高中數(shù)學(xué)解題思想方法8

前言...........................................2

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法...................3

一、配方法...............................3

二、換元法...............................7

三、待定系數(shù)法..........................14

四、定義法...............................19

五、數(shù)學(xué)歸納法..........................23

六、參數(shù)法..............................28

七、反證法..............................32

八、消去法.............................

九、分析與綜合法.......................

十、特殊與一般法.......................

十一、類比與歸納法...................

十二、觀察與實驗法...................

第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想................35

一、數(shù)形結(jié)合思想........................35

二、分類討論思想........................41

三、函數(shù)與方程思想......................47

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想....................54

第三章高考熱點問題和解題策略................59

一、應(yīng)用問題............................59

二、探索性問題..........................65

三、選擇題解答策略......................71

四、填空題解答策略......................77

附錄.........................................

一、高考數(shù)學(xué)試卷分析...................

二、兩套高考模擬試卷...................

三、參考答案...........................

2

**—i__

刖5

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時遇到??

個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法

理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的

考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意

識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭

腦和眼光。

高考試題主要從以下兒個方面對數(shù)學(xué)思想方法進行考查：

①常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等；

②數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和

演繹等；

④常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想

等。

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可

以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思

想方法則是一?種數(shù)學(xué)意識，只能夠領(lǐng)會和運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、

處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識忘記了，

數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作用。

數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作

性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常

在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得。

可以說，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是

提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。

為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)

基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與

綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函

數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)

策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再

現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進行方法的再現(xiàn)，示范性題組進行詳細(xì)的解答和分析，對

方法和問題進行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習(xí)題

的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何兒個部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識。

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法

一、配方法

配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知

和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運用“裂項"與''添

項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。

2

3

最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知

中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲

線的平移變換等問題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a+b)2=a?+2ab+b2,將這個公

式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：

a2+b2=(a+b)2-2ab=(a—b)2+2ab；

22/、2,、2zb.732

a-+ab+b-=(a+b)-—ab=(a—b)-+3ab=(aH—)~+(---b)-；

22

a2+b2+c2+ab+bc+ca=^-[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

a2+b2+c2=(a+b+c)2—2(ab+bc+ca)=(a+b—c)2—2(ab—be—ca)=???

結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

1+sin2a=1+2sinacosa=(sina+cosa)2；

x2H—7——(xH—)2—2—(x---)2+2；....等等。

XXX

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項等比數(shù)列｛a“｝中，a,*a5+2a3*a5+a3-a7=25,則+a§=。

2.方程x?+y2—41?—2丫+51<=0表示圓的充要條件是___。

A.｛<k<lB.kG或k>lC.keR1).k=9或k=l

3.已知sin"a+cos4a=1,貝ljsina+cosa的值為_。

A.1B.-1C.1或一1D.0

4.函數(shù)y=log1(-2x?+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是___?

2

A.(—°°,B.[4,+°°)C.(—7,4]D.[1,3)

2

5.已知方程x+(a-2)x+aT=0的兩根x]、x2,則點P(x]，x2)在圓x?+y?=4上，則實

數(shù)a=o

【簡解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)a*paM+LaJ,將已知等式左邊后配方?+

a5)2易求。答案是：5。

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x—a)2+(y—b)2=/,解r2〉0即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin?a+COS?a)2—2sin?acos2a=1,求出sinacosa,

然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。

4小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。

5小題：答案3—JTT。

II、示范性題組：

例1.已知長方體的全面積為11,其12條棱的長度之和為24,則這個長方體的一條對角

線長為_____o

A.26B.V14C.5D.6

3

4

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長方體長寬高分別為x,y,z,則

2(xy+yz+xz)=11

,而欲求對角線長正7丁”,將其配湊成兩已知式的組合形式

4(x+y+z)=24

可得。

【解】設(shè)長方體長寬高分別為X,y,z,由已知“長方體的全面積為11,其12條棱的長度

2(xy+yz+xz)=11

之和為24”而得:

4(x+y+z)=24

長方體所求對角線長為：y/x2+y2+z2=J(x+y+z)2-2(孫+yz+xz)=V62-11

=5

所以選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個已知和一個未知轉(zhuǎn)換為三個數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三

個數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學(xué)式進行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。

這也是我們使用配方法的種解題模式。

例2.設(shè)方程x2+kx+2=0的兩實根為p、q,若(“)2+(2)2W7成立，求實數(shù)k的取

qP

值范圍。

【解】方程x2+kx+2=0的兩實根為p、q,由韋達(dá)定理得：p+q=-k,pq=2,

/P、2」q、2P4+q4(p2+/)2-2P2/[(p+q)2-2pq]2-2p2q2

(—)+(—)=-b=-----：~-------=-----------3----------=

qp(pqY(pq)~(pqY

(k2-4)2_?,_.-

-----------W7,解得k<-或k2o

4

又^.^P、q為方程x2+kx+2=。的兩實根，△=k2-820即k》2痣或kW-2行

綜合起來，k的取值范圍是：一回WkW一地或者2后WkW回。

【注】關(guān)于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“△”；已知方程有兩根

時，可以恰當(dāng)運用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)

