福建省龍巖市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

福建省龍巖市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，直線與C相交于M，N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），若M，，N，四點(diǎn)共圓，且直線傾斜角不小于，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.2．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)且滿足，則兩異面直線，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，公差，．若取得最大值，則的值為（）A.6或7 B.7或8C.8或9 D.9或104．已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，且，，則此數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為A.第5項(xiàng) B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng) D.第8項(xiàng)5．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.6．設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若是方程的兩根，則（）A.32 B.30C.28 D.267．若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.38．函數(shù)的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.69．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.10．已知點(diǎn)在拋物線：上，則的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.211．已知是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，，且當(dāng)時(shí)，的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.12．曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_____14．已知球的半徑為3，則該球的體積為_________.15．若命題“”是假命題，則a的取值范圍是_______.16．某次國(guó)際會(huì)議為了搞好對(duì)外宣傳工作，會(huì)務(wù)組選聘了50名記者擔(dān)任對(duì)外翻譯工作，在如表“性別與會(huì)外語(yǔ)”的列聯(lián)表中，______.會(huì)外語(yǔ)不會(huì)外語(yǔ)合計(jì)男ab20女6d合計(jì)1850三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）一個(gè)完美均勻且靈活的平衡鏈被它的兩端懸掛，且只受重力的影響，這個(gè)鏈子形成的曲線形狀被稱為懸鏈線（如圖所示）.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，懸鏈線對(duì)應(yīng)的函數(shù)近似是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)，其解析式可以為，其中，是常數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷并證明的奇偶性；（2）當(dāng)時(shí)，若最小值為，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求k的取值范圍19．（12分）已知斜率為的直線與橢圓：交于，兩點(diǎn)（1）若線段的中點(diǎn)為，求的值；（2）若，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值20．（12分）設(shè)曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）求證：；（3）當(dāng)，求a的取值范圍.21．（12分）如圖，在三棱錐中，已知△ABC和△PBC均為正三角形，D為BC的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積22．（10分）已知命題p：點(diǎn)在橢圓內(nèi)；命題q：函數(shù)在R上單調(diào)遞增（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對(duì)稱性和圓的性質(zhì)得以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，則有以，再根據(jù)直線傾斜角不小于得，由橢圓的定義得，由此可求得橢圓離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對(duì)稱性和M，，N，四點(diǎn)共圓得，四邊形必為一個(gè)矩形，即以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)橹本€傾斜角不小于，所以直線傾斜角不小于，所以，化簡(jiǎn)得，，因?yàn)?，所以，所以，，又，因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：B.2、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)、、、和向量的、坐標(biāo)，運(yùn)用求異面直線余弦值的公式即可求出.【詳解】解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第,則，，，，故,,，故兩異面直線，所成角的余弦值是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.3、B【解析】根據(jù)題意可知等差數(shù)列是，單調(diào)遞減數(shù)列，其中，由此可知，據(jù)此即可求出結(jié)果.【詳解】在等差數(shù)列中，所以，所以，即，又等差數(shù)列中，公差，所以等差數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以，所以等差數(shù)列的前項(xiàng)和為取得最大值，則的值為7或8.故選:B.4、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，，則，又，則，說(shuō)明數(shù)列為遞減數(shù)列，前6項(xiàng)為正，第7項(xiàng)及后面的項(xiàng)為負(fù)，又，則，則在數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為，選C.5、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.6、A【解析】根據(jù)給定條件利用韋達(dá)定理結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】因是方程的兩根，則又是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，于是得，所以.故選：A7、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：C8、D【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最小值【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D9、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項(xiàng)公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.10、B【解析】由點(diǎn)在拋物線上，求得參數(shù)，焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離即為.【詳解】由點(diǎn)在拋物線上，易知，，故焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故選：B.11、A【解析】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時(shí)，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，即可解出【詳解】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時(shí)，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，∵時(shí)，△F1PF2的面積最大，∴a＝＝，b＝∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A12、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，依題意即過(guò)切點(diǎn)的切線恰好與直線平行，此時(shí)切點(diǎn)到直線的距離最小，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離，所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是；故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】設(shè)，寫出、的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有，根據(jù)橢圓的有界性即可求的最大值.【詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當(dāng)時(shí)，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及橢圓的有界性求最值.14、【解析】根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榍虻陌霃剑郧虻捏w積；故答案為：15、【解析】依題意可得是真命題，參變分離得到，再利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)槊}“”是假命題，所以命題“”是真命題，即，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，即故答案：16、24【解析】根據(jù)題意列方程組求解即可【詳解】由題意得所以，，.故答案為：24三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）偶函數(shù)（2）10【解析】(1)根據(jù)偶函數(shù)定義直接判斷可知；(2)由基本不等式求得的最小值，得到a、b的關(guān)系，然后代入目標(biāo)式，分離常數(shù)，然后可得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽，因?yàn)樗詾榕己瘮?shù).【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).由題知，即，因?yàn)?，所以，即所以令，，則，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以的最小值為10.18、（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為﹣1，無(wú)極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；（2）令，利用分離參數(shù)法得到，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，取得極大值﹣1所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減極大值為﹣1，無(wú)極小值【小問(wèn)2詳解】由，得，令，只需.求導(dǎo)得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，∴k的取值范圍為19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法即可求出的值；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫韋達(dá)；根據(jù)，求出，從而可證明原點(diǎn)到直線的距離為定值【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，，兩式相減，得，即，所以，即，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，即；【小問(wèn)2詳解】設(shè)斜率為的直線為，，由，得，所以，，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，即，所以，原點(diǎn)到直線的距離為.所以原點(diǎn)到直線的距離為定值.20、（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，令x=1處的切線的斜率等1，結(jié)合，即可求得a和b的值；（2）利用（1）的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，求求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出最小值即可證明；（3）根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)，分類討論導(dǎo)數(shù)的值的情況，根據(jù)單調(diào)性，判斷函數(shù)的最小值情況，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知：，因?yàn)榍€在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為，故，即；【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）知：，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也即最小值，最小值為，故，即成立；【小問(wèn)3詳解】當(dāng)，即，（），設(shè)，（），則，當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)，此時(shí)在時(shí)單調(diào)遞增，，適合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在時(shí)單調(diào)遞增，，適合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)在時(shí)單調(diào)遞增，，適合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在內(nèi)，，在內(nèi)，，故，顯然時(shí)，，不滿足當(dāng)恒成立，綜上述：.21、（1）證明見(jiàn)解析；（