河北邯鄲2024屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

河北邯鄲2024屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）①②③A.0 B.1C.2 D.32．已知點(diǎn)，若直線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡(jiǎn)稱(chēng)黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱(chēng)為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過(guò)程中，從到時(shí)，不等式的左邊增加了（）A. B.C. D.5．若不等式組表示的區(qū)域?yàn)?，不等式表示的區(qū)域?yàn)?，向區(qū)域均勻隨機(jī)撒顆芝麻，則落在區(qū)域中的芝麻數(shù)約為（）A. B.C. D.6．甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個(gè)氫原子之間的距離（H-H鍵長(zhǎng)）相等，碳原子到四個(gè)氫原子的距離（C-H鍵長(zhǎng)）均相等，任意兩個(gè)H-C-H鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為（）A. B.C. D.7．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）A. B.C. D.9．如圖，在三棱錐中，是線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.11．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn),則的值為A. B.C. D.12．命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知斜率為1的直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得的重心恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率______.14．已知向量，，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)______15．若直線與直線平行，且原點(diǎn)到直線的距離為，則直線的方程為_(kāi)___________.16．已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)作直線交于，其中的周長(zhǎng)為的離心率為.（1）求的方程；（2）已知的重心為，設(shè)和的面積比為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）“中山橋”是位于蘭州市中心，橫跨黃河之上的一座百年老橋，如圖①，橋上有五個(gè)拱形橋架緊密相連，每個(gè)橋架的內(nèi)部有一個(gè)水平橫梁和八個(gè)與橫梁垂直的立柱，氣勢(shì)宏偉，素有“天下黃河第一橋”之稱(chēng).如圖②，一個(gè)拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的拋物線（部分）組成，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知，，，，立柱.（1）求立柱及橫梁的長(zhǎng)；（2）求拋物線的方程和橋梁的拱高.20．（12分）已知是公差不為零等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)．?dāng)?shù)列{}的前項(xiàng)和為，求證：21．（12分）如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，現(xiàn)將梯形沿折疊(如圖2)，使平面平面.（1）求證：平面平面.（2）能否在邊上找到一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）已知函數(shù)（Ⅰ）若的圖象在點(diǎn)處的切線與軸負(fù)半軸有公共點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的最值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差為，則，是等差數(shù)列，，是常數(shù)列，也是等差數(shù)列，若，則不是等差數(shù)列，故選：C2、A【解析】分別求出，即可得到答案.【詳解】直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).因?yàn)?，所?所以要使直線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A3、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因?yàn)殡p曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A4、B【解析】依題意，由遞推到時(shí)，不等式左邊為，與時(shí)不等式的左邊作差比較即可得到答案【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過(guò)程中，假設(shè)時(shí)不等式成立，左邊，則當(dāng)時(shí)，左邊，∴從到時(shí)，不等式的左邊增加了故選：B5、A【解析】作出兩平面區(qū)域，計(jì)算兩區(qū)域的公共面積，利用幾何概型得出芝麻落在區(qū)域Γ內(nèi)的概率，進(jìn)而可得答案.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中三角形ABC及其內(nèi)部，不等式表示的區(qū)域如下圖中的圓及其內(nèi)部：由圖可得，A點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為.區(qū)域即的面積為，區(qū)域的面積為圓的面積，即，其中區(qū)域和區(qū)域不相交的部分面積即空白面積，所以區(qū)域和區(qū)域相交的部分面積，所以落入?yún)^(qū)域的概率為.所以均勻隨機(jī)撒顆芝麻，則落在區(qū)域中芝麻數(shù)約為.故選:A.6、A【解析】利用余弦定理求得，計(jì)算出正四面體的高，從而計(jì)算出正四面體的體積.【詳解】設(shè)，則由余弦定理知：，解得，故該正四面體的棱長(zhǎng)均為由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑，高故該正四面體的體積為故選：A7、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.8、A【解析】結(jié)合等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)分別求出和，代值運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】由是等比數(shù)列可得，是等差數(shù)列可得，所以，故選：A9、A【解析】根據(jù)給定幾何體利用空間向量基底結(jié)合向量運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】在三棱錐中，是線段的中點(diǎn)，所以：.故選：A10、C【解析】設(shè)，用表示出，求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以當(dāng)λ＝時(shí)，取得最小值，此時(shí)＝＝，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：C11、C【解析】根據(jù)題意可知，結(jié)合的條件，可知，故選C考點(diǎn)：橢圓和雙曲線性質(zhì)12、A【解析】特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題【詳解】的否定形式是故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)點(diǎn)，，坐標(biāo)分別為，則根據(jù)題意有，分別將點(diǎn)，，的坐標(biāo)代入橢圓方程得，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到和的值，代入得到關(guān)于的齊次式，然后解出離心率.