特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p+q與pq的組合式。假如本題不對討論，結(jié)果將

出錯，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這

一點我們要尤為注意和重視。

ab

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足Y+ab+bZR,求(--)1998+(--)1998。

a+ba+b

araa

【分析】對已知式可以聯(lián)想：變形為(7)2+(7)+1=0,則:=3(3為1的立方

bbb

虛根)；或配方為(a+b)2=ab。則代入所求式即得。

【解】由a2+ab+b2=0變形得：(￡)2+(￡)+1=0,

bb

設(shè)3=f,則3?+3+1=0,可知3為1的立方虛根，所以：—,W3=693=lo

bafa

又由a2+ab+b2=0變形得：(a+b)2—ab，

4

5

所以(」一)?頰+)1998=(工)999+(生)999=心)999+(2)999=3999+

a+ba+bahahba

石999=2e

【注】本題通過配方，簡化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，計算

表達(dá)式中的高次幕。-?系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。

,ca、a。一l±j3i

【另解】由a?+ab+b2=0變形得：(-)2+(-)+1=0,解出一=---后，化

bba2

成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式(￡)999+(2)999后，完成后面的運算。此方法用于

ba

-1+J3z

只是未一產(chǎn)?聯(lián)想到3時進行解題。

_1+Ji;

假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a2+ab+b2=0解出：a=—1一b,

直接代入所求表達(dá)式，進行分式化簡后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的

計算。

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這

叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研

究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡

單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來,

隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和

推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方

程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在一知或

者未知中，某個代數(shù)式兒次出現(xiàn)，而用?個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過

變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4、+2,—220,先變形為設(shè)2，=t(t>0),而變?yōu)槭煜さ?/p>

一元二次不等式求解和指數(shù)方程的問題。

三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時.，主要利用已知代數(shù)式中與三角知

識中有某點聯(lián)系進行換元。如求函數(shù)y=4+J匚嚏的值域時，易發(fā)現(xiàn)xe[0,1],設(shè)x=

JT

sin2a,aG[0,7]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主

要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x?+y2=r2(r>0)

時，則可作三角代換x=rcos。、y=rsin0化為三角問題。

SS

均值換元，如遇到*+丫=$形式時，設(shè)乂=萬+3y=]—t等等。

5

6

我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍

的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中

7T

的t>0和a￡[0,"]o

I、再現(xiàn)性題組：

1.y=sinx?cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.設(shè)f(x2+l)=log“(4—X4)(a>l),則f(x)的值域是o

3.已知數(shù)列｛a,｝中，=—1,a,+1?a”=a“+1—a“，則數(shù)列通項a“=。

4.設(shè)實數(shù)x、y滿足x2+2xy-l=0,則x+y的取值范圍是。

1+3-*

5.方程=3的解是_______________o

1+3

t+,

6.不等式log2(2'-l)-log2(2-2)〈2的解集是。

JJ

【簡解】1小題：設(shè)sinx+cosx=t￡[―&],則y=,+t—萬，對.稱軸t=-1,

當(dāng)t=Zy?1ax=；+/；

2小題：設(shè)x?+l=t(tNl),貝f(t)=log“[-(t-1)2+4],所以值域為(-8,iog“4]；

3小題：已知變形為---------=-1,設(shè)b“=—,則b]=-1,b“=-1+(n—1)(T)

%+ia?a?

一,1

=-n,所以a〃=---;

n

4小題:設(shè)x+y=k,則x2-2kx+l=0,△=妹2一420,所以kel或k〈一l；

設(shè)3*=y,則3y?+2y—1=0,解得y=g,所以x=-1；

5小題:

、5

6小題:設(shè)log2(2'—1)=y,則y(y+l)<2,解得一所以x￡(log21,log??)。

II、示范性題組:

例1.實數(shù)x、y滿足4x?-5xy+4y*=5(①式)，設(shè)S=x?+y2,求J---F

Qmax"min

的值。(93年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

【分析】由S=x?+y2聯(lián)想到cos2a+sin2a=1,于是進行三角換元，設(shè)

