甘肅省慶陽(yáng)市慶城縣隴東中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

甘肅省慶陽(yáng)市慶城縣隴東中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作軸的垂線足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.3．已知圓O的半徑為5，，過(guò)點(diǎn)P的2021條弦的長(zhǎng)度組成一個(gè)等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為，則其公差為（）A. B.C. D.4．給出下列結(jié)論：①如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為0.2，則的平均數(shù)和方差分別為14和1.8；②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1．③對(duì)A、B、C三種個(gè)體按3：1：2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個(gè)體有15個(gè)，則樣本容量為30．則正確的個(gè)數(shù)是（）.A.3 B.2C.1 D.05．若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.13 B.39C.45 D.216．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，半焦距為c，過(guò)點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為P，若的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.7．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．若、、為空間三個(gè)單位向量，，且與、所成的角均為，則（）A.5 B.C. D.9．如圖①所示，將一邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線折起，形成三棱錐，其主視圖與俯視圖如圖②所示，則左視圖的面積為（）A. B.C. D.10．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.911．如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上12．已知在等比數(shù)列中，，，則（）A.9或 B.9C.27或 D.27二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，則其通項(xiàng)公式________14．用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個(gè)．（用數(shù)字作答）15．已知向量，向量，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.16．在空間直角坐標(biāo)系中，向量為平面ABC的一個(gè)法向量，其中，，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值18．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，，是橢圓C的短軸端點(diǎn)，P是橢圓C上異于點(diǎn)，的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足，，求證與的面積之比為定值19．（12分）一杯100℃的開(kāi)水放在室溫25℃的房間里，1分鐘后水溫降到85℃，假設(shè)每分鐘水溫變化量和水溫與室溫之差成正比（1）分別求2分鐘，3分鐘后的水溫；（2）記n分鐘后的水溫為，證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（3）當(dāng)水溫在40℃到55℃之間時(shí)（包括40℃和55℃），為最適合飲用的溫度，則在水燒開(kāi)后哪個(gè)時(shí)間段飲用最佳．（參考數(shù)據(jù)：）20．（12分）已知等差數(shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，以F和準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，過(guò)的直線交拋物線E于A，B兩點(diǎn)（1）求拋物線E的方程；（2）是否存在常數(shù)，使得，如果存在，求的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）證明：內(nèi)切圓的面積小于

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)條件可知四邊形為正方形，從而根據(jù)邊長(zhǎng)相等，列式求雙曲線的離心率.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，則，根據(jù)題意，四邊形為正方形，于是，即，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去）.故選：A.2、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.3、B【解析】可得過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，最短弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【詳解】可得過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，，最短弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)P的與垂直的弦，，公差.故選：B.4、B【解析】對(duì)結(jié)論逐一判斷【詳解】對(duì)于①，則的平均數(shù)為，方差為，故①正確對(duì)于②，若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，故②錯(cuò)誤對(duì)于③，對(duì)A、B、C三種個(gè)體按3：1：2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個(gè)體有15個(gè)，則樣本容量為，故③正確故正確結(jié)論為2個(gè)故選：B5、B【解析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，則.故選：B.6、D【解析】根據(jù)給定條件求出，再計(jì)算面積列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，點(diǎn)，由雙曲線對(duì)稱性不妨取漸近線，即，則，令坐標(biāo)原點(diǎn)為O，中，，又點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，因此，，則有，即，，，所以雙曲線的離心率為故選：D7、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，，，則，，設(shè)異面直線與所成角為（），則.故選：A8、C【解析】先求的平方后再求解即可.【詳解】，故，故選：C9、A【解析】由視圖確定該幾何體的特征，即可得解.