廣州市嶺南中學2024屆高二上數(shù)學期末經(jīng)典試題含解析

廣州市嶺南中學2024屆高二上數(shù)學期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，M為OA的中點，以為基底，，則實數(shù)組等于（）A. B.C. D.2．已知不等式的解集為，關于x的不等式的解集為B，且，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.3．直線，若的傾斜角為60°，則的斜率為（）A. B.C. D.4．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.＋1 D.5．長方體中，，，，為側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動點，且滿足，則四棱錐體積的最小值為（）A. B.C. D.6．若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（）A.5 B.C. D.7．數(shù)列2，0，2，0，…的通項公式可以為（）A. B.C. D.8．在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中，若，，則（）A.9 B.3C. D.9．某市物價部門對5家商場的某商品一天的銷售量及其售價進行調(diào)查，5家商場的售價（元）和銷售量（件）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示.按公式計算，與的回歸直線方程是，則下列說法錯誤的是（）售價99.51010.511銷售量1110865A.B.售價變量每增加1個單位時，銷售變量大約減少3.2個單位C.當時，的估計值為12.8D.銷售量與售價成正相關10．已知定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是()A.?x∈R，f(－x)≠f(x)B.?x∈R，f(－x)≠－f(x)C?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)11．雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.12．已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為（）A.1 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與圓交于兩點，則面積的最大值為__________.14．已知O為坐標原點，橢圓T：，過橢圓上一點P的兩條直線PA，PB分別與橢圓交于A，B，設PA，PB的中點分別為D，E，直線PA，PB的斜率分別是，，若直線OD，OE的斜率之和為2，則的最大值為_______15．設為三角形的一個內(nèi)角，已知曲線：，則可能是___________.（寫出不同曲線的名稱，盡可能多.注：在一些問題情景中，直線可以理解成是特殊的曲線）16．已知球的表面積為,則該球的體積為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的離心率為，左、右焦點分別為、，橢圓上的點到左焦點最近的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）若經(jīng)過點的直線與橢圓C交于M，N兩點，當?shù)拿娣e取得最大值時，求直線的方程.18．（12分）已知曲線：.（1）若曲線是雙曲線，求的取值范圍；（2）設，已知過曲線的右焦點，傾斜角為的直線交曲線于A，B兩點，求.19．（12分）兩人下棋，每局均無和棋且獲勝的概率為，某一天這兩個人要進行一場五局三勝的比賽，勝者贏得2700元獎金，（1）分別求以獲勝、以獲勝的概率；（2）若前兩局雙方戰(zhàn)成，后因為其他要事而終止比賽，間，怎么分獎金才公平？20．（12分）已知橢圓C：的右頂點為A，上頂點為B．離心率為，（1）求橢圓C的標準方程；（2）設橢圓的右焦點為F，過點F的直線l與橢圓C相交于D，E兩點，直線：與x軸相交于點H，過點D作，垂足為①求四邊形ODHE（O為坐標原點）面積的取值范圍；②證明：直線過定點G，并求點G的坐標21．（12分）已知數(shù)列，，，為其前n項和，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和22．（10分）已知等差數(shù)列的前項和滿足，.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)空間向量減法的幾何意義進行求解即可.【詳解】，所以實數(shù)組故選：B2、B【解析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分離參數(shù)求解即可.【詳解】由得，，解得，因為，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，當時，，故故選：B3、D【解析】直線,斜率乘積為，斜線斜率等于傾斜角的正切值.【詳解】,，所以.故選：D.4、A【解析】設F′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，根據(jù)圓的切線性質(zhì)和三角形中位線得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用雙曲線的定義求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立關系即可求得離心率的值.【詳解】不妨設E在x軸上方，F(xiàn)′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，如圖所示:因為PF是圓O的切線，所以OE⊥PE，又E，O分別為PF，F(xiàn)F′的中點，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據(jù)雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，聯(lián)想到雙曲線的另一個焦點，作輔助線，利用雙曲線的定義是求解離心率問題的有效方法.5、D【解析】取的中點，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，分析可知點的軌跡是以點、為焦點的橢圓，求出橢圓的方程，可知當點為橢圓與棱或的交點時，點到平面的距離取最小值，由此可求得四棱錐體積的最小值.