\x=Vscosa

r-.代入①式求S3和S.的值。

[y=JSsina

\x=Mcosa

【解】設(shè)L代入①式得：4S—5S?sinacosa=5

yy/Ssina

10

解得s=

8-5sin2Q

6

7

101010

?/-lWsin2aWl3W8—5sin2aW13>>.—w---------w—

138-5sin6z3

11313168

H-------

maxSmm10ioio5

8s—10

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2a=---的有界性而求，即解不等

8s—10

式：|——1^10這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”。

ssSS

【另解】由S=x?+y2,設(shè)x2=]+t,y2=——t,te

則xy=±j\-—/代入①式得：4s一/=5,

移項平方整理得100t2+39S2-160S+100=0。

2"八1010

39S-160S+100^0解得：一WSW一

133

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=x?+y2與三角公

式cos2a+sin2a=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問

題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S=x?+y2而按照均值換元的思路，設(shè)

x2=￡+t,y2=￡-t,減少了元的個數(shù)，問題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種

22

方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設(shè)x

=a+b,y=a-b,這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設(shè)x=a+b,y

=a-b,代入①式整理得3a13b2=5,求得a2G[0,g],所以S=(a-b)?+(a+b)2=

,22、10202JO10,再求止+止的值。

2(a2+b2)=—4——a2e[—,—

1313133umax2min

11V2

例2.AABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,-----H-------=--------,求

cosAcosCcosB

A-C

cos—y-的值。(96年全國理)

7

8

【分析】由已知"A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得

4+C=120°A=60°+a

；由“A+C=120°”進行均值換元，則設(shè)〈,再代入可求

8=60°C=60°—a

A-C

COSQ即COS-------------

A+C=120°

【解】由aABC中已知A+C=2B,可得'

8=60°

A=60°+a

由A+C=120°,設(shè)〈,代入已知等式得:

C=60°a

1111]_______

cosA+cosC++

cos(60°+a)cos(60°-a)1r.

cosa--sina

22一

1cosacosa

=—2V2,

112

cosa+sinacos-a-3sin2acos2a一

22444

V2A-CV2

解得:COSQ=--即:cos

222

11V2

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以-----+

cosAcosCcosB

11

=-2A/2,設(shè)=-V2—m，

cosAcosC

―J-,cosC=-J—，兩式分別相加、相減得：

所以cosA=,cosC=

-V2+m—-72—m

A+CA-CA-C2V2

cosA+cosC=2cos-----cos------=cos------=—----,

222m2-2

A+CA—Cr-A—C2m

cosA—cosC=—2sin-----sin------=-V3sin-------=-z----，

2"22m2-2

A-C2m

2V2….2A-C,2A-。

HP：sin------z----，代人sin--------l-cos=--1-整--理

2V3(nz2-2)'m2-222

A-C2V2

得：3m4-16m-12=0,解出m2=6,代入cos

2in2-22

11

【注】本題兩種解法由“A+C=120?！?、---------1---------=—2/”分別進行均值

cosAcosC

換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對

三角公式的運用相當(dāng)熟練。假如未想到進行均值換元，也可由三角運算直接解出：由A+C=

8

9

j?/2

2B,得A+C=120°,B=60°。所以-----+-----=--------=一2艱，即cosA+cosC

cosAcosCcosB

=-2V2cosAcosC,和積互化得：

A+CA—Cr—A-CV2/—

2cos--------cos--------——y/2[cos(A+C)+cos(A-C),即cos---------=--------J2cos(A-C)

2222

————V2(2cos2-----------1),整理得：4yplcos2----------F2cos-----------3V2—0,

2222

，小A-CV2

解得：COS---=――

例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a2的最大值和最小值。

【解】設(shè)sinx+cosx=t,^Jte[-V2,V2],由(sinx+cosx)2

/(2—]

=l+2sinx?cosx得：sinx?cosx=-------

2

f(x)=g(t)=——(t-2a)2+—(a>0),tG[-V2,V2]

1=-后R寸，取最小值：-2a?-2，^a—萬

當(dāng)時，t=J5,取最大值：-2a2+25/2a-----

2

當(dāng)0<2aWji時，t=2a,取最大值：g

2

1J2

-(0<a<—)

2

f(x)的最小值為一2a—20a—5,最大值為Jr

—2a2+lypla—~(a>----)

I22

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx?cosx的

內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。

換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍(te[-V2,V2])與sinx+cosx對應(yīng)，否則將會出

錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置

關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論。

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值

和最小值的題型時，即函數(shù)為f(sinx土cosx,sinxcsox),經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)

化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。

4(a+1)2a(a+1)2

例4.設(shè)對所于有實數(shù)X,不等式X2log2+2xlog)------+log——>0

a~Q+194。

恒成立，求a的取值范圍。(87年全國理)

9

10

【分析】不等式中也空、電,、三項有何聯(lián)系？進行對數(shù)

