)于函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，注意挖掘隱含在實(shí)際中的條件，避免忽略實(shí)際意義對(duì)定義域的影響10、C【解析】根據(jù)題意可設(shè)，再根據(jù)，求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，可設(shè)，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為22.故選：C.11、C【解析】根據(jù)總體、個(gè)體、樣本容量、樣本的定義，結(jié)合題意，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，總體是名學(xué)生的成績(jī)；個(gè)體是每個(gè)學(xué)生的成績(jī)；樣本容量是，樣本是抽取的100名學(xué)生的成績(jī)；故正確的是C.故選：C.12、D【解析】分析：已知逐一求解詳解：已知逐一求解．故選D點(diǎn)睛：對(duì)于含有的數(shù)列，我們看作擺動(dòng)數(shù)列，往往逐一列舉出來(lái)觀察前面有限項(xiàng)的規(guī)律二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得，求導(dǎo)可得的單調(diào)性，將的最小值代入，即得.【詳解】∵，，使得成立，∴由，得，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為又在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：.14、15【解析】易得拋物線方程為，根據(jù)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線定義求解.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，所以，則拋物線：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，則，則，所以直線的方程為，代入拋物線方程可得，故，則，所以故答案為：1515、①.②.【解析】第一空：先構(gòu)造等比數(shù)列求出，即可求出的通項(xiàng)公式；第二空：先求出，令，通過(guò)錯(cuò)位相減求出的前項(xiàng)和為，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及分組求和即可求解.【詳解】第一空：由可得，又，則是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，則；第二空：，設(shè)，前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得，則，又，則.故答案為：；.16、【解析】根據(jù)零點(diǎn)定義，分離出，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的值域來(lái)確定的取值范圍【詳解】根據(jù)零點(diǎn)定義，則所以令則，令解得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為所以由零點(diǎn)的條件為所以，即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的意義，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，分離參數(shù)法的應(yīng)用，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）25,75（2）①5,15，直方圖見(jiàn)解析，B類②123，133.8，131.1【解析】（1）先計(jì)算抽樣比為，進(jìn)而可得各層抽取人數(shù)（2）①類、類工人人數(shù)之比為，按此比例確定兩類工人需抽取的人數(shù)，再算出和即可．畫出頻率分布直方圖，從直方圖可以判斷：類工人中個(gè)體間的差異程度更?、谌∶總€(gè)小矩形的橫坐標(biāo)的中點(diǎn)乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積相加即得平均數(shù).【詳解】（1）由已知可得：抽樣比，故類工人中應(yīng)抽?。喝?，類工人中應(yīng)抽?。喝?，（2）①由題意知，得，，得滿足條件的頻率分布直方圖如下所示：從直方圖可以判斷：類工人中個(gè)體間的差異程度更小②，類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123，133.8和131.1【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件、相互獨(dú)立事件的概率、頻率分布直方圖的理解以及利用頻率分布直方圖求平均數(shù)等知識(shí)、考查運(yùn)算能力18、（1），；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）利用數(shù)列為等比數(shù)列，將已知的等式利用首項(xiàng)和公比表示，得到一個(gè)方程組，求解即可得到首項(xiàng)和公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出；將已知的等式變形，得到數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再結(jié)合數(shù)列的第項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系進(jìn)行求解，即可得到；（2）先利用等比數(shù)列求和公式求出，從而得到的表達(dá)式，然后利用裂項(xiàng)相消求和法求出，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)、等差中項(xiàng)以及進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，得到假設(shè)不成立，故可得到答案【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，由題意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因?yàn)?，所以，所以，所以，由，可得，所以?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1，故，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，故（2）由，可得，所以，所以，假設(shè)存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列，則有，所以，則，即，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，則，所以，則，所以，即，所以，這與已知的，，互不相等矛盾，故不存在不同的正整數(shù)，，（其中，，成等差數(shù)列），使得，，成等比數(shù)列【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進(jìn)而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作Ax⊥AB，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量而得解.【詳解】（1）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槭蔷匦?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；?）在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，，則，所以，，，，由（1）知，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因?yàn)槎娼菫殇J角，則二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：二面角大小求解時(shí)要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角20、（1）（2）12【解析】（1）設(shè)的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數(shù)的求和公式，得到，結(jié)合的單調(diào)性，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公差為d，因?yàn)?，可得，解得，所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式為【小問(wèn)2詳解】解：由，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)且，可得單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故n的最小值為1221、（1）8；（2）.【解析】（1）由題設(shè)可得，進(jìn)而寫出第三、四項(xiàng)的系數(shù)，結(jié)合已知列方程求n值即可.（2）由（1）有，確定有理項(xiàng)的對(duì)應(yīng)k值，進(jìn)而求得對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，即可得結(jié)果.小問(wèn)1詳解】由題意，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式所以第三項(xiàng)系數(shù)為，第四項(xiàng)系數(shù)為，由，解得，即n的值為8【小問(wèn)2詳解】由（1）知：當(dāng)，3，6時(shí)，對(duì)應(yīng)的是有理項(xiàng)當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)的有理項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)的有理項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)的有