【詳解】由主視圖可以看出，A點(diǎn)在面上的投影為的中點(diǎn)，由俯視圖可以看出C點(diǎn)在面上的投影為的中點(diǎn)，所以其左視圖為如圖所示的等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為，于是左視圖的面積為故選：A.10、C【解析】由，，共面，設(shè)，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(shè)(實(shí)數(shù)m、n)，即，∴，解得故選：C11、A【解析】根據(jù)題意，得到兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意，得到，，再由得到，求出點(diǎn)的軌跡，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為的正方形，則，，因?yàn)闉榈酌鎯?nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)，因此，，因?yàn)槠矫?，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡在圓上.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問(wèn)題，靈活運(yùn)用空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.12、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，設(shè)公比為，則，解得，又，所以.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，…，，把以上個(gè)式子相加，得，即，所以.故答案為：.14、504【解析】分兩種情況求解，一是四個(gè)數(shù)字中沒(méi)有奇數(shù)，二是四個(gè)數(shù)字中有一個(gè)奇數(shù)，然后根據(jù)分類(lèi)加法原理可求得結(jié)果【詳解】當(dāng)四個(gè)數(shù)字中沒(méi)有奇數(shù)時(shí)，則這樣的四位數(shù)有種，當(dāng)四個(gè)數(shù)字中有一個(gè)奇數(shù)時(shí)，則從5個(gè)奇數(shù)中選一個(gè)奇數(shù)，再?gòu)?個(gè)偶數(shù)中選3個(gè)數(shù)，然后對(duì)這4個(gè)數(shù)排列即可，所以有種，所以由分類(lèi)加法原理可得共有種，故答案為：50415、2【解析】根據(jù)，由求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚蛄?，且，所以，解得，故答案為?16、【解析】根據(jù)向量為平面ABC的一個(gè)法向量，由求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)橄蛄繛槠矫鍭BC的一個(gè)法向量，所以，解得，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、，【解析】先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，比較極值和端點(diǎn)值,即可得到最大值和最小值.【詳解】解：依題意，，令，得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以，18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)周長(zhǎng)為8，求得a，再根據(jù)離心率求解；（2）方法一：設(shè)，，得到直線和直線的方程，聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)，根據(jù)在橢圓上，得到，然后代入Q的橫坐標(biāo)求解；方法二：設(shè)直線，的斜率分別為k，，點(diǎn)，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)P橫坐標(biāo)，再由的直線方程聯(lián)立，得到P，Q的橫坐標(biāo)的關(guān)系求解.【小問(wèn)1詳解】解：∵的周長(zhǎng)為8，∴，即，∵離心率，∴，，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】方法一：設(shè)，則直線斜率，∵，∴直線斜率，∴直線的方程為：，同理直線的方程為：，聯(lián)立上面兩直線方程，消去y，得，∵在橢圓上，∴，即，∴，∴所以與的面積之比為定值4方法二：設(shè)直線，的斜率分別為k，，點(diǎn)，，則直線的方程為，∵，∴直線的方程為，將代入，得，∵P是橢圓上異于點(diǎn)，的點(diǎn)，∴，又∵，即，∴，即，由，得直線的方程為，聯(lián)立得，∴所以與的面積之比為定值419、（1）2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃；（2）證明見(jiàn)解析，，；（3）在水燒開(kāi)后4到7分鐘飲用最佳.【解析】(1)根據(jù)給定條件設(shè)第n分鐘后的水溫為，探求出與的關(guān)系即可計(jì)算作答.(2)利用(1)的信息，列式變形、推導(dǎo)即可得證，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.(3)由(2)的結(jié)論列不等式，借助對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)第n分鐘后的水溫為，正比例系數(shù)為k，記，依題意，，當(dāng)時(shí)，，則有，解得，因此，，即有，，所以2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃.小問(wèn)2詳解】由(1)知，，時(shí)，，，則有，即，而，于是得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則有，即，所以是等比數(shù)列，的通項(xiàng)公式是，.【小問(wèn)3詳解】由(2)及已知得：，即，整理得，兩邊取常用對(duì)數(shù)得：，而，解得，即，所以在水燒開(kāi)后4到7分鐘飲用最佳.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及實(shí)際意義給出的數(shù)列問(wèn)題，正確理解實(shí)際意義，列出關(guān)系式，再借助數(shù)列思想探求相鄰兩項(xiàng)間關(guān)系即可推理作答.20、（1）（2）【解析】（1）由，，成等比數(shù)列和，可得，解方程求出，從而可求出的通項(xiàng)公式，（2）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求出【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為2，所以又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以.21、【解析】分橢圓的焦點(diǎn)在軸上與焦點(diǎn)在軸上，兩種情況討論，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；【詳解】解：（1）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為()，則又點(diǎn)C在橢圓上，得，解得，所以橢圓E的方程為（2）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為()，則又點(diǎn)C在橢圓上，得，解得，這與矛盾綜上可知，橢圓的方程