式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法。

,.,2a,4(a+1)8(a+l)a+1

［解］設(shè),nlog-----7=t，貝Ilog----------=log-------=3+log——=3-

2a+12a22a2~2a

2a(<j+1)~tz+1

log,------=3—t,log,——=21og,——=—2t,

a+\4a~2a

代入后原不等式簡化為(3-t)x12+2tx-2t>0,它對一切實數(shù)x恒成立，所以：

3-f>0(t<32a

<,，解得｛4t<0即10g2——<0

△=4廠+8?31)<0上<0或/>6'a+1

2a

0<—-<1,解得0〈a<l。

a+1

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設(shè)

元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og24S+D、kg,烏、kg,三項之間的聯(lián)系。

a。+14，

在解決不等式恒成立問題時，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對數(shù)運算十分熟練。

一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的

已知條件進行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。

22

一，sin0cos0cos0sin0_10(②式)，求工的值。

例5.已知-----X2+y23(/+y2)

xyy

、“sin°cos0

【解】設(shè)------=-------=k則sin6=kx,cos。=ky,且sin20+cos20=

xy

kJ2k，2_I。_10Vy2x2

k2(x2+y2)=l,代入②式得:22即:

X+y3(/+y2)3%2

10

3

x1?f\1xi—J3

設(shè)F=t,則t+—=12,解得：t=3或彳.?.一=±百或土丁

y2t33y3

xsin9_cos2。

【另解】由一=--=tg0,將等式②兩邊同時除以一Z—,再表示成含tg。的

ycosx

式子：1+tg"。=(1+tg2O)x--------------=—tg20,設(shè)tg?o=3則3t2-10t+3=0,

3d+工)3

tge

1Xf-5/3

?,.t=3或q,解得一=±或土=

3y3

10

11

sin0cos0

【注】第一種解法由------=-------而進行等量代換，進行換元，減少了變量的個數(shù)。

Ysin0

第二種解法將已知變形為一=2一不難發(fā)現(xiàn)進行結(jié)果為tg。，再進行換元和變形。兩

ycoso

種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。

例6.實數(shù)x、y滿足(X=1，若x+y—k>0恒成立，求k的范圍。

9+。1￥6

【分析】由已知條件=匚

可以發(fā)現(xiàn)它與a?+b2=l有相似之處,

916

是實施三角換元。

（2X-1Usin。

【解】由.y+D=1,設(shè)----=cos0,

1634

x=1+3cos。

即：\代入不等式x+y—k〉0得：

y=-1+4sin。

3cos0+4sin6—k>0,B|Jk<3cos6+4sin0=5sin（。+w）

所以k<-5時不等式恒成立。

【注】本題進行三角換元，將代數(shù)問題(或者是解析幾何問題)化為了含參三角不等式恒

成立的問題，再運用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般

地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有

關(guān)問題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。

本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角人片標(biāo)系，不等式ax+by

+c>0(a>0)所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=0所分平面成兩殿中療飛方向的一部分。

此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終,

位于平面上x+y-k>0的區(qū)域。即當(dāng)直線x+y-k-0在

與橢圓下部相切的切線之下時。當(dāng)直線與橢圓相切時，x

16(x-l)2+9(y+l)2=144

方程組八有相等的一組實

x+y—左=0x+y—k>0

數(shù)解，消元后由△=()可求得k=-3,所以k<-3時原不k平面區(qū)域

等式恒成立。

三、待定系數(shù)法

要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的

方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)三g(x)的充要條件

是：對于一個任意的a值，都有f(a)mg(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)己知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有

某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個問

題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如

果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)

數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系

數(shù)法求解。

II

12

使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：

第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；

第二步，根據(jù)恒等的條件，列出組含待定系數(shù)的方程；

第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。

如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下兒方面著手分析：

①利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程；

②由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；

③利用定義本身的屬性列方程；

④利用幾何條件列方程。

比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其

中含有待定的系數(shù)：再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得

的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐

曲線的方程。

I、再現(xiàn)性題組：

X

1.設(shè)f(x)=：+m,f(x)的反函數(shù)fT(x)=nx—5,那么m、n的值依次為。

2.二次不等式ax?+bx+2>0的解集是(一不，大)，則a+b的值是___。

23

A.10B.-10C.14D.-14

3.在(1—x3)(1+x)的展開式中，x5的系數(shù)是__。

A.-297B.-252C.297D.207

31

4.函數(shù)y=a—bcos3x(b<0)的最大值為耳，最小值為一萬，則y=-4asin3bx的最小正

周期是o

5.與直線L：2x+3y+5=0平行且過點A(l,-4)的直線L，的方程是。

2

6.與雙曲線x22—Jy=1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是

【簡解】1小題：由f(x)=：+m求出L(x)=2x—2m,比較系數(shù)易求，選C；

2

2小題：由不等式解集(一g,；),可知一：、g是方程ax2+bx+2=0的兩根，代入兩

根，列出關(guān)于系數(shù)