廣西南寧市、玉林市、貴港市等2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

廣西南寧市、玉林市、貴港市等2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列，，，，，中，有序?qū)崝?shù)對(duì)是（）A. B.C. D.2．?dāng)?shù)列滿足，對(duì)任意，都有，則（）A. B.C. D.3．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（）A.30 B.C. D.30或4．已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．橢圓與(0<k<9)的（）A.長(zhǎng)軸的長(zhǎng)相等B.短軸的長(zhǎng)相等C.離心率相等D.焦距相等6．一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取2次，則在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的概率為（）A. B.C. D.7．已知命題：，；命題：，.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.8．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)在處有極小值，則c的值為（）A.2 B.4C.6 D.2或610．已知是等比數(shù)列，，，則（）A. B.C. D.11．已知角為第二象限角，，則的值為（）A. B.C. D.12．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1，1):①點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為②過點(diǎn)P作過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q，則△OPQ的面積為③過點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x－2y＋1＝0④過點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值其中正確的是________.14．如圖，四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則集合中的元素個(gè)數(shù)為______15．某天上午只排語文、數(shù)學(xué)、體育三節(jié)課，則體育不排在第一節(jié)課的概率為_________16．已知雙曲線的漸近線方程為，，分別為C的左，右焦點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P在C的右支上，則的最小值是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值18．（12分）已知函數(shù)，，其中.（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.19．（12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線的垂線，線段的中垂線與交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若過點(diǎn)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求與面積之和的最小值.（為坐標(biāo)原點(diǎn)）20．（12分）北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估.該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件.（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入萬作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).21．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最值.22．（10分）已知的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為.（1）求m的值；（2）求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序?qū)崝?shù)對(duì)是，故選：2、C【解析】首先根據(jù)題設(shè)條件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】由，得，則，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)，考查利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于?？碱}.3、A【解析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【詳解】由得，則等比數(shù)列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A4、D【解析】由題意轉(zhuǎn)化為，恒成立，參變分離后轉(zhuǎn)化為，求函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域是，，若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即在恒成立，所以，恒成立，即設(shè)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1，所以.故選：D5、D【解析】根據(jù)橢圓方程求得兩個(gè)橢圓的，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】橢圓與(0<k<9)的焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上，前者a2＝25，b2＝9，則c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，則顯然只有D正確故選：D6、C【解析】求出兩次取球都沒有取到3的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，每次取到標(biāo)號(hào)為3的球的事件為A，則，且每次取球是相互獨(dú)立的，在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的事件M，其對(duì)立事件是兩次都沒有取到標(biāo)號(hào)為3的球的事件，，則有，所以在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的概率為.故選：C7、C【解析】利用基本不等式判斷命題的真假，由不等式性質(zhì)判斷命題的真假，進(jìn)而確定它們所構(gòu)成的復(fù)合命題的真假即可.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故不存在使，所以命題為假命題，而命題為真命題，則為真，為假，故為假，為假，為真，為假.故選：C8、D【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，即可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，又因?yàn)?，所?故選：D.9、A【解析】根據(jù)求出c，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.【詳解】由題意，，則，所以或.若c=2，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.函數(shù)在處有極小值，滿足題意；若c=6，則，函數(shù)R上單調(diào)遞增，不合題意.綜上：c=2.故選：A.10、D【解析】由，，可求出公比，從而可求出等比數(shù)的通項(xiàng)公式，則可求出，得數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)的求和公式可求得答案【詳解】由題得.所以，所以.所以，所以數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列.所以=.故選：D11、C【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而直接利用兩角和的余弦展開求解即可.【詳解】∵，是第二象限角，∴，∴.故選：C.12、A【解析】先求，然后求.【詳解】，，.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③④【解析】由拋物線過點(diǎn)可得拋物線的方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由拋物線的性質(zhì)可判斷①；求出直線的方程與拋物線聯(lián)立切線的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積，判斷②；設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立求得斜率，進(jìn)而可得在處的切線方程，從而判斷③；設(shè)直線的方程為拋物線聯(lián)立求出的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的斜率，從而可判斷④【詳解】解：由拋物線過點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的方程為：；可得拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，準(zhǔn)線方程為：，對(duì)于①，由拋物線的性質(zhì)可得到焦點(diǎn)的距離為，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，可得直線的斜率，所以直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，解得，所以，故②正確；對(duì)于③，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切線方程為x－2y＋1＝0，故③正確；對(duì)于④，設(shè)直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，所以，所以，代入直線中可得，即，，直線的方程為：，代入拋物線的方程，可得，代入直線的方程可得，所以，，所以為定值，故④正確故答案為：②③④.14、1【解析】根據(jù)空間平面向量的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合空間向量垂直的性質(zhì)、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由圖像可知，，則因?yàn)槔忾L(zhǎng)為1，，所以，所以，故集合中的元素個(gè)數(shù)為1故答案為：115、【解析】寫出語文、數(shù)學(xué)、體育的所有可能排列，找出其中體育不排在第一節(jié)課的情況，利用概率公式計(jì)算即可.【詳解】所有可能結(jié)果如下：（語文，數(shù)學(xué)，體育）；（語文，體育，數(shù)學(xué)）；（數(shù)學(xué)，語文，體育）：（數(shù)學(xué)，體育，語文）；（體育，語文，數(shù)學(xué)）；（體育，數(shù)學(xué)，語文）,其中體育不排在第一節(jié)課的情況有四種，則體育不排在第一節(jié)課的概率16、【解析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義可知，從而利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，即，所以雙曲線方程為.設(shè)，則，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解；（2）求出，再根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)表示即可得解；（3）由，可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解?18、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）要證，只要證，由于時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可【小問1詳解】的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】，，即證：，即證：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增綜上所述：，即19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義可得軌跡方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合均值不等式可得最小值【小問1詳解】如圖所示，由已知得點(diǎn)為線段中垂線上一點(diǎn)，即，即動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡為拋物線，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，所以點(diǎn)的軌跡方程為，【小問2詳解】如圖所示：設(shè)，點(diǎn)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，得，，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，即，所以當(dāng)直線直線，時(shí)取得最小值為.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式20、（1）40；（2）a至少達(dá)到10.2萬件時(shí),才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.【解析】（1）設(shè)每件定價(jià)為x元,可得提高價(jià)格后的銷售量，根據(jù)銷售的總收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價(jià)；（2）依題意，x>25時(shí)，不等式有解，等價(jià)于x>25時(shí),有解,利用基本不等式,可以求得a.【詳解】（1）設(shè)每件定價(jià)為t元,依題意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使銷售的總收入不低于原收入,每件定價(jià)最多為40元.（2）依題意知：當(dāng)x>25時(shí),不等式有解，等價(jià)于x>25時(shí),有解.由于,當(dāng)且僅當(dāng),即x=30時(shí)等號(hào)成立,所以a≥10.2.當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少達(dá)到10.2萬件時(shí),才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.21、（1）（2）最小值為0，最大值為4【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程.（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)求