【詳解】取的中點，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設點，其中，，則、，因為平面，平面，則，所以，，同理可得，所以，，所以點的軌跡是以點、為焦點，且長軸長為的橢圓的一部分，則，，，所以，點的軌跡方程為，點到平面的距離為，當點為曲線與棱或棱的交點時，點到平面的距離取最小值，將代入方程得，因此，四棱錐體積的最小值為.故選：D.6、C【解析】先求的平方后再求解即可.【詳解】，故，故選：C7、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當時，，不符；B.當時，，不符；C.當時，，不符；D.當時，，當時，，符合.故選：D.8、A【解析】利用等比數(shù)列的通項公式可得，結(jié)合條件即求.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則由，，得，解得或，又單調(diào)遞減，故，.故選：A.9、D【解析】首先求出、，再根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點，即可求出，再根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：因為，，與回歸直線方程，恒過定點，，解得，故A正確，所以回歸直線方程為，即售價變量每增加1個單位時，銷售變量大約減少3.2個單位，故B正確；當時，即當時，的估計值為12.8，故C正確；因為回歸直線方程為，所以銷售量與售價成負相關，故D錯誤；故選：D10、C【解析】利用偶函數(shù)的定義和全稱命題的否定分析判斷解答.【詳解】∵定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)為假命題，∴?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)為真命題.故選C【點睛】本題主要考查偶函數(shù)的定義和全稱命題的否定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.11、A【解析】先將雙曲線的方程化為標準方程得，再根據(jù)雙曲線漸近線方程求解即可.【詳解】解：將雙曲線的方程化為標準方程得，所以，所以其漸近線方程為：，即.故選：A.12、C【解析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結(jié)合圓外一點到圓上點的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點到圓上點的最小距離為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】先求出的范圍，再利用面積公式可求面積的最大值.【詳解】圓即為，直線為過原點的直線，如圖，連接，故，解得，此時，故的面積為，當且僅當時等號成立，此時即，故答案為：.14、【解析】設的坐標，用點差法求和與的關系同，與的關系，然后表示出，求得最大值【詳解】設，，，則，兩式相減得，∴，，則，同理，，又，∴，，當且僅當，即時等號成立，∴，故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查直線與橢圓相交問題，考查橢圓弦中點問題．橢圓中涉及到弦的中點時，常常用點差法確定關系，即設弦端點為，弦中點為，把兩點坐標代入橢圓方程，相減后可得15、焦點在軸上的橢圓，焦點在軸上的雙曲線，兩條直線.【解析】討論，和三種情況，進而根據(jù)曲線方程的特征得到答案.【詳解】若，則曲線：，而，曲線表示焦點在y軸上的橢圓；若，則曲線：或，曲線表示兩條直線；若，則曲線：，而，曲線表示焦點在x軸上的雙曲線.故答案為：焦點在y軸上橢圓，焦點在x軸上的雙曲線，兩條直線.16、【解析】設球半徑為，由球表面積求出，然后可得球的體積【詳解】設球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為故答案為【點睛】解答本題的關鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意得，，進而解方程即可得答案；（2）根據(jù)題意設直線的方程，，，進而，再聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理求解即可.【小問1詳解】解：因為橢圓C：的離心率為，所以，因為橢圓上的點到左焦點最近的距離為，所以所以，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】解：根據(jù)題意，設直線的方程，，設，聯(lián)立方程得，所以，解得或.，所以的面積為令，則,當且僅當，即時，等號成立.所以當?shù)拿娣e取得最大值時，直線的方程為.18、（1）（2）【解析】（1）利用雙曲線的標準方程直接列不等式組，即可求解；（2）先求出直線l的方程為:，利用“設而不求法”和弦長公式求弦長.【小問1詳解】要使曲線：為雙曲線，只需，解得：，即的取值范圍.【小問2詳解】當m=0時,曲線C的方程為,可得，所以右焦點，由題意可得直線l的方程為:.設,聯(lián)立整理可得：,可得：所以弦長，所以19、（1）以獲勝、以獲勝的概率分別是；（2）分給分別元，元.【解析】（1）以獲勝、以獲勝，則分別要連勝三局，前三局勝兩局輸一局，第四局勝利；（2）求出若兩局之后正常結(jié)束比賽時，的勝率，按照勝率分獎金.【小問1詳解】設以獲勝、以獲勝的事件分別為，依題意要想獲勝，必須從第一局開始連勝局，；要想獲勝，則前局只能勝局，且第局勝利，故概率;【小問2詳解】設前兩局雙方戰(zhàn)成后勝，勝的事件分別為.若勝,則可能連勝局，或者局只勝場，第局勝，故概率；由于兩人比賽沒有和局，獲勝的概率為，則獲勝的概率為，若勝,則可能連勝局，或者局只勝場，第局勝，故概率.故獎金應分給元，分給元.20、（1）；（2）①；②詳見解析；.【解析】（1）由題得，即求；（2）①由題可設，利用韋達定理法可得，進而可得四邊形ODHE面積，再利用對勾函數(shù)的性質(zhì)可求范圍；②由題可得，令，通過計算可得，即得.【小問1詳解】由題可得，解得，∴橢圓C的標準方程.【小問2詳解】①由題可知，可設直線，，由，可得，∴，，∴，∴四邊形ODHE面積，令，則，因為，所以，當時，取等號，∴，∴四邊形ODHE面積取值范圍為；②由上可得，直線，令，得，由，可得，∴，∴直線過定點G.21、（1）（2）【解析