【詳解】設(shè)，，坐標(biāo)分別為，因?yàn)榈闹匦那『檬亲鴺?biāo)原點(diǎn)，則，則，代入橢圓方程可得，其中，所以……①因?yàn)橹本€的斜率為，且過(guò)左焦點(diǎn)，則的方程為：，聯(lián)立方程消去可得：，所以，……②所以……③，將②③代入①得，從而.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率求解問(wèn)題，難度較大.解答時(shí),注意，，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，注意韋達(dá)定理在解題中的運(yùn)用.14、2【解析】先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)使得.故答案為：2.15、【解析】可設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得，即可得解.【詳解】可設(shè)直線的方程為，即，則原點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以直線的方程為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，分段函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)，則在每個(gè)函數(shù)內(nèi)單調(diào)，注意銜接點(diǎn)的函數(shù)值.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是增函數(shù)且在區(qū)間上也是增函數(shù)，對(duì)于函數(shù)在上是增函數(shù)，則；①對(duì)于函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，，外函數(shù)為定義域內(nèi)的減函數(shù)，內(nèi)函數(shù)在上是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”可得時(shí)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，不符合題意，故舍去，（2）當(dāng)時(shí)，外函數(shù)為定義域內(nèi)的增函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則內(nèi)函數(shù)在上也是增函數(shù)，且對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0，即在上也要恒成立，所以，又，所以，②又在上是增函數(shù)則在銜接點(diǎn)處函數(shù)值應(yīng)滿(mǎn)足：，化簡(jiǎn)得，③由①②③得，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用單調(diào)性求參數(shù)方法如下：（1）依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較；（2）需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；（3）分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）已知焦點(diǎn)弦三角形的周長(zhǎng)，以及離心率求橢圓方程，待定系數(shù)直接求解即可.（2）第一步設(shè)點(diǎn)設(shè)直線，第二步聯(lián)立方程韋達(dá)定理，第三步條件轉(zhuǎn)化，利用三角形等面積法，列方程，第四步利用韋達(dá)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，的離心率為，所以，，所以，，又，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】方法一：，，的面積為，的面積為，則，得，①設(shè)，與橢圓C方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.令，②則，可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，又解得③由①②③得，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.方法二：同方法一可得的面積為，的面積為，則，得，①設(shè)，與橢圓C方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.所以因?yàn)?，所以解得②由①②解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法即可求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式，；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，所以.19、（1），（2），【解析】（1）根據(jù)梯形的幾何性質(zhì)，即可求解；（2）表示出M,N的坐標(biāo)，代入拋物線方程中，結(jié)合條件解得p值，繼而求得拱高.【小問(wèn)1詳解】由題意，知,因?yàn)锳BFM是等腰梯形，由對(duì)稱(chēng)性知:,所以，【小問(wèn)2詳解】由（1）知,所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-18，則N的橫坐標(biāo)為-（18-5）=-13.設(shè)點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，由圖形，知設(shè)拋物線的方程為，，兩式相減，得2p(y2-y1)=182-132=155,解得：2p=100故拋物線的方程為x2=-100y.因此，當(dāng)x=-18時(shí)，所以橋梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)題意可得出關(guān)于的方程，求出的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得，即，整理可得，，解得，因此，.【小問(wèn)2詳解】證明：，因此，，故原不等式得證.21、（1）證明見(jiàn)解析.（2）存在點(diǎn)，為線段中點(diǎn)【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可證得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）在直角梯形中，作于于，連接，則，，則，，則，在直角中，可得，則，所以，故，且折疊后與位置關(guān)系不變.又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）在中，由，為的中點(diǎn)，可得.又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得平面的法向量為，假設(shè)存在點(diǎn)使平面與平面所成角的余弦值為，且()，∵，∴，故，又，∴，又由，設(shè)平面的法向量為，可得，令得，∴，解得，因此存在點(diǎn)且為線段中點(diǎn)時(shí)使平面與平面所成角的余弦值為.本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解及應(yīng)用，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過(